关于人在雨中行走的数学模型

第一篇：关于人在雨中行走的数学模型

关于人在雨中行走的数学模型

摘要

本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。分析表明当行走速度为vm时，淋雨量最少。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度

问题重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算0,30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多，大，总淋雨量最少。计算30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？

问题分析

1.若不考虑雨的方向，雨以降雨量w均匀地淋遍全身。将人体简化成长方体，求出人接收雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。

2.雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为如图1.所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向。雨迎面吹来时，由于相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间内接收雨量。同理，头顶部位接收雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间内接收的雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t，即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量。据此可得W与v之间的关系，并能求出0和30时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为，如图2.所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w1与雨速垂直方向上的分量成正比，W1为头顶面积bc与时间d/vm以及w1之积。当vmusin时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量w2与人前进方向上人相对于雨的速度（usinvm）成正比，据此推算出W2；而当时，后vmusin方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞山雨滴，即w2与vmusin成正比。W2为人体前面ab和跑步时间d/vm头顶淋雨量以及w2之积。

WW1W

2据此可得W与vm之间的关系，并能求出30

模型假设

1.人在奔跑过程中，vm大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2.对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3.对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。

4.假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，与苏均匀不变。5.假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6.人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

符号说明

a 人体高度

b 人体宽度

c 人体厚度

d 跑步距离

u 雨速

w 降雨量

 雨迎面吹来时与人体的夹角

vm 跑步最大速度

W 总淋雨量

s1 头顶面积

s2 人前或后表面积

u1 雨点相对人头顶速度的垂直分量

u2 雨点相对人前后面速度的垂直分量

w1 头顶单位时间接收雨量

w2 前后面单位时间接收雨量

W1 头顶接收雨量

W2 人体前后面接收雨量

W3 人体左右面接收雨量

模型建立与求解

模型一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下： W(2ab2acbc)w经计算得W0.0024m3

d vm

模型二

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量u1、行走的时间有关。

求解如下：

头顶： u1ucoss1bc

假设降雨量w与雨点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w1u

1w1wcos W1w1s1twcosbc正面：

v2vsinu 而

w2v2 vmsinuuvsinuw2mw

w2wudbcdwcos vmvm 5

s2ab W2w2s2tvmsinudwab uvm求解得：

当v5m/s时，淋雨量W最小； 当0时，W0.0012m3 当30时，W0.0016m3

模型三

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前后两面）头顶：

w1v1 v1ucos

w1wcos

s1bc W1w1s1twcosbcd vm正面：

当usinv时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面

w2v2

v2vmusin

w2vmusinw u s2ab W2vmusindwab uvm当usinv时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨沾到人的后面

w2v2

v2usinvm usinvm

w2wus2ab

W2usinvmd

wabuvm 又因为WW1W2

dbcwcosdusinvmwabvmuvm所以W

vusindbcwcosdmwabvmuvm

当vm2m/s时，总淋雨量最少；

E0.3m3 雨线方向与人体方向夹角为30时，淋雨量为0.2405556

模型评价

通过对本体的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。同时也存在不足之处就是我们没有考虑降雨密度的不均匀、风向不稳定等次要因素，因此本题的求解结果存在一定的误差，有待改进和提高。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：2003年8月第三版； [2]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社.1987年4月第一版。

第二篇：数学模型

数学建模的心得体会

学完数学建模，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得以到很好的锻炼和提高。

首先我想简单介绍下数学模型： 一．数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

二．建立数学模型的方法和步骤 第一、模型准备

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

第二、模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析

对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案„„这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经被数学建模中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。

通过学习数学建模，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。

第三篇：数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模

雨

中

行

走

模 型

系别：

班级：

姓名：

学号：

正文：

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。① 当vrsin时,淋在背上的雨量为

.pwDrhsinvhv,雨水总量CpwDdrcoshrsinvv② 当vrsin时,此时C20.雨水总量CpwDdrvcos,如300,C0.24升

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当vrsin时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度rsin.此时将不断地赶上

pwDhvrsin雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量C2关键词：

v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=90时的总淋雨量；

0 2

三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w ,  之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对

（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1.设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.2.设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.3.设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为 4.视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度 b:人身体的宽度 c:人身体的厚度 d:起跑点到终点的距离 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨线方向与人体夹角 S:人的全身面积

t= d/vm:雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的时间t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=1042/18(m/s), 所以总的淋雨量Q=stw2.4L。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =0， =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.顶部的淋雨量Q1= bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usin +v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin +v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin +v）/uv，所以总淋雨量

bdwcucosa(usinv)QQ1Q2 uvv=vm时Q最小。0时，Q=1.2L；=30，Q1.6L。

0 4

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量Q1=bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usinav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin -v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin -v）/uv，所以总淋雨量：

bdwcucosa(usinav)bdwu(cosaasina)av,vusinauvuvQbdwcucosa(vusina)bdwu(cosaasina)av,vusinavuvu若ccosa0m

asina即tana>c/a，则v=usina时Q最小，否则，v=v时Q最小，当a30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=vm，Q0.93L相比。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义

雨从背面吹来，只要 不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小（2）在考虑风向及雨量的情况下: 当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。

6.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。

2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第四篇：数学建模 雨中行走问题

数 学 模 型 论 文

学校：班级：姓名：学号：

雨中行走问题

摘要

当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。

在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。

当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。

当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。

关键词

人速；雨速；风向；夹角

1.问题的重述

当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。

2.问题的分析

当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。

3.模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cmh）。（3）风速保持不变。

（4）以定速度v(ms)跑完全程D。

3.2符号说明

h

人体的身高

（m）

w

人体的宽度

(m)d

人体的厚度

(m)D

人跑步的全程

(m)v

人跑步的速度

(m/s)i

降雨强度

(cm/h)c

人在跑步中的淋雨总量

(L)s

人在雨中会被雨淋的面积

(㎡)t

人在雨中跑步的时间

(s)v

雨滴下落速度

(m/s)

雨滴反方向与人速度方向的夹角



雨滴密度

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。淋雨面积：S2wh2dhwd（m）

行走世间：tDv(s)

I3.6*10(L)

5降雨强度：I(cmh)0.01I(mh)ISt3.6*10DIS360v(ms)

淋雨量：C()5m3结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。

但我们也可以发现，当我们取参数D1000m，I2cmh，w0.5m，h1.8m，d0.2m，v6ms时，可求得：S2.62m，C2.6L。也就是说

2在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。

结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没有考虑降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考虑降雨方向，可知，Ir

此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。

头顶的淋雨量：C1前面淋雨量：C2DwdrsinvDwh((rcosv)v

v6淋雨总量：CC1C2wD(drsinh(rcosv)

取参数r4ms,I3600*2cms,1.39*10

计算上式得：C6.95*10(0.8sin6cos1.5v)v4

可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问 题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。

2时

 C6.9510*433(1.5(v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.13L

3时

4

C6.9510*433(1.5v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.47L 2时

雨滴将从身后落下。

C6.95*10[(40.8sin6cosv)1.5]

令2，则02。计算得：

4

C6.95*10(0.8cos6sinv1.5)

此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是从前面落到身上的。这种情况另行讨论。

当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即vrsin时，雨滴将会从后面淋在身上。可计算得：

CDw(drcosh(rsinv)vDwdrcosrsin4

当vsin时，C取最小值。

C

代入数据得

C6.95*10cos5sin

结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。

若雨滴是以23的角度落下，即雨滴以

6的角从背后落下，应该以 4 v4sin62ms 的速度行走，此时，淋雨量为 ：

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即vrsin你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿 你的前胸。被淋得雨量是：

CDwr(dcosrsinvhr)C0.24L

当dcosrsin0,v尽可能大，C 才会最小。当dcosrsin0,v尽可能小，C才会最小。当vrsin,v接近rsin，C才可能最小。现取v6ms，

5.模型的评价

经过解题可知： 对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。

对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。

对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。

模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。

（2）模型简单明了，易于理解。模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误差。6时，C0.77L

参考文献

【1】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型（第三版）

高等教育出版社

【2】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型习题参考答案

高等教育出版社

第五篇：数学模型总结

【数学建模】数学模型总结

四类基本模型 优化模型

1.1 数学规划模型

线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型

阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3 图论与网络优化问题

最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型

决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5 组合优化经典问题  多维背包问题(MKP)背包问题：n个物品，对物品i，体积为wi，背包容量为W。如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为pi，体积为wi，背包容量为W。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP难问题。

 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。工人i完成工作j的时间为dij。如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i与k之间的物流量为fik，位置j与l之间的距离为djl，如何布置使费用最小。二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

 旅行商问题(TSP)

旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为dij，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

 车辆路径问题(VRP)

车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在 【数学建模】数学模型总结

可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。分类模型

判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分析。

聚类分析则是给定的一批样品，要划分的类型实现并不知道，正需要通过局内分析来给以确定类型的。

2.1 判别分析  距离判别法

基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组(类)的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类。

至于距离的测定，可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

 Fisher判别法

基本思想：从两个总体中抽取具有p个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式ycixi。其中系数ci确定的原则是使两

i1p组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。

对于一个新的样品，将它的p个指标值代人判别式中求出 y 值，然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下，判别临界值一般取：

nyn2yy01n1n2(1)(2)

最后，用F统计量来检验判别效果，若FF则认为判别有效，否则判别无效。

以上描述的是两总体判别，至于多总体判别方法则需要加以扩展。Fisher判别法随着总体数的增加，建立的判别式也增加，因而计算比较复杂。

 Bayes判别法 【数学建模】数学模型总结

基本思想：假定对所研究的对象有一定的认识，即假设k个总体中，第i个总体Gi的先验概率为qi，概率密度函数为fi(x)。利用bayes公式计算观测样品Xqjfj(x)来自第j个总体的后验概率p(Gj/X)k，当p(Gh/X)m(pG/j)Xaxj2，1,kqifi(x)i1时，将样本X判为总体Gh。

 逐步判别法

基本思想与逐步回归法类似，采用“有进有出”的算法，逐步引入变量，每次引入一个变量进入判别式，则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

2.2 聚类分析

聚类分析是一种无监督的分类方法，即不预先指定类别。根据分类对象不同，聚类分析可以分为样本聚类（Q型）和变量聚类（R型）。样本聚类是针对观测样本进行分类，而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量，而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

 系统聚类法（分层聚类法）

基本思想：开始将每个样本自成一类；然后求两两之间的距离，将距离最近的两类合成一类；如此重复，直到所有样本都合为一类为止。

适用范围：既适用于样本聚类，也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种，可以依据具体情形选择。

 快速聚类法（K-均值聚类法）

基本思想：按照指定分类数目n，选择n个初始聚类中心Zi(i1,2,,n)；计算每个观测量（样本）到各个聚类中心的距离，按照就近原则将其分别分到放入各类中；重新计算聚类中心，继续以上步骤；满足停止条件时（如最大迭代次数等）则停止。

使用范围：要求用户给定分类数目n，只适用于样本聚类（Q型），不适用于变量聚类（R型）。

 两步聚类法（智能聚类方法）

基本思想：先进行预聚类，然后再进行正式聚类。

适用范围：属于智能聚类方法，用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量，自动选择聚类数，可以处理超大样本量的数据。

 模糊聚类分析

 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

2.3 神经网络分类方法 评价模型

【数学建模】数学模型总结

3.1 层次分析法(AHP)基本思想：是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

基本步骤：构建层次结构模型；构建成对比较矩阵；层次单排序及一致性检验（即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性）；层次总排序及一致性检验（检验层次之间的一致性）。

优点：它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

缺点：用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

适用范围：尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

改进方法：

(1)成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。(2)如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。

3.2 灰色综合评价法（灰色关联度分析）

基本思想：灰色关联分析的实质就是，可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

基本步骤：建立原始指标矩阵；确定最优指标序列；进行指标标准化或无量纲化处理；求差序列、最大差和最小差；计算关联系数；计算关联度。

优点：是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单，通俗易懂，易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理，可用原始数据进行直接计算，可靠性强；评价指标体系可以根据具体情况增减；无需大量样本，只要有代表性的少量样本即可。

缺点：要求样本数据且具有时间序列特性；只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对水平，故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

适用范围：对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题；应用该种方法进行评价时，指标体系及权重分配是一个关键的问 【数学建模】数学模型总结

题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

改进方法：

(1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。(2)结合TOPSIS法：不仅关注序列与正理想序列的关联度，而且关注序列与负理想序列的关联度，依据公式计算最后的关联度。

3.3 模糊综合评价法

基本思想：是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级（或称为评语集）状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。

基本步骤：确定因素集、评语集；构造模糊关系矩阵；确定指标权重；进行模糊合成和做出评价。

优点：:数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。评判逐对进行，对被评对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

缺点：并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，隶属函数的确定还没有系统的方法，而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断，由于各因素权重的确定带有一定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

应用范围：广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。

改进方法：

(1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

3.4 BP神经网络综合评价法

基本思想：是一种交互式的评价方法，它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值，直到用户满意为止。因此，一般来说，人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

优点：神经网络具有自适应能力，能对多指标综合评价问题给出一个客观评价，这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中，传统的权重设计带有很大的模糊性，同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移，各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化，确定的初始权重不一定符合实际情况。再者，考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统，必须建立权重的学习机制，这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性，采用神经网络原理可对变量进行贡献分析，进而剔除影响不显著和不重要的因素，以建立简化模型，可以避免主观因素对变量选取的干扰。【数学建模】数学模型总结

缺点： ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式，权值不能解释为一种回归系数，也不能用来分析因果关系，目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本，精度不高，应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性，人们只能借助计算机进行处理，而这方面的商品化软件还不够成熟。

适用范围：神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性，能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中，无需考虑输入因子之间的权系数，ANN通过输入值与期望值之间的误差比较，沿原连接权自动地进行调节和适应，因此该方法体现了因子之间的相互作用。

改进方法：

(1)采用组合评价法：对用其它评价方法得出的结果，选取一部分作为训练样本，一部分作为待测样本进行检验，如此对神经网络进行训练，知道满足要求为止，可得到更好的效果。

3.5 数据包络法(DEA)3.6 组合评价法 预测模型

定性研究与定量研究的结合，是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中，应该将定性预测和定量预测结合起来使用，即在对系统做出正确分析的基础上，根据定量预测得出的量化指标，对系统未来走势做出判断。

4.1 回归分析法

基本思想：根据历史数据的变化规律，寻找自变量与因变量之间的回归方程式，确定模型参数，据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。

特点：技术比较成熟，预测过程简单；将预测对象的影响因素分解，考察各因素的变化情况，从而估计预测对象未来的数量状态；回归模型误差较大，外推特性差。

适用范围：回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律，当预测的长度大于占有的原始数据长度时，采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外，可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，有时难以找到合适的回归方程类型。

4.2 时间序列分析法

基本思想：把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列，构成一个随时间变化的统计序列，建立相应的数据随时间变化的变化模型，并将该模型外推到未来进行预测。

适用范围：此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来，因而这种方法对短期预测效果比较好，而不适合作中长期预测。一般来说，若影响预测对象 【数学建模】数学模型总结

变化各因素不发生突变，利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果；若这些因素发生突变，时间序列法的预测结果将受到一定的影响。灰色预测法

基本思想：将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量，不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究，而是利用数据处理方法(数据生成与还原)，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究，即灰色系统理论建立的不是原始数据模型，而是生成数据模型。

适用范围：预测模型是一个指数函数，如果待测量是以某一指数规律发展的，则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素，是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

4.3 BP神经网络法

人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力，给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。

利用人工神经网络的学习功能，用大量样本对神经元网络进行训练，调整其连接权值和闭值，然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程，并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数，而不论这些函数具有怎样的形式，且所考虑的系统表现的函数形式越复杂，神经网络这种特性的作用就越明显。

误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播，调整和修改网络的连接权值和闭值，使误差达到最小，其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型，就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前，神经网络模型已成功地应用于许多领域，诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。

优点：可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能，对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能，具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点，其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的，同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。

缺点：网络结构确定困难，同时要求有足够多的历史数据，样本选择困难，算法复杂，容易陷入局部极小点。

4.4 支持向量机法

支持向量机是基于统计学习的机器学习方法，通过寻求结构风险化最小，实现经验风险和置信范围的最小，从而达到在统计样本较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的。

其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似，它能够提高学习机的泛化能力，既能够由有限的训练样本得到小的误差，又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差，而且支持向量机算法是一个凸优化问题，因此局部最优解一定是全局最优解，支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。

核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题，至今没有一定的理论方面的指导。【数学建模】数学模型总结

4.5 组合预测法

在实际预测工作中，从信息利用的角度来说，就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息，同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势，对于同一预测问题，往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息，组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理，各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息，尽可能地提高预测精度，达到改善预测性能的目的。

优化组合预测有两类概念，一是指将几种预测方法所得的预测结果，选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法，其关键是确定各个单项预测方法的加权系数；二是指在几种预测方法中进行比较，选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。