2.1.2指数函数及其性质

第一篇：2.1.2指数函数及其性质

2.1.2指数函数及其性质（第2个课时）

一.教学目标：

1．知识与技能

①通过实际问题了解指数函数的实际背景；

②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.二．重、难点

重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三、学法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法.②教具：多媒体.教学过程：

1、复习指数函数的图象和性质

2、例题

例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5

与

1.73(2)0.8与0.8(3)1.70.3 与

0.93.1 解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y1.7的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以

2.531.71..7

80.10.2x64y1.7x 5102-10-50-2-4-6-8解法2：用计算器直接计算：1.7所以，1.71.7

解法3：由函数的单调性考虑 2.532.533.77

1.74.9

1因为指数函数y1.7在R上是增函数，且2.5＜3，所以，1.7x2.51.73

仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合.由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小.思考：

1、已知a0.8,b0.8,c1.2,按大小顺序排列a,b,c.0.70.90.82.比较a与a的大小（a＞0且a≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底

人口约为13亿

经过1年

人口约为13（1+1%）亿

经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿 经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿 经过x年

人口约为13(1+1%)x亿 经过20年

人口约为13(1+1%)20亿

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则 1312y13(11%)x

当x=20时，y13(11%)2016(亿)

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量yN(1p)x,像yN(1p)x等形如ykax(KR，a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思考：P68探究：

（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数.（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数.（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？ 3．课堂练习

（1）右图是指数函数①ya

②yb

③yc

④yd的图象，判断a,b,c,d与1的大

8xxxxybxycx Y= 64ydx

yax 5102-10-5-2-4-6小关系；①y1y2

②y1＞y2

（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的（2）设y1a3x1,y2a2x,其中a＞0，a≠1，确定x为何值时，有：

3，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要4x使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a＞1或0＜a＜时ya的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如yka（a＞0且a≠1）.作业：P69 A组第 7，8 题

P70 B组

第 1，4题

x

第二篇：示范教案(1.2 指数函数及其性质 第2课时)

第2课时

指数函数及其性质(2)导入新课

思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).应用示例

思路1 例1已知指数函数f(x)=a（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.解：因为图象过点（3,π）, 11x所以f(3)=a3=π,即a=π3,f(x)=(π3)x.再把0,1,3分别代入,得 f(0)=π=1, f(1)=π=π, f(-3)=π-1=.点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则

xxxxy2－y1=a2－a1=a1（a2-x1－1）.因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.又因为a1＞0, 所以y2－y1＞0, 即y1

y2y1x101=

aax2x1=a

x2x1.因为a＞1,x2－x1＞0,所以a即y2y1x2x1＞1, >1,y1

若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？ 答案：12x＜a＜1.例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？

活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题： 1999年底

人口约为13亿;经过1年

人口约为13（1+1%）亿;经过2年

人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)亿;经过3年

人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;经过x年

人口约为13(1+1%)x亿;经过20年

人口约为13(1+1%)20亿.解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x, 当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)等形如y=ka(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.思路2 例1求下列函数的定义域、值域：

12xx(1)y=0.4x1;(2)y=35x1;(3)y=2+1;(4)y=

x

2221xx.解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1, 即函数值域为{y|y>0且y≠1}.（2）由5x-1≥0得x≥15,所以所求函数定义域为{x|x≥

15}.由5x-1≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.所以函数值域为{y|y>1}.(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.因为y≠1,所以2x=y2y1.又x∈R,所以2x>0,y2y1>0.解之,得-2

x3≠（12)0=1.又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).例2

（1）求函数y=(122)x2x的单调区间,并证明.221x（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.12活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=（）x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.1x222x2()22y11解法一：设x10.当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0, 即y2y1>1,所以y2>y1,函数单调递增;当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 即y2y1<1,所以y2u2,又因为y=(所以y1

22x2122x11=

2(2(2x1x12xx2)1)(221).由于指数函数y=2在R上是增函数,且x10得21+1>0,22+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

1.函数y=a（a＞1）的图象是（）|x|xxxx

图2-1-2-8 分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.答案：B 2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（）A.y=(13x)2-x

B.y=1-C.y=0.5-

1D.y=2x+1

2x分析：因为（2－x）∈R,所以y=（［0,+∞);y=2答案：A x213x）2－x∈（0,+∞）;y=1-4∈［0,1］;y=0.5-1∈

x+1∈［2,+∞).3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（）A.（0,1）

B.（x

12,1）

C.（－∞,0）

D.（0,+∞）

x

0分析：由题意得0＜2＜1,即0＜2＜2,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.答案：C 4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（）

A.AB

B.AB

C.A=B

D.A∩B= 分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.答案：A 5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③f(x1)f(x2)x1x2>0;④f(x1x22)<

f(x1)f(x2)x1x2.当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=10x

x1x2=10x110x2=f(x1)·f(x2),所以①正确;因为f(x1·x2)=10xx≠10x10x=f(x1)+f(x2),②不正确;1212因为f(x)=10是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以xx

f(x1)f(x2)x1x2>0,所以③正确.因为函数f(x)=10图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9 答案：①③④ 另解：④

10∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴x1x2x1x2x1102x2>10x110x210∴

x1102x2>10x1x2, 即10102>102∴f(x1)f(x2)x1x2>f(x1x22).拓展提升

在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;(2)①y=(12x),②y=(12),③y=(x-

112)

x+1

.活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.图2-1-2-10图2-1-2-11 观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系: y=3的图象由y=3的图象左移1个单位得到;y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;y=3x-1x+1x的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.12观察图2-1-2-11可以看出,y=(y=(12),y=（x

12),y=（x-1

12)

x+1的图象间有如下关系:)x+1的图象由y=(12)的图象左移1个单位得到;

xy=(y=(1212)x-1的图象由y=(1212)的图象右移1个单位得到;)x+1的图象向右移动2个单位得到.x)x-1的图象由y=(你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.课堂小结 思考

我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.作业

课本P59习题2.1 B组1、3、4.设计感想

本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0

第三篇：指数函数及其性质教案

一尺之棰，日取其半，万世不竭出自《庄子》

2.1.2指数函数及其性质教学设计

一、教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程：

（一）创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2x。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84x。引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。1．指数函数的定义

一般地，函数yaa0且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.x问题：指数函数定义中，为什么规定“a0且a1”如果不这样规定会出现什么情况？

(1)若a<0会有什么问题？（如a2,x1则在实数范围内相应的函数值不存在）2(2)若a=0会有什么问题？（对于x0,a无意义）

(3)若 a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a0且 a1.练1：指出下列函数那些是指数函数：

x1(1)y4x(2)yx4(3)y4x(4)y4(5)yx(6)y

xx练2：若函数2．指数函数的图像及性质

是指数函数，则a=------

1在同一平面直角坐标系内画出指数函数y2x与y的图象（画图步骤：列表、21描点、连线）。由学生自己画出y3与y的函数图象

3xxx 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

特别地，函数值的分布情况如下：

（四）巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

（五）课堂小结

（六）布置作业

板书设计：

第四篇：指数函数性质的应用

：指数函数性质的应用

活动一：复习性质同桌交流

同桌相互提问指数函数的性质，达到熟练的程度.活动二：应用自测自我检查

1.出示自测题组（8个选择、填空题），学生当堂完成，时间10分钟.题目包括求函数值、判断函数图象、比较大小、图像过定点等问题.2.教师公布答案，学生检查对错，及时更正；

通过同桌交流解决做错的问题，解决不了的学习中心组的学生或老师讲解.活动三：突出重点突破难点

1.对指数函数底数取值范围的进一步理解

问题：举例说明为什么规定指数函数底数a>0, 且a≠1.提问中等以下水平学生，并根据情况追问，直至学生明白为止.2.学生用几何画板软件画出底数a>1的指数函数图象，让a变化，观察图像位置的变化特征..用计算机画出底数0

1.例1：根据函数性质比较大小（教材P57例7）

问题1：根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？关键是找到对应指数函数，明确其单调性.问题2：三个式子比较大小，如何解决，有哪些方法？（两两比较、与0、1、-1等的数值比较）

2.例2：如果a 2x+1 ≦a x-5(a>0,a≠1),求x的取值范围.

第五篇：指数函数及其性质说课稿

指数函数及其性质说课稿

各位老师：

大家好!我说课的内容是新课程人教A版高中数学必修1第二章2.1.2“指数函数及其性质”的第一课时——指数函数的定义、图象及性质.我将根据新课标的理念、高一学生的认知特点设计本节课的教学。下面我从教材分析、学情分析、教法学法分析、教学过程等几个环节，向各位老师谈谈我对这节课教材的理解和教学设计。

一．教材分析

1．教材的地位和作用

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了指数幂运算和函数概念的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。它一方面可以使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，另一方面也为今后研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。2.教学目标：

（1）知识与技能目标：理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的性质，运用待定系数法求相应函数解析式及函数值（2）过程与方法目标：用描点法画指数函数图像，运用图像探 索指数函数的性质，体会一般到特殊的研究问题方法。体会数形

结合的数学思想方法。

（3）情感、态度与价值观目标：感受数形结合思想的重要性。培养用不同的知识点去从不同的角度解决同一个问题的习惯。提 高观察、比较、概括的能力 3.重点与难点

指数函的概念和性质是教学重点；对指数函数图像的探究以及指数函数的性质的理解和简单应用是教学难点。

二、学情分析

（1）知识层面：学生学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数概念的学习后函函具备了数形结合的思想。

（2）能力层面：学生已经初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。

（3）情感层面：学生对数学新的容的学习有相当兴趣，但探究问题的能力及合作交流等发展不均衡。三．教法学法分析

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，我将“引导式”教学与“探究式”教学有机结合，培养学生主动观察与思考，通过合作交流、共同探索来逐步解决问题，发挥学生的主体作用，使其体会成功的喜悦。

四、教学过程分析

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个环节，第一环节：创设情境、导入新知：

在本节课的开始，我设计了两个问题情境得出细胞分裂的个数y与x的函数关系式，以及木棒长度y与截的次数x之间的关系式。从而设问这两个解析式有什么共同特征？它们能否构成函数？是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

由两个较简单的实际问题激发学生学习动机，又引发学生认知冲突，激发学生的求知欲，引出指数函数的一般模型，为导出指数函数概念作好铺垫。

第二环节：启发诱导，发现新知：

1．在上一环节的基础上教师很自然地给出指数函数的概念，即函数 (a>0且a≠1)叫做指数函数，定义域为R.。教师将引导学生探究为什么定义中规定a>0且a≠1呢？对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔.在给出定义之后可能会有同学感觉定义的形式十分简单，此时教师给出问题，打破学生对定义的轻视，你能否判断下列函数哪些是指数函数吗？

在学生判断的过程中教师给予适时指导，学生体会哪些是指数函数的过程也是学生头脑中不断完善对定义理解的过程.教师提醒学生“指数函数”的定义是形式定义，必须在形式上一模一样.通过这一练习让学生对定义有更进一步的认识.此时教师把

问题引向深入，研究一个函数，就是要对一个函数的图象和性质进行进一步的研究.教师带领学生进入下一个部分——探究指数函数的图形和性质.2.首先教师给出表格，让学生同桌合作用描点法画出函数y =2x 和y =(1/2)x的图象.最后教师在多媒体上将这两个图象给予展示，这样既避免了学生在画图过程中占用过多时间,又让学生体会到了合作交流的乐趣.此时教师组织学生讨论，并引导学生观察图象的特点，学生首先发现的是这两个图象的位置关系，教师抓住时机归纳得出指数函数的底数互为倒数时，图像关于y轴对称的性质。然后引导学生从图像的位置，图像经过的定点，图像的变化趋势等方面再做深入的研究，得出a>1和0

我将给出表格，引导学生根据图象填写.让学生充分感受以图象为基础研究函数的性质这一重要的数学思想.表格的完成将 会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热情带入高峰.这一环节由观察图像特点到函数性质的建构培养了学生数形结合、分类讨论和化归转化的能力。

第四环节：强化训练，巩固新知

这一环节设计利用待定系数法确定函数解析式的题目，从而求函数值，渗透方程的思想解决函数问题。第五环节：小结归纳，拓展新知

在小结归纳中我从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小结：

（1）通过本节课，你对指数函数有什么认识？（2）这节课主要通过什么方法来学习指数函数性质？（3）记住两个基本图形。

让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质，并为后续学习打下基础.第六环节：布置作业，内化新知

通过作业检验学生对本节课知识的理解与运用的程度，以及接受的情况。促进学生进一步巩固所学内容。及时从作业中回馈出问题,及时解决.以上六个环节层层深入，环环相扣，引导学生去亲身经历知识的形成和发展的 过程，以问题为载体，对知识的探究由 表及里，逐步深入。

教后反思

1、本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2、在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

当然，不足之处在所难免，请各位领导和老师提出宝贵意见。