高数小结论

第一篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大15．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,216.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+117.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性19.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 20．ln(x1x2)x(x0)21． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)22． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)23．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t24．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

25.ba(xab)dx0 226．lnxdx1

010127． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx这下就好求了

第二篇：高数小结论

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(coskx)(n)kncos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n

1(n)n!()tx(tx)n1(cosx)(n)cos(x[ln(tx)](n)(1)n1(n1)!(tx)n1(n)(1)nn!n()aaxb(axb)n18.泰勒公式(用来求极限)

(ln(axb))(n)(1)n1(n1)!a(axb)nnx3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(tanx)(2n1)(cosx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dcotx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数)2)（2）coskxdxsinkxdx0

(coskx)dx(sinkx)dx

2 设k,lN,且k则,l:(3)

kxcosaTsilnxdxTcoskxcolsxdxT2T2sinkxsilnxdx0

(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).af(x)dxf(x)dx0f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx22(sinx)dx22(cosx)ndx000nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)dxn20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnnn!0nn(2)limnn(3)limxlnx0 x0x(4)limx1x0an(5)lim0nn!14.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00

19.用求导法判断数列的单调性

设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24 26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(abx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds

(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2

例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有轮换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有轮换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz837.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()038.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在h0h0h2hf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')

40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

41.几个极限之间的关系

1.若limanan则lim2.若limana且an0na1a2anann则limna1a2anann3.若limana且an0nan1n则limnanaananan1

但要注意：若limnana且an0，不能推出lim反例：an2(n为偶数)=3(n为奇数)

42.函数与其反函数图像交点问题

函数与其反函数图像交点有如下两个结论：(1)设f(x)是增函数，其反函数为f1(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点必在函数yx上(2)设f(x)是减函数，其反函数为f(x)，如果这两个函数图像有交点，则交点不一定都在函数yx上例如：yx2,其反函数就是其本身

1 43．阶乘不等式

阶乘不等式在极限证明中的应用nn(1)设n为自然数，则()nn!e()ne2n!应用：证明limn0nnne()nn!een!证明:n2nn,n时，n0，limn0nnnn22an证明lim0(a为任意实数)nn!证明:a0，显然成立ane|a|ena0,0|||an|()n()n!nn|a|e|a|enn时，0,()0nnan根据夹逼准则：lim0nn!(2)一些不常用的，可以记忆玩玩n1。设p2且p为实常数，则n!()pp2。当n4时，n!(n)nn

3。当n2时，则n!(lnn)lnn

44．中值定理

罗尔定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)f(a)f(b)在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0注意：该定理的条件只是充分的，本定理可以推广为：yf(x)在区间(a,b)内可导,limf(x)limf(x)xaxb

在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()0拉格朗日定理yf(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导在区间(a,b)内至少存在一点使得f'()柯西定理f(x)及F(x)满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)区间(a,b)内可导(3)区间(a,b)内F'(x)0在区间(a,b)内至少存在一点使得f(b)f(a)f'()F(b)F(a)F'()

f(b)f(a)ba

45．需注意的地方

可积与连续之间的关系1.闭区间上的连续函数一定是可积的；2.可积函数不一定是连续的，但是一定有无穷多个处处稠密的连续点可积与存在原函数之间的关系11.f(x)存在原函数，但其不一定可积，例如f(x),x(0,)x2.f(x)在[a,b]上可积，但f(x)不一定存在原函数，例如：

46．用泰勒公式分解既约分式

用泰勒公式分解既约真分式(以下只给出结论)设P(x)是既约真分式，Q(x)在复数范围内可以分解为(xa1)n1(xa2)n2(xar)nr,则Q(x)其能唯一分解为：b11b12b1n1b21b22b2n2P(x)[][]Q(x)(xa1)n1(xa1)n11(xa1)(xa2)n2(xa2)n21(xa2)bi1bi2binibr1br2brnr[][](xai)ni(xai)ni1(xa1)(xar)nr(xar)nr1(xar)其中bij(i1,2,,r;j1,2,ni)都是待定的常数fi(j1)(ai)P(x)j设fi(x),且bi(xa1)n1(xa2)n2(xai1)ni1(xai1)ni1(xar)nr(j1)!例一3x分成部分分式2(x1)(x1)3x3解：令f1(x),则f(1)1(x1)243x33f2(x),则f2'(1),f2(1)x1423x3121=[]22(x1)(x1)4x1(x1)x12x7将分成部分分式x(x1)(x3)2x77解：f1(x),f1(0)(x1)(x3)32x79f2(x),f2(1)x(x3)42x71f3(x),f3(3)x(x1)122x7791=x(x1)(x3)3x4(x1)12(x3)将9x324x248x将分成部分分式4(x1)(x2)9x324x248x解：f1(x),f1(1)1(x2)4f''(2)9x324x248xf2(x),f2(2)24,f2'(2)12,26(x1)2!f2'''(2)13!9x324x248x1241261(x1)(x2)4x1(x2)4(x2)3(x2)2x2例二由此可见此法对分母都是一次时特别简单例三 47．求不定积分的几种特殊技巧

求定积分的几种特殊技巧1.定义在对称区间[a,b]上的任何函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数222.f(x)定义在对称区间[a,-a]上f(x)为奇函数时，f(x)dx0aaf(x)为偶函数时，f(x)dx2f(x)dxa0aa(1)求定积分xln(1ex)dx22f(x)f(x)xln(1ex)xln(1ex)1(x)xln(1ex)x2表示奇函数22222221121212xxx22xln(1e)dx=2xln(1e)2x2xdx2[xln(1e)2x]dx22xdx280x2dx03ln(x1x2)(2)求定积分dx11x21ln(x1x2)值得注意的是一眼看去不是奇函数，实际求一下发现它是奇函数21x3.巧用几何意义求定积分求ba(xa)(bx)dx(ba)ba2ab2ab)(x)是以(,0)为222ba11ba2圆心，为半径的上半圆，上半圆的面积为S=r2()(ba)222228解：被积函数f(x)(xa)(bx)(根据定积分的几何意义，(xa)(bx)dxab(ba)284.前面我面有这样一个结论：xf(sinx)dx0baf(sinx)dx02ab对称，则：2现在我们再给出特殊一点的式子：xf(x)dx?以下有结论：设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)关于xbaabbxf(x)dxf(x)dx2a

48．矩阵积分法

设ui(ui1)'vivi1dx(i1,2,)函数序列一：u0,u1,u2,un,函数序列二：v0,v1,v2,vn,一.形如xnsinaxdx的积分函数序列一：u0xn,u1nxn1,unn!1(1)n函数序列二：v0sinax,v1cosax,vnnsin[axn]aa2函数序列一和函数序列二作为矩阵的一二行，构造一个辅助矩阵，就可以方便的求得结果求(x32x3)sin3xdxx32x3sin3x3x226x601111cosxsin3xcos3xsin3x3927811111原式(x32x3)(cosx)(3x22)(sin3x)6x(cos3x)6(sin3x)3927811(3x22)2x23cos3x(x2x3)sin3xcos3xsin3xC39927注：按unvn1规则进行斜线相乘，每一项正负交替出现nax二.形如xncosaxdx，xedx的积分方法与上述一样三.形如eaxsinbxdx的积分函数序列一：u0sinbx,u1bcosbx,u2b2sinbx函数序列二：v0eax,v1求e2xsin3xdx的积分sin3xe2x原式12xe23cos3x12xe4

1ax1e,v22eaxaa9sin3x12x11esin3xe2x3cos3x(1)22(9sin3x)e2xdx244232x解方程解得：esin3xdx(sin3xcos3x)e2xC1313最后一项是(1)n2u2v2dx,实际上n就取2,最后一项就是u2v2dx49.函数的可积性与原函数存在性

定理1(1)：若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积(2)：若f是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在[a,b]上可积(3)：若f是[a,b]上的单调函数则f在[a,b]上可积注：即使单调函数有无穷多个间断点，仍不失其可积性0如函数：f(x)1n在区间[0,1]上可积x011xn1nn1,2,3........定理2若f为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上的原函数存在定理3

(1)：若f在[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(2)：若f在[a,b]上有无穷型间断点，则f在[a,b]上不存在原函数(3)：若f在[a,b]上存在原函数，若f存在间断点，则f在[a,b]上的间断点是第二类的

50.函数性质在原函数与其导函数之间的传递性

命题1有界不交互传递F(x)在有限空间(a,b)无界，f(x)必无界，反之不成立1反例：F(x)xsin,x(0，1)F(x)在(0，上有界1)x111则f(x)sin2cos在(0，1)上无界xxx

命题2单调不交互传递F(x)为凸性或凹性单调函数时，f(x)具有单调性 f(x)具有单调不变号性时，F(x)必有单调性命题3奇偶性 F(x)为奇(偶)，则f(x)为偶(奇)f(x)为奇(偶)，则F(x)为一偶函数常数(一奇函数常数)命题4周期性

TF(x)以T为周期，f(x)以T为周期f(x)以T为周期且f(x)dx0F(x)以T为周期0

第三篇：高数小结论a

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函数

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函数

5．直线L：y=kx+b 为y=f(x)的渐近线的充分必要条件为：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：这里的∞，包括+∞和-∞ 要分开讨论 6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用来求极限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)22(secx)1(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|Ccscxdxln|cscxcotx|C x1sin2xC24x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)2dxcotxxCdx1xarctanCx2a2aadx22x2a2ln|xxa|C

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2

2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)Ca2b210． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))（2）

coskxdx0sinkxdx0 (coskx)^2dx(sinkx)^2dx

(3).设k,lN,且kl,则coskxsinlxdx0coskxcoslxdx0

sinkxsinlxdx0(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdt20

20(1)f(sxindx)f(2)f(sxindx)0(xcdxos)特别的20x(dxsin)20nxndx(cos)0n20n00202fx(sdxin)(co特别的s)f2xdx20xdx(sin)xdx2(s2inx)ndx2(cos)(3)0n(cxosdx)(n为奇数)022(coxsndx)n(sxi)ndx（n为偶数）(n为奇数)(4)20042(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(5)(cosx)ndx022042(cosx)ndx020（n为偶数）(6)(sinx)ndx(cosx)ndx00(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx

11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

n!(1)limnnn 01(2)linmnn(3)lixmxlnx0x(4)lixmx00114.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待续

LP(x,y)dx0

第四篇：高数小结论(完结版)

高数小结论

1． 等价无穷小（x→0）

(1).sinxxtanxex1ln[1x]arcsinxarctanx1(2).1cosxx22(3).(1x)a1ax(4).ax1xlnax(5).1n1xnx(6).n1x1n(7).loga(1x)0x2．

xlna0|x|2时2时

sinxxtanx11cosxx22 3．如果limU1,limV则limUeVlim(U1)V4.f(x)f(x)f(x)f(x)表示偶函数，表示奇函数

22直线L:ykxb为函数yf(x)的渐近线的充分必要条件为：5． f(x)klimblim[f(x)kx]这里的包括和xxx6． 常见函数的导数

(记熟后解题快)(x)'12x11()'2xx(xx)'xx(1lnx)

7.关于n阶导数的几个重要公式

n)2n(sinkx)(n)knsin(x)2(xn)(n)n!(sinx)(n)sin(x(ex)(n)ex1(n)(1)nn!()tx(tx)n1n)2n(cosx)(n)cos(x)2(ax)(n)(ax)(lna)n(cosx)(n)cos(x(1(n)n!)tx(tx)n1(n)

[ln(tx)](1)n1(n1)!(tx)n8.泰勒公式(用来求极限)x3x5x2x46sinxxo(x)cosx1o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e1xo(x)ln(1x)xo(x3)2!3!23a(a1)2a(a1)(a2)3(1x)a1axxxo(x3)2!3!x31x tanxx o(x3)cotxo(x)3x311arcsinxxx3o(x3)arccosxxx3o(x3)626x3arctanxxo(x3)321tan(tanx)xx3o(x3)sin(sinx)xx3o(x3)339． 重要不定积分

secxdx(secx)(2n2)dx(secx)2nd(tanx)(sinx)(2n1)cosx(sinx)2n1(sinx)(2n1)(cosx)(2n1)(tanx)(2n1)dx[1(cotx)2]n(cosx)(2n1)sinx(cotx)(2n1)dx dx1xdxtanC 1cosx212dxtanxsecxCC 1sinxx1tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx(tanx)dx(tanx)(secx)21(tanx)2nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)(cotx)dx(cotx)(cscx)2dx1(cotx)2 nntanxdxln|cosx|C cotxdxln|sinx|Csecxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|Cx1sin2xC24

x12(cox)dxsin2xC242(sinx)dx2(tanx)dxtanxxC(cotx)dxcotxxC2

dx1xarctanCx2a2aadx22ln|xxa|Cx2a2

dx1xax2a22aln|xa|CdxxarcsinCa2x2aa2xx2axdxarcsinax2C2a2 2ax2x2a2dxln|xx2a2|xa2C2222axeaxecosbxdxa2b2(acosbxbsinbx)C axeaxesinbxdx(asinbxbcosbx)C22ab10． y=sinwx(w>0)

它的半个周期与x轴围成的面积为s=2/w

把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为s’=1/w

显然s=2s’

20w 1S'23wsinwxdxw3wSwsinwxdx11.定积分部分

（1）如果函数f（x）在[-a,a]上连续

（2）aaf(x)dx[fx()fx(dx)]0a0(如果fx(为奇函数)a0)2f(xdx)如果(fx(为偶函数))coskxdx0sinkxdx0 (coskx)dx(sinkx)dx22设k,lN,且k则,l(3)coskxsilnxdxcolsxdxsilnxdx000

coskxsinkx(4).设f(x)是以周期为T的连续函数

(1).aTaf(x)dxf(x)dx0TT2T2f(x)dx

(2).anTaf(x)dxnf(x)dx0T(5).特殊积分



0eudueaxdx221(a0)a0w

(p0,w0)0p2w2pptecoswtdt(p0,w0)0p2w2sinxdx0x2(6).关于三角函数定积分简化(注意：f(x)是定义在[0,1]上的函数)eptsinwtdtn0(1)20f(sinx)dx20f(cosx)dx0特别的(sinx)dx2(cosx)ndx20(2)f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cosx)dx00特别的(sinx)dx2(sinx)dx22(cosx)ndx0200nn(3)(cosx)ndx00(n为奇数)022(cosx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)(4)(5)20(sinx)ndx42(sinx)ndx0（n为偶数）(n为奇数)20(cosx)ndx042(cosx)ndx0（n为偶数）(6)20(sinx)ndx20(cosx)ndx0(7)2(sinx)ndxn1n3n52.........(n为正奇数)nn2n43n1n3n51.........(n为正偶数)nn2n422

(8)xf(sinx)dx020f(sinx)dx11.图像分段的函数不一定是分段函数（如y=1/x）分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如y=|x|）

12.如何证明一个数列是发散的？

（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值

（2）找一个发散的子数列 13.必记极限

(1)limnn!0nn

(2)limnn1n(3)limxlnx0x0(4)limxx1x014.函数f(x)在[a,b]有定义，且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的积分不一定存在 列如：

f(x)15． 注意 1-1x为有理数

x为无理数若f'(a)0，只能得到结论：f(x)在a点严格增加。即x(a,a)有f(x)f(a)x(a,a)有f(x)f(a);但不能得到结论：f(x)在U（a,）内单调增大16．

设f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可导的点显然为1,217.函数取得极值的第二充分条件

设f(x)在x0处n阶可导，且f'(x0)f''(x0)f'''(x0)f(n1)(x0)0f(n)(x0)0(2n)(1)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极大值(2)n2k且f(n)(x0)0f(x0)为极小值(3)n=2k+118.拐点的第二充分条件

f(x0)不是极值点设f(x)在x0处n阶可导（n>2且为奇数）

若f''(x)f'''(x)f则(x,f(x))为拐点0000(n1)(x)0，f0n()(x)00.用求导法判断数列的单调性 设An1f(An),AnI若f(x)在区间I上单调递增则：(1)(2)A2A1{An}A2A1{An}

注意：若f(x)在区间I上单调递减则：A2n1与A2n两数列具有相反的单调性20.题目中如果出现f''(x)0f'(x)单调 21．ln(x1x2)x(x0)22． 无穷小小谈

当x0时，有(1)当0nmxmo(xn)(2)当0nmo(xm)o(xn)o(xn)o(xm)mn(3)当0nmo(x)nx注意：两个o()不可以相除(4)当m,n0xmo(xn)o(xmn)o(xm)o(xn)o(xmn)23． 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？？？？？

哈哈！显然都是NO11111之和：lim()1其中(有无穷多个)nnnnnn

kn之积：取0(其中nk,1,2,3)n!1n2n3nnnn(!)n显然1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxan

1arctanx2t,0t2

(2)arcsin(sint)t,a2a12t25．

求A(b)|xb|dx的最小值aa结论：当b12时21Amin(b)(a1a2)24

26.ba(xab)dx0 227．lnxdx1

010128．29． x(1x)dxxn(1x)mdx0191900mn1

作用：x(1x)dxx(1x)dx若f(x)在[a,b]上可积则f(x)dxf(abx)dxaabb这下就好求了1baf(x)dx2a[f(x)f(bx)]dx

特别的当a0时，有如下推论：b（1）f(x)dxf(bx)dx00bb1b（2）0f(x)dx20[f(x)f(bx)]dxb若f(x)在[a,b]上可积,则：30． 111110f(x)dx0x2f(x)dx20[f(x)x2f(x)]dxf2(x)C 31．f(x)f'(x)dx232．连续函数必有原函数且原函数连续，若f（x）是不连续的分段函数，则f（x）的原函数就一定不存在 33．

有极限连续

可微偏导连续 有定义偏导存在34．对

0f(sinx)dx22f(sinx)dx进行推广：0设f(x)在[0,1]上连续，且abn(n0,1,2...)有以下结论：nbf(sinx)dxaa2bnb n为偶数xf(cosx)dxf(cosx)dxaa2（2）若f(x)为偶函数，则（1）n为奇数bxf(sinx)dxnxf(sinx)dxa2bnxf(cosx)dxa2bbabf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 线、面积分中的对称简化

（1）对弧长的曲线积分设连续且分段光滑的平面线弧L关于y轴对称，函数f(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：

2若f(-x,y)=f(x,y)s2f(x,y)dsLf(x,y)dL2若f(-x,y)=-f(x,y)Lf(x,y)ds0例一I=(xyx2)ds,L为y=a2x2L解：I=(xyx2)dsxydsx2ds02Lx2dsLLL222a2cos2ad02a3

例二3222I(xy)ds,L为xyRL33解：I(xy)ds=xds+y（自己体会一下，为什么？）ds=0+0=0LLL（2）对坐标的曲线积分A.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义L 且连续，为x0的半个区域，则：2若P(-x,y)=P(x,y)P(x,y)dx2LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一LP(x,y)dx0Ixy(ydxxdy),其中L为yR2x2,方向为从左到右LLLLL解:Ixy(ydxxdy)xy2dxx2ydy0x2ydy0(这要用到下面B的结论)例二解： 2222222Ixydy,其中L为双纽线的右半支：(x+y)=a(x-y),x0的逆时针方向L

由于图像关于x轴对称，则I0B.设连续且分段光滑的平面有向曲线弧L关于y轴对称，函数P(x,y)在L上有定义且在左半平面部分L1与右半平面部分L2方向相反，则：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)LP(x,y)dy0(上面讲到的就是用的这个结论)LP(x,y)dy2P(x,y)dyL1

注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相反对于关于x轴对称的情况就不写了，其实是一个道理！一定要把A,B好好的比较看看两者之间的区别与联系例一Ix|y|dx,其中L为y2x上从A(1,1)到B(1,1)的一段弧L解：L关于x轴对称且方向相反且被积函数x|y|为y的偶函数故I=0例二Idxdy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)为ABCD|x||y| 顶点的正方形的边界线，方向为逆时针方向dxdy解：I+ABCD|x||y|ABCD|x||y|第一部分积分：曲线关于x轴对称，且方向相反，而函数是y的偶函数，故积分为0，同理第二部分积分也为0故I=0(3)对面积的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz平面对称，f(x,y,z)在上连续，则有：当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时对于关于zox,xoy的平面对称有类似的性质1|x||y|2是中x0的一半

f(x,y,z)ds0f(x,y,z)dsf(x,y,z)ds=22例一I2222(xyz)ds,其中为球面xyza上z（h0

解：关于xoz面对称，故Izxds(4)对坐标的曲面积分设分片光滑的曲面关于yoz面对称，函数p(x,y,z)在上连续，一半，则：当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时，当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时2是中x0的

f(x,y,z)dydz0f(x,y,z)dydz=2f(x,y,z)dydz2例一I的部分。xyzdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧在x0,y0解：关于xoy面对称，故I例二2xyzdxdy2xyzdxdy52

I=x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为曲线弧段z=y2(x0,1z4)绕z轴旋转所成的旋转曲面的非封闭侧。解：显然曲面关于yoz,zox面对称，故Iz2dxdy21

36．轮换对称性在积分计算中的应用举例

1.设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，D对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y)dxdyf(y,x)dxdyDD

何为轮换对称性：将x,y互换后D不变

例一I(3x2y)dxdy,其中D为xy2与两坐标轴围成D解：D关于x,y具有轮换对称性，则:I例二I(3x2y)dxdy=D(3y2x)dxdyD520

(xy)dxdy5xdxdy23DDx2y2R2(y2x2)dxdy解：Ix2y2R2(y2x2)dxdyx2y2R2(x2y2)dxdyI,故I02.设函数f(x,y,z)在空间有界闭区域上连续，对坐标x,y具有轮换对称性，则：f(x,y,z)dvf(y,x,z)dv例一求(xyz)dv,为x0,y0,z0,x2y2z2R2解：由于积分区域关于x,y,z具有轮换对称性，则：xdv=ydvzdv(xyz)dv3zdv3R416例二求I(zx2y2)dv,为zx2y2和z（hh0）围成的区域解：积分区域关于x,y具有轮换对称性I(zx2y2)dv(zy2x2)dv132zdvh23

3.设L是xoy面上一条光滑的曲线弧，L对坐标x,y具有乱换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL例一Ixds,L为星形线xyaL232323232323解：显然L对x,y具有乱换对称性，则：222511Ixdsyds(x3y3)dsa3ds3a32L2LLL例二22222求(xz)ds,F是圆周xyzR,xyz0F解：F关于x,y,z具有乱换对称性，则：xds=yds=zds,FFF2222xds=yds=zdsFFF11R2222故(xz)ds(xyz)ds(xyz)ds3F3F3F2R3ds3 F4.设L是xoy面上一条光滑的或者分段光滑的有向曲线弧，L对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y)在L上连续，则：f(x,y)dsf(y,x)dsLL

或者f(x,y)ds+f(y,x)ds=0LL例一Iydxxdy,L为xyR上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L对坐标x,y具有轮换对称性，故ydxxdy=0L例二2222Iydxydx,L为双纽线(xy)2axy位于第一象限部分L2323

取逆时针方向解：L关于x,y具有轮换对称性，则ydxxdy=0L23235.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：f(x,y,z)dsf(y,x,z)ds11I(x2y2z2)ds,:x2y2z2R224解：1111I(x2y2z2)ds(1)z2ds24241117(1)(x2y2z2)dsR42433例二I解：2222(axbycz)ds,:xyzR位于第一挂限部分例一xdsydszds222xdsydszds

1I(abc)zdsR3(abc)46.设是光滑曲面或者分片光滑曲面，对坐标x,y具有轮换对称性，f(x,y,z)在上连续，则：

f(x,y,z)dydzf(y,x,z)dzdx例一I(0zh)的外侧(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy,为zx2y2解：关于x,y具有轮换对称性，则：(yz)dydz=(xz)dxdz所以I0例二I(xy)dxdy(yx)dydx0xydydzyzdzdxzxdxdy,为平面xyz1位于第一挂限的外侧解：关于x,y,z具有轮换对称性，则：xydydzzydydxzxdxdy

1I3xydydz8

37.广义的罗尔定理

设f(x)满足：(1)在区间(a,)上连续(2)在区间(a,)内可导(3)limf(x)limf(x)xax则：a使得f'()0

38.需要记忆的反例

(1)(2)f(x)|x|在x0处不可导f(x)1f(x)0x0x0在x0点不可导应用：设f(0)0,则f(x)在x0点处可导的充分必要条件为: f(1cosh)f(1eh)(A)lim存在(B)lim存在2h0h0hhf(hsinh)f(2h)f(h)(C)lim存在(D)lim存在h0h0h2h用(1)检验AC,用(2)检验D,答案为B(1)若','且lim39.11 则：()('')(2)若','且lim则：()('')40.特别要注意的地方

设f(x)为(,)上的连续，函数F(x)为f(x)的一原函数，则：(1)f(x)为奇函数f(x)任意原函数F(x)为偶函数(2)f(x)为偶函数f(x)的原函数只有一个是奇函数,即为f(t)dt0x(3)f(x)任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数(4)f(x)以T为周期的函数且f(x)dx0f(x)任意原函数F(x)以T为周期0T

(5)函数的单调性与其原函数的单调性之间没有逻辑上的因果关系

第五篇：考研高数全册小结论

第一轮，目的：打好基础。用书：教材，教材同步练习册一本；教育部考试中心《数学考试参考书》

时间：2004年7月15日——9月底，其中7.15~8月底复习高数，主要用书为同济四版的《高等数学》，按照大纲划去不需要看的内容，然后就是以3~4天为一个小周期，一个周期一章内容；

第一天，看前面的讲解，分析公式的推导，定理的应用条件，结论，记忆公式，做书后习题。一定要做，拿出小本子，认真地写步骤，熟练之后可以不那么正规，可以节省时间，但最好标清楚，以待今后复习时使用；而且积攒起来的厚厚的草纸本让你有成就感；

第二天，完成书后全部的习题，最好配一本带有书后题讲解的书，同步练习，巩固基础； 第三天，做教育部的《数学考试参考书》，这本书的内容很基础，比教材略难（实际就是真题的难度和题型），做完。

根据不同章节的难度详略自由调整这个小复习周期的长短，做题时，在题号上做标记，我采用几种符号：

1，特别熟练，迅速准确地做出来的题，打X，今后复习一带而过； 2，一般熟练，了解思路，有部分小失误，但今后可以避免的，打，3，有点困难，稍加提示就恍然大悟，并且今后遇到应该不再错的，打一个O再划X，4，比较困难，需要看提示才能正确解答的，甚至看提示也觉得吃力的，打一个O一道 5，非常困难，完全没有思路，甚至看了答案都不知道怎么回事的，打O 每过1~2周左右，用一个小本子，把带有O和Φ的题认真抄一遍，反复总结，没事就翻开看看，从陌生到熟悉，从熟悉到几乎机械的记忆，看到10遍左右时，基本就彻底掌握了。这个总结方法可以让你无论何时都对自己的水平有明确把握。每看一遍，不妨用不同颜色的笔写下心得和疑问，下次再看到的时候，也许就迎刃而解了。

9月初~9月底，线性代数部分，用书：同济四版《工程数学 线性代数》，配套书后题答案一本，同步练习一本，我用的是《线性代数习题集》史荣昌编，机械工业出版社，这里的题很多，但不少特别偏，难度远高于考研的线代难度，做过之后就有了居高临下的感觉；做题方法和时间进度安排同上；不赘述。

第一轮复习过后，应该做到，所有的公式、定理、应用条件熟练掌握，譬如定积分公式，应该可以做到常用的扩展公式和基本积分公式应该不经过大脑就可以机械地写出来的程度。数学二的内容少，第一轮复习2~2.5个月就够了，如果是数学一，内容多可以适当延长，最好不要超过4个月，这时遗忘的速度可能超过了复习的速度。实际上，我在2.个半月结束数学一轮时，刚开始看的题和公式就有点忘了，但没关系，今后的复习逐步强化。

第二轮：复习目的：巩固提高基础知识，掌握一些技巧。用书：《二李复习全书》 时间：10月1日~10月20日。（时间仅为数学二参考，数学一用时可能会长1倍）为了避免线性代数遗忘，先做线性代数部分，用时5天左右；所有的习题做一遍，注意是做，不是看；做不出来看解答。然后是高等数学部分，用时15天左右，最后用3~4天总结做题时画O和Φ的。二李复习全书注重基础，比教材略难，第一轮复习后的水平应该可以比较顺利地做出其中60%左右的题，20%有困难，20%不会。第二轮复习之后，按真题水平自测，应该在100分左右。

第三轮，复习目的：强化复习，重点提高，做难题，达到居高临下的效果。用书《陈文灯数学复习指南》 这本书总体感觉很偏，不适合作为考研用书，因此做了一些之后发现不用放太多精力在其上，尤其是线性代数，如果做完以上说的那些书，你会发现陈的线代很多是低水平的重复。本书最好的地方个人认为是高数的证明部分，很多题总结得都很充分，但不是所有的技巧都简练易懂，一些题如果结合二李复习全书的证明技巧会有豁然开朗、事半功倍的效果，非常好。比较偏的地方，比如微分算子，变态的不定积分，都没有必要太重视。不定积分做到教材上书后题水平就差不多了。太偏的不用做。

时间安排：11月初~11月20日。其中线代用时4天，高数用14天，总结2天。

第四轮，复习目的：综合，提高解题速度，全面找不足，查缺补漏。用书《二李400题》 本书感觉还是很基础，计算量较大，题目难度一般。掐表按时完成，一天一套，3小时做题，1小时总结。可以全面检测漏洞，再下一轮重点攻关。10套题，用时为10天。

此轮过后，我03真题自测水平在120~130左右。

第五轮，复习目的：根据上一轮的弱点重点突破。用书：我选的是《陈文灯题型集粹》

题目很多，不需要全做，正常来说这时已经比较疲劳，不愿意大量做题，太简单的就略过，做中等难度的就可以。时间：11月20日~11月末

第五轮：目的：防止被几本书束缚思维，博采众家之长。用书：《二李超越135分》 时间：12月初~12月10日。此轮后看真题已经没有陌生感，也不觉得有难题了。

第六轮：大量的模拟训练。熟悉考试，锻炼解题速度。用书：《考试虫模拟8套卷》《东方飞龙 20套卷》

时间：12月10日~12月底

第七轮：1月1日~1月15日

半个月时间，认真做真题，熟悉真题思路，矫正一些惯性思维，训练得分细节。

从难度上来说，经过了半年的磨练，看真题几乎就是小儿科了，通常2小时10分钟左右就可以做完，成绩应该在130~140左右（按数学二来算，数学一三四不了解，不敢妄谈）。不应该有不会的题，关键是如何尽可能地不丢细节分，答全最重要。因此，数学真题半个月足够了。看近5年的题就可以了。时间充裕的话可以多看看。

考前6天左右

回归基础，看看基本题，看看教材，看看真题，调整状态等待上战场。

自我总结：复习时间191天，做过的习题有《教材》《二李复习全书》《陈文灯复习指南》《陈文灯题型集粹》《二李400题》《二李超越135》《教育部数学复习参考书》《考试虫8套卷》《东方飞龙20套》（没做完）《历年真题》总共做题量约7000~8000。

虽然今年数学让我感到格外别扭，可能是计算量较大，平时做题时就容易犯低级错误，考试时一紧张仍未避免最简单的计算错误，考得可能也很惨，我始终觉得自己的复习没有什么漏洞，重在总结，数学一定要动笔做，决不可只看不做，只做不总结，只总结不想。对于在职考研和在校考研，时间不如我这么充裕，就更要注重总结的重要性了。做题量也未必需要这么多，但是一条原则要记住，数学一旦开始复习，绝对不可以中断，不允许出现24小时之内不碰数学的情况（当然数学基础特别好的除外），数学的手感很重要的。一天不做可能手就生了。