初中数学知识点总结：相似三角形（共5则）

第一篇：初中数学知识点总结：相似三角形

知识点总结

一、平行线分线段成比例定理及其推论：

1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：

1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。

3.判定定理：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：

一定：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；

二找：再找出两个三角形相似所需的条件；

三证：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。

六、相似与全等：

全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：

1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改对应边相等成对应边成比例。

常见考法

（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

误区提醒

（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息；（2）在定理的实际应用中，常常忽视夹角相等这个重条件，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。

第二篇：初中数学相似三角形定理知识点总结

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。

相似三角形定理

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边

成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

第三篇：相似三角形-知识点总结

第一节

相似形与相似三角形

基本概念：

1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A

D

a

B

E

b

C

F

c

可得

等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A

D

E

B

C

由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。

2．比例的有关性质

①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。

②合比性质：如果，那么。

③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么

④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析

例1：①

在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②

若

=

则=__________.③

若

=

则a：b=__________.3．

相似三角形的判定

（1）

如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）

两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（3）

三边对应成比例的两个三角形相似。

补充：相似三角形的识别方法

(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)

(3)三边对应成比例的两个三角形相似。

(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

(5)两角对应相等的两个三角形相似。

(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。

(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

【基础练习】

（1）如图1，当

时，△ABC∽

△ADE

（2）如图2，当

时，△ABC∽

△AED。

（3）如图3，当

时，△ABC∽

△ACD。

小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型

（3）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△

∽△。

（4）如图5，当

时，则△

∽△。

小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型

典例剖析

例1：判断

①所有的等腰三角形都相似．

（）

②所有的直角三角形都相似．

（）

③所有的等边三角形都相似．

（）

④所有的等腰直角三角形都相似．

（）

例2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F

求证：

△ABF∽

△CAF.例3：如图：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若

AB=6

；AD=2；

则AC=

；BD=

；BC=；

例3：如图：在Rt

△

ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB

:

AC=DF

:

BF

第二节

相似三角形的判定

(一)相似三角形：定义

1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

温馨提示：

①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；

②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；

③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。

④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。

2、相似三角形对应边的比叫做相似比．

温馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．

③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．

3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．

温馨提示：

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：

∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；

③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．

温馨提示：

①有平行线时，用上节学习的预备定理；

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；

③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．

例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D

点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

温馨提示：

①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．

③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．

直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB

CD2=AD*BD

BC2=BD*AB

总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧

正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：

(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；

(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．

2、常见的相似三角形的基本图形：

学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：

(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；

(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；

(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．

第三节

相似三角形中的辅助线

一、作平行线

例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

例2.如图，△ABC中，AB

二、作垂线

例3.如图从

ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。

三、作延长线

例4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF

四、作中线

例6

如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

五、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．

1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．

2、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：．

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．

求证：CD2＝DF·DG．

六、证比例式和等积式的方法：

对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．

A

E

F

B

D

G

C

H

例

图

C

E

D

A

F

M

B

例3　如图过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED；

(2)求证：AE×FB＝2AF×ED

第四节

相似三角形难题集

一、相似三角形中的动点问题：

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

三、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A.B.C.D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

四、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。

求证：

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；

(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

第四篇：初中相似三角形模型汇总

第一章：相似三角形模型汇总

模型一.A字型

1．如图，已知DE//BC，AD=5，DB=3，BC=12，∠B＝50º，则∠ADE＝ °，DE=，_________.

第1题图 第2题图 第3题图

2．如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m则梯子的长为()

A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m

3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？

练习

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则()

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

第1题 第2题 第3题

2.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为________．

3.如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.E

F与CD交于点G.（1）求证：BD∥EF.（2）若,BE=4,求EC的长.

斜A字型

1.如图，已知点E在AB上，若点D在AC上，DE不与BC平行，则满足条件，就可以使△ADE与原△ABC相似.

第1题 第2题 第3题

2.如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE＝37°，则∠B＝________°.3.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是()

A.16 B.14 C.16或14 D.16或9

3.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求D点运动的时间．

4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交DE，BC于点F，G，且

=

．

（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若

=

，求

的值．

模型二．8字型

1．如图，已知

与

相交于点，AB=4,CD=8,AD=12，则PD的长等于______.

第1题 第2题 第3题

2.如图，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝8，EF＝12，则BF的长为_______.3.如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AF=

DF, FE与AC相交于G，则AG:AC=_____

练习

1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为________．

第1题 第2题

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝________．

3． 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．

4.如图，已知，若，，求证：

.斜8字型

1.如图，四边形的对角线相交于点，∠DAO=∠CBO,求证：

(1)△AOD∽△BOC；(2)△AOB∽△DOC.

2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3： 5，AE=8，BD=4，求DC的长．

3.如图，已知等边，点

在边

上，点

是射线

上一动点，以线段

为边向右侧作等边，直线

交直线

于点，（1）写出图中与

相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

4.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为边在△ABC外作等边△ACD，点E在BC边上（不与点B、C重合），点F在BC延长线上，∠AED=∠F=60º，DE交AC于G，（1）求证：△DEF是等边三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的长度.模型三:母子型

例1.如图，点D在AB上，当∠B＝∠ 时，△ACD∽△ABC.

例2.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,求证:①ΔABC∽△ADB；②AB2=AC·AD；③­AB·BC=AC­·CD.例3.如图，已知ΔABC中，D是BC上一点，BD=10，DC=8，∠B＝∠DAC，E为AB上一点，DE//AC，求AC和DE的长．

例4：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．

例5：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,

．

求证：（1）

；（2）

．

例6：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．

求证：

．

双垂型：

1.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下结论：1.CD2=_________，2.AC2=________，3.BC2=______.

2.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=4，BD=1，则CD=（）

A.2 B.4 C.

D.3

3.如图, 在

中,

，

于

，若BD=4,BC=6，则AB=_____.

4.如图, 在

中,

，

于

，若BD=2,BA=8，则BC=_____.

5.如图,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3，AB=4,D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，求AD长.

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为( )

A．3； B．4； C．5； D．6

7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝

模型四．旋转型：

1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

2.如图，设

，则

吗？说明理由.

3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，点B′在AB上，A′B′交AC于F，则图中与△AB′F相似的三角形有(不再添加其他线段)（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD+CD.

（1）过点A作AE∥DC交BD于点E,求证：AE=BE；

（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′.

①求证：BD′∥CD；

②若AD′∥BC，求证：CD2=2OD·BD.

模型五．共享型

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=

，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）

．

3.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．

4．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF＝135°，求证：△EAC∽△CBF．

双高型:

1、如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高

求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6

，求：点B到直线AC的距离。

三垂直型

1．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．

2．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

3．如图，已知l1∥l2∥l3，且相邻两平行线间的距离相等，矩形ABCD的四个顶点在l1、l2、l3上，过B作EF⊥l2，分别交l1、l3于E、F，若AE=2，FC=8，则l1与l2之间的距离是______.

4.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，四边形ABCD面积是______.

5.在直角

中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，

交射线AC于点F

（1）求AC和BC的长

（2）当

时，求BE的长。

（3）连结EF,当

和

相似时，求BE的长。

6.在直角三角形ABC中，

是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），

与射线BC相交于点F.(1)当点D是边AB的中点时，求证：

.

(2)当，求

的值.

（3）当

，AE=1,求BF的长.

7已知：如图，

是直角三角形斜边

上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE于D，求证：（1）△AGB∽△AEP（2）

8如图，

、

、

、

分别是矩形

四条边上的点，

,若

，

，则

等于（）

A.

B.

C.

D.无法确定

B.

C.

D.无法确定

C.

D.无法确定

D.无法确定

9.如图，已知：正方形

中，点

、

分别在

、

上，且

，

于点

求证：

10.已知：如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP．求证：CE2＝ED•EP．

一线三等角型

1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°,（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）当BD=1，FC=3时，求BE.

2.见名校P11，12题

3.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

4.如图，在四边形

中，

∥

，

，

．点

为边

的中点，以

为顶点作

，射线

交腰

于点

，射线

交腰

于点

，连接

．

（1）求证：△

∽△

；

（2）若△

是以

为腰的等腰三角形，求

的长；

（3）若

，求

的长．

6、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作

，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）连接DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

（4）当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE平分∠DFC．

8.(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点,∠DPC＝∠A＝∠B＝90°,求证：

AD﹒BC＝AP﹒BP;

（2）探究：如图 2，在四边形 ABCD中，点 P为 AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图 3，在△ABD 中，AB＝6,AD＝BD＝5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边

AB向点B运动，且满足∠CPD＝∠A，设点P的运动时间为t（秒），当DC＝4BC时，求t的值．

第五篇：初中数学 三角形知识点填空

1、定理 三角形两边的和____________第三边

2、推论 三角形两边的差

3、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于___________

4、推论1 直角三角形的两个锐角___________

5、推论2 三角形的一个外角_________和它不相邻的两个内角的和

6、推论3 三角形的一个外角_________任何一个和它不相邻的内角

7、全等三角形的对应边、对应角__________

8、边角边公理(SAS)有___________和它们的___________对应相等的两个三角形全等

9、角边角公理(ASA)有___________和它们的___________对应相等的两个三角形全等

10、推论(AAS)有_________和其中___________对应相等的两个三角形全等

11、边边边公理(SSS)有___________对应相等的两个三角形全等

12、斜边、直角边公理(HL)有__________和一条__________对应相等的两个直角三角形全等

13、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的_________相等

14、定理2 到一个角的两边的__________相同的点，在这个角的平分线上

15、角的平分线是到角的两边_________相等的所有点的集合16、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角___________(即等边对等角）

17、推论1 等腰三角形顶角的平分线_________底边并且_________底边

18、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高___________

19、推论3 等边三角形的各角都__________，并且每一个角都等于___________

20、等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角_______，那么这两个角所对的边也_________（等角对等边）

21、推论1 三个角都_________的三角形是等边三角形

22、推论 2 有一个角等于_________的等腰三角形是等边三角形

23、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的________

24、直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________

25、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离_________

26、逆定理 和一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平分线上

27、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离_________的所有点的集合28、定理1 关于某条直线_________的两个图形是全等形

29、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的___________

30、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在_________上

31、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线_______

32、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的_______、等于斜边c的________，即________

33、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系________，那么这个三角形是_____三角形