中学概率统计的教学策略

第一篇：中学概率统计的教学策略

中学概率统计的教学策略

《学周刊·理论与实践》 2009年第4期 字数：2255 字体： 【大 中 小】

摘要：概率统计所研究的对象是不确定的现象，通过对大量重复试验所得到的数据分析找到其中的规律。这与中学教学其他知识有着很大的区别，对于初学概率的学生来说，会产生困扰，本文通过对学生在学习中的认知规律及教师的教学策略进行分析，对新课程标准下概率与统计教学进行反思，从而提高教学质量与效果。关键词：中学数学；概率统计；教学策略

在中学数学课程中，学生的认知层次主要局限于对具有因果关系的确定性事物的把握。对偶然性与必然性的了解还比较肤浅，仅仅停留在定性甚至是感性认识的水平之上，而概率是揭示偶然世界规律性的科学，与中学数学其他知识不同的是它研究的是随机现象，通过对概率统计内容的学习，掌握这种不确定性的思想，进而达到对事物本质的把握。

针对教学实践中的问题我们认为对教学策略和教学方式的选取等方面的研究是必要的。这样有助于我们理清教学思路，熟悉有关方法技术，把数学知识学习与教学合理地组合成一个有机的系统，使得这方面的教学顺畅自然，使学生更易于接受和理解。

从概率统计课程本身的特性来看，要采取合适的教学策略，才能保证学生正确理解相关的概念以及其中的思想方法。首先，要以试验引路，通过对实际现象的分析讨论。让学生对大量偶然的现象中蕴含着必然性有直观的印象：其次，要引导学生分析试验的意义，特别是它的模型作用。通过对相关试验在各种情形下的分析思考，逐步达到对数据分析方法的初步理解：再次，要通过案例分析对概率统计中一些重要的数字特征的意义和它们之间的关联、区别讨论清楚。同时，对总体与样本、频率与概率之间的转化及应用上的理解要给予清楚的分析：最后，要通过一些具体的应用实例让学生体会“用数据说话”、“以样本估计总体”、“预测结果”的意义。

在实际教学中，学生还存在很多的问题，这些问题一方面反映了学生认识概率过程中的障碍，另一方面也反映了教师在教学中存在着模糊不清的认识。我们针对这些问题加以分析研究。

问题一：在第一节概率概念教学中，学生对随机事件发生的可能性与必然性认识模糊。例如：在抛掷硬币试验中，学生一方面能从感觉上认为两种结果出现是等可能的，另一方面也认为实际试验产生的结果必然应该是各占一半。但实际试验却不是各占一半，学生开始怀疑试验的准确性以及概率的准确性。再如：天气预报中预报明天下雨的机会是90％，结果第二天没下雨，一部分学生认为预报不准，因为按预报说应该一定下雨。这些问题产生的原因都是学生对随机现象的本质理解不清，不了解试验的结果是偶然的，而概率是我们通过大摄重复试验的数据分析得到的必然结果。通过概率去预测偶然现象的发生，这种过程是可以不准确的，可以出现偏差的。但这并不能妨碍我们去分析随机现象发生的规律性。

为了澄清学生认识上的错误，我们在抛掷硬币前增加了分析的环节，先让学生思考为什么抛掷均匀硬币结果各占一半，是不是抛两次必然一正一反，如果不是，那各占一半说明的到底是什么?再如。家庭中生男孩女孩的机会各占多大，是不是家庭中的两个孩子必然是一男一女?天气预报下雨的机会是90％，第二天我们是否应该带伞?这些简单而实际的问题有助于学生形成正确的概率思想，理解频率与概率之间不确定性与确定性的辩证关系。

问题二：在学生具体操作抛掷硬币试验中，学生对试验个体和试验次数产生怀疑。我们是这样设置试验的：全班共50人，每名学生准备lO枚相同的一元硬币，同时抛掷一次，记下全班的结果，相当于将一枚硬币抛掷500次，然后统计正面向上的个数，这样重复抛掷10次，得到10组数据，观察数据，发现其中规律。但在具体试验中。学生有这样困惑。教材抛掷硬币试验是抛掷一枚多次。还是抛掷多枚一次。他们之间有什么区别；抛掷多少次所反映的结果才算准确，我们的试验结果是否可靠?为什么教材给出的结果中抛掷24000次所得的0.5005要比抛掷72088次所得的0.5011更接近0.57这些问题产生是因为模型转化的过程中，学生不明白什么样的问题可以归结为同一模型，什么样的问题可以互相转化，从古典概率模型上来分析，由于硬币之间的无差别，这就决定了可以将500枚硬币抛掷1次与l枚硬币抛掷500次转化为同样的背景、同一模型。这种模型处理的方式在概率试验中，可以使试验变得简洁和易于操作，并且在处理具体问题中应用也很广泛。如，一个袋子黑球自球数目等同且无差别，从中摸取一个，可以转化为硬币试验，正面向上相当于摸到黑球，反面向上相当于摸到白球。再如射击中，击中目标与未能击中目标是等可能的。这也可以看作是抛掷硬币，正面向上相当于击中，反面向上相当于未能击中。学生的另一个问题是对多数定律和中心极限定理的原理不清楚。我们所研究的现象，当其大量重复之后才会有规律性。而其中的大量指的是无限次或接近无限次，重复大次数比重复小次数获得的规律更可靠。教材中24000次试验与72088次试验同属于大量重复试验，没有大的差别，都很好地反映了频率在0.5附近波动的事实。同时在试验中引导学生将自己的试验结果与教材所给的蒲丰、皮尔逊、维尼的试验结果对比，更进一步地说明了重复次数多时规律的可靠性。

概率论是数学的一个非常有特色的分支，它的产生和发展过程都有着耐人寻味、引人入胜的情节。这就为激发学生认知动因提供了良好环境和条件。因此教师只有把握好概率统计的教学策略才能为概率论这颗明珠再添光彩。

第二篇：概率统计复习资料

广东海洋大学寸金学院 2012—2013 学年第 二 学期

概率统计复习资料：

第一章：事件的关系与运算，概率的性质，古典概型，条件概率的概念与性质，乘法公式，事件的独立性。

例题：1.1、1.3、1.4；习题一：4、6、13、23、30、33等。

第二章：离散型随机变量的分布律，两点分布，二项分布，泊松分布，分布函数的定义与性质，密度函数，均匀分布，指数分布，正态分布。

例题：2.10、2.13；习题二：4、15、21、22等。

第三章：离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、条件分布与独立性，连续

型随机变量的联合分布函数。

例题：3.1、3.6、3.9；习题三：13等。

第四章：期望、方差的性质与计算，协方差与相关系数的性质。

例题：4.12、2.13；习题四：1、5、7等。

相互独立的随机变量X与Y具有的性质，例如：DXYDXDY

EXYEXEY，EXYEXEY

第五章：切比雪夫不等式。

设随机变量X的均值EX、方差DX2，由切比雪夫不等式知P(X3)

第六章：总体、样本、简单随机抽样的概念，常用的统计量，单正态总体的抽样分布。

第七章：矩估计、极大使然估计的计算，无偏性、区间估计的定义。例题：7.1、7.2；习题七：

2、3等。

第八章：单正态总体期望的假设检验

例题：8.2、8.3；习题八：2等。

试题类型：

一、单项选择题： 每小题2分，共20分；

二、填空题：每小题3分，共15分；

三、计算题：5个小题，共57分 ；

四、证明题共8分。

第三篇：统计与概率总结

“统计与概率”课题实施总结

一年多来，我校课题组全体成员解放思想，勇于创新，以推进素质教育为出发点，认真学习相关理论，围绕《统计与概率》课堂教学改革和课题的实验工作，认真分析课堂案例，调查研究，收集材料，努力探究《统计与概率》课堂教学的有效模式，对照课题实验方案，顺利地完成了各项教育教学任务和课题研究的阶段工作。下面就这近一年来的课题研究工作总结如下。

一、做好课题研究的准备工作。

1、在课题实施之前，我们积极主动的收集和学习相关知识和理论，我们深入课堂，了解、分析我校《统计与概率的教学现状，找出教学中存在的各种问题，确定本课题的研究内容。

（1）关于小学数学统计与概率部分教学现状、存在问题的调查研究；

（2）对于人教版小学数学教材关于统计与概率部分内容的分布、与原有教材对比变化、教学难点及其编写特点的分析研究；

（3）在统计知识教学中，强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，促进学生关于数据的分析、处理并由此作出解释、推断与决策的能力，对数据和统计信息有良好的判断能力的教学策略改进，加强目标设定与目标达成的实验研究；

（4）培养小学生用数据表示可能性的大小并对事件作出合理推断和预测的能力的教法研究；（5）在统计和概率部分教学中，创设教学情境，促进教学有效性的研究；

（6）进行统计与概率部分的课堂教学有效模式的研究。

2、落实好课题组人员，成员如下：

组 长：陈 丽

副 组 长：陈万江 吴学峰

核 心 成 员：马玉凤 王立波 李天凤 陈维 李玉静 孙晓慧 薛丽华

二、加强对课题组的管理，进一步发挥课题的作用。

1、严格按计划实施研究，积极开展课题研究活动。

课题立项之后，我们集中大家认真学习了《统计与概率》课题研究方案，制定了课题的研究计划，对组内教师合理分工，在管理上做到定计划、定时间、定地点、定内容，让实验老师们深刻理解了《人教版小学数学教材“统计与概率”课堂教学有效性研究》课题中研究项目的主要内容和意义，进一步增强科研能力，树立科研信心每次的校本教研既有骨干教师的教学论坛，也有年青教师的课堂展示，有理论学习，也有实际的课堂点评。

2、优化听课制度，促进课题实验

学校教导处规定，每周的周三各备课组进行集体备课，下一周的周一课题组成员走进课堂听课，一方面是为课题组成员搭建相互交流的平台，另一方面也是验证前一周集体备课设计方案的可行性，这样有利于及时、灵活地掌握课题实施情况和课堂教学情况，有效地促进教师上课改课、上优质课，从而真正地把课题理念落实到每一节课堂教学之中；同时，课题组还要求听课者带着一定的目的从多个角度进行听课，并对收集到的事实材料进行多角度诠释、解读和分析，有针对性地提出讨论的问题和改进的建议。听课制度的优化，有效地避免形式主义的听课、评课活动，对促进课题研究和实验起到了很大的作用。

三、课题研究的实施过程

课题申报后，课题组成员就着手调查我校《统计与概率》的教学现状以及存在的问题。

1、人教版小学数学各册教材使用中，关于统计与可能性部分教学问题及其改进策略的调查研究。

教学现状：课堂教学多数“照本宣科”，教学目标定位不准，教师和学生都不很重视这一领域的教和学。原因有如下几点：一是教师专业知识不能适应新课程的教学需要；二是《统计与概率》这一领域里的可学习和参考的案例较少，教师看得不多，所以课堂改革的水平提高不快；三是在小学阶段，关于《统计与概率》的考试内容相对较少，且难度不大，所以教师和学生重视不够。

存在问题：统计教学中，教师只按教材帮助学生收集、整理数据，而忽视了对数据的分析和运用；概率教学中比较突出的问题是重结果、轻过程，没有把学生随机意识的培养放在重要的位置。比如，有一个老师在执教二年级《可能性》一课时，没有充分地让学生感受确定现象和不确定现象，而是把训练的重点放在让学生用“一定”“可能”和“不可能”的说话训练上，把数学课当作了语文课来上。再如，有一个老师在执教《用分数表示可能性的大小》时，始终把重点放在学生的计算训练上，而忽视了学生对事件发生的可能性从感性描述到定量刻画的过程训练上。

改进策略：（1）加强教师的专业知识的学习和培训。要求课题组的成员认真学习新课标并深刻领会其主要精神，同时督促教师学习《统计与概率》的相关理论，聘请教学骨干做专题讲座，提高教师的理论素养；（2）定期召开研讨会，选择有典型的课例进行会课或教学比赛，有的是采取同课异构的形式进行多层次的研究；（3）围绕某一难点进行针对性讨论，反复研究，取得了较为显著的成效。如，在教学《等可能性》时，多数教师都遇到了一个较为棘手的问题：当袋子里放有相同数量的黄球和白球，启发学生猜想：从中任意摸40次，摸到黄球和白球的可能性怎样？学生很容易猜想并认可结果：摸到黄球和白球的可能性相等。可是，学生实验后，立刻质疑并迅速推翻自己的猜想。此时教师无所适从，只好自圆其说：同学们，当实验的次数越多，摸到黄球的次数和摸到白球的次数就越接近。针对上述存在的问题，我们开展了一次又一次的研究，最终按照“现实情境—猜想—实验—验证猜想—分析原因”的步骤，紧紧抓住“任意”关键词，培养学生的随机意识，让学生真切地感到：袋子里放有相同数量的黄球和白球，任意去摸若干次，摸到黄球的可能性和白球的可能性相等，但结果是随机的，即摸到黄球的次数和白球的次数不一定相等。

2、创设教学情境对于小学统计与概率教学效果的作用与影响的研究。

良好的教学情境，能使学生积极主动地、充满自信的参与到学习之中，使学生的认知活动与情感活动有机地结合，从而促进学生非智力因素的发展和健康人格的形成。比如我们在研究一年级下册第98页的《统计》这一内容时，就历经了“没有教学情境—一创设有教学情境——创设有效的教学情境”的过程，研究中我们发现教学效果差异较大。

„„反复的实践和研究使我们深深地体会到：教学情境对教学效果的影响较大。只有创设有效的教学情境，创设贴近学生生活实际的教学情境，才能把学生真正地带入到具体的情境中去，使学生对数学产生一种亲近感，使学生感到数学是活生生的，感受到数学源于生活，生活中处处有数学。

3、“统计与概率”有效教学模式研究

课题研究之前，多数教师反映《统计与概率》的教学有着一定的困难，教学时也只是“照本宣科”，根本谈不上有效和优化。为此，我们通过典型引路，反复研究，不断实践，在数次的实践中摸索了“统计与概率”的教学模式：创设情境――猜想探究――验证概括――实践运用。

“创设情境”旨在把学生带入到具体的生活情境中，一方面是为了帮助学生借助已有的生活经验自主探究新知，另一方面也可以让学生初步感悟统计与概率在生活中的作用，从而调动学生学习数学的兴趣；“猜想探究” 就是先鼓励学生大胆猜想结果，然后引领学生探究新知，这样可以充分发挥学生的主体作用，把学习的主动权交个学生，让学生真正成为学习的主人，在具体的学习过程中锻炼学生的学习能力，同时也能让学生体验自主探究新知的快乐；“验证概括”就是运用多种手段帮助学生验证自己的猜想，从而使学生获得成就感，增强学生学习的自信心，同时把刚刚获得的新知高度、凝练地概括出一般的规律，培养学生分析问题的能力和严谨的思维品质“实践运用”就是将所学的知识运用于实际，体现了数学源于生活、服务生活的思想。

通过改革实验，我们高兴地发现课堂成效发生了较为显著的变化。课堂的教学结构完整了，教学板块清晰了教学目标定位准确而又全面，教师经过了迷茫无奈－有条有理－精心设计教学环节的过程。学生从被动学习－主动探究，学习方式的转变，使课堂气氛活跃了许多，也大大提高了课堂教学效率。

四、课题研究的成效

1、对课题研究的意义的理解和认识。

21世纪的数学课程改革，把《统计与概率》作为一个单独的领域，进入小学数学课程，这是一个重大的举措具有里程碑的意义。因为在信息社会，收集、整理、描述、展示和解释数据，根据情报作出决定和预测，已成为公民日益重要的技能。加强《统计与概率》课题的研究，可以强化学生数据的收集、记录和整理能力的培养，提高学生分析、处理数据并由此作出解释、推断与决策的能力。

2、重视学生学习过程的研究，把学习的主动权还给了学生

新课标明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。所以我们在数学课题的研究中，非常关注学生学习过程的研究，注重在具体的情境中对随机现象的体验，而不是单纯地只获取结论结合学生生活的实际，精心创设教学情境，使学生主动地投入到学习的状态，提出关键的问题；搜集、整理数据分析数据，作出推测，并用一种别人信服的方式交流信息。不仅让学生亲身经历统计与实验的过程，而且还让学生在实践中自我感悟信息的价值。根据获取的信息作出合理的推断，培养学生分析问题和解决问题的能力。

3、营造教研氛围，提高研究实效

我们以课题研究为契机，开展形式多样的教研活动，旨在增强教师的教科研意识，营造良好的教研氛围，丰富教师的科研素养，提高课堂教学效率。一年来，我们召开了《统计与概率》的专题研讨会，举行了课题研讨会课比赛，开展了教师百花奖比赛、课堂教学擂台赛等全校性教学教研活动，收到了较好的效果，得到了老师们的认可，兄弟学校的积极参与，社会的肯定。每次活动，我们坚持“实践、思考、再实践、再思考”的基本方法，确立一个研究主题，本着“学有所获，研有所果”的原则，发动每个教师全程参与，45周岁以下的教师必须参与课堂展示或设计，年老的教师参与课堂点评，实实在在的教研活动，不仅调动了校内教师的教研热情，也吸引了区内兄弟学校老师的加盟，他们积极参与了我们的课题研究。

五、今后的思考

虽然在课题的前期研究过程中，我们取得了初步的成效，但我们深知我们的课题研究工作还有许多不尽如人意的地方。为了进一步做好下一阶段课题的研究工作，我们想从以下几个方面力求突破：

1、细化分工，明确职责。根据课题的研究内容和前期的研究进展，我们决定对后期的研究工作作一些适当的调整，更加细化分工，各负其责，确保课题的研究工作顺利进行。通过课堂教学研究，提高学生收集、整理数据的能力，重点培养学生推断与决策的能力，体会数学的价值。以课堂教学为主阵地，重点研究概率教学，培养学生的随机意识，提高学生分析问题和预测未来的能力。

2、加强理论学习，提高研究水平。前期的研究工作我们主要把精力放在课堂教学研究上，了解《统计与概率》的教学现状、教学困惑，寻找课堂教学的有效模式，应该说在实际层面探讨的比较多。接下来的课题研究工作我们 将在关注课堂教学的同时，重视理论学习，把目光聚焦在理论层面的研究上，遵循理论结合实际的原则，用理论丰富研究成果。

3、全面总结经验，推广研究成果。2010年下半年我们打算召开一次“课题经验总结暨成果展示会”，旨在进一步加强和深入课题的研究工作，提升我们课题的研究水平，同时通过总结、展示，来推广我们的研究成果，改进和优化今后的课堂教学。

第四篇：概率统计教学评估汇报

凝聚实干，齐创辉煌

——2008-2009学概率统计教学评估汇报材料

这一年，是奋斗的一年，也是收获颇丰的一年。因为我们始终相信：付出与收获是成正比的。在庄老师的悉心指导下，我们耕耘了，所以我们收获了。静下心，细梳理。我们本学期的概率论与数理统计课程确实收获颇丰。

一、课程注重理论学习，灌输概率思维。

观念是行动的指南。老师讲课思路清晰，引领到位，不流于形式，注重实效。深入了解学生思想，与学生们一同交流、研讨，了解学生需要，教学工作目标明确，针对性强，效果好。特别是突出“实”、“新”、“活”的特点。“实”是说讲课实实在在，不走过场；“新”是说努力为学生们提供先进的课程信息，引领教学；“活”是说不拘泥形式，学生们缺什么，关心什么，讲什么。老师授课无论从内容的选择上，还是方法的运用上，都具体实用。

二、学习注重过程，讲求实效。

教学，主要是过程性管理。任何一次讲课，都要考虑它的实效性，对不同层次的学生采取不同的授课方式及要求。不管是哪种类型的学生，老师都能坚持听完学生想法，接纳改进意见和建议，给学生自行改正的时间，随后再次上课时重点检查、指导。这样的教学方式特别有利于学生成长。庄老师上完课后，都会进行课程延伸和答疑。答疑问题包括针对学生作业暴露出的问题，以及学生自己的想法见解。这种集讲课、互动、答疑为一体的讲课方式，使得概率课程的学习不是浮于表面，而是深度的教学研究。因此，特别有利于学生的专业发展，也特别有利于学生个人成长。

课程进度，从章节难点要点的确定，到具体问题解决，一步一个脚印，踏踏实实；时间分配恰到好处，让学生即积极学习知识，又不至于压力力过大，在轻松和快乐中学习知识。课程顺利完结，而且获得的评价也特别高。因此，我们是在过程中耕耘，在过程中问鼎收获。

三、老师搭建平台，尽展学生风采。

可以说，每个人都具有强烈的自我发展与提高的欲望和自我超越的能力。每一位学生都希望自己在学习过程中成为一个优秀者、成功者。庄老师紧紧抓住这一心理，为满足学生自我超越的需要，为他们展示才华搭建平台，争取给每一个学生展示的机会。从课堂到课外，从讲课到作业，庄老师都很认真的对待同学们的成果，鼓励大家各抒己见，一旦有好的想法构思，都会予以鼓励、正确引导，所以课堂气氛很是活跃。

总之，在教学活动中，庄老师抓住教学本质，突出一个“研”字；抓住计划措施落实，突出一个“实”字；抓培养全班同学，不落一个，突出一个“优”字，在三“字”上下功夫，实现了我班概率统计课程教学的成功。

在概率统计课程的学习过程中我们也有深刻的认识。“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，这是新世纪数学课程的基本理念。贯彻课改的新理念，结合庄老师带来的学习实践,我深深感到：善于培养大家的内在动机，使学生喜爱学习，师生互动，才是教学成功的法宝。尤其是概率统计的学习，学生对跟教学相关的生活实例表现出浓厚的兴趣，真正体验到了学习数学的乐趣和价值。概率统计教学中，应着重注意以下三点：

一、教师应通过日常生活中的大量实例，使学生更好地理解随机事件发生的不确定性及频率的相对稳定性，帮助学生澄清在日常生活中对身边所发生的一些问题存在的错误认识。比如我们经常会遇到以下问题：

天气预报这样表达：“明日有雨的概率为60％”，这个60％意味什么？应鼓励学生发表自己的看法。对这句话有很多错误的理解，比如“明天有 的时间下雨”“明天有 的地区下雨”等等。最后教师归纳概括：考察历史上的天气记录，如果和明天在气压、云层、温度等天气条件方面大致相同的天数是100天，其中有60天降雨了；不能从概率的统计定义解释即用频率近似作为概率，因这一事件不能进行大量重复实验。

如何理解“虽然预报今天济南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，但是济南今天降雨了，北京没降雨”这一现象？从概率的角度解释，“今天降雨”是一个随机事件，今天济南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，只是说明今天北京降雨的可能性比济南大，并不表示今天北京一定下雨。如果济南今天降雨了而北京没降雨，即可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生，正是随机事件发生的不确定性的体现。

二、教师应让学生通过实例理解古典概型的特征：每一个实验结果出现的等可能性，让学生初步学会把一些实际问题转化古典概型，从而通过正确合理的推断来认识日常生活中遇到的事情。譬如抽签的公平性问题。

人们常用抽签的方法决定一件事情，先抽还是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果），对各人来说是公平的吗？例如在10张彩票中，有2张奖票，先有甲后有乙各抽一张，看谁能中奖。教师事先准备好口袋和球，让学生分组进行摸球来模拟试验，汇总全班的数据后，得出直观上的认识。

三、教师在统计教学中应通过对一些典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法幷运用所学知识和方法去解决实际问题。本章中有几处学生感到疑惑的地方，可通过鼓励学生查阅相关内容的现实例子，课上交流讨论，寓解疑于趣味之中。

在学习概率统计课程中，庄老师是这样教我们的，我们确实从中受益匪浅。在感激庄老师的精心教导之余更愿意更多的人找到学习概率统计的方法，并享受到其中的乐趣。所以谨以此文献给我们敬爱的庄老师，及襄院的广大师生。

第五篇：概率统计教案2

第三章 多维随机变量及其分布

一、教材说明

本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；

（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。本章的教学要求是：（1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布；

（2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法；（3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目；（4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系；（5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。

2、本章的重点与难点

本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。

二、教学内容

本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。

3.1 多维随机变量及其联合分布

一、多维随机变量

定义3.1.1 如果X1(),X2(),,Xn()是定义在同一个样本空间{}上的n个随机变量，则称X()(X1(),...,Xn())为n维随机变量或随机向量。

二、联合分布函数

1、定义3.1.2 对任意n个实数x1,x2,,xn，则n个事件{X1x1},{X2x2},,{Xnxn}同时发生的概率 F(x1,x2,,xn)P{X1x1,X2x2,,Xnxn}

称为n维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合分布函数。

n!n2p1n1p2prnr，n1!n2!nr!这个联合分布列称为r项分布，又称为多项分布，记为M(n,p1,p2,,pr).例3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。从这批产品中有放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多维超几何分布

多维超几何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i1,2,,r。记NN1N2Nr，从中任意取出n只，若记Xi为取出的n只球中i号球的个数，i1,2,,r，则

N1N2NrnnnP(X1n1,X2n2,Xrnr)12r.Nn其中n1n2nrn。

例3.1.5 将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布列。

解

略。

3、多维均匀分布

设D为R中的一个有界区域，其度量为SD，如果多维随机变量(X1,X2,,Xn)的联合密度函数为 n1,(x1,x2,,xn)D, p(x1,x2,,xn)SD0,其他则称(X1,X2,,Xn)服从D上的多维均匀分布，记为(X1,X2,,Xn)~U（D).例3.1.6 设D为平面上以原点为圆心以r为半径的圆，(X,Y)服从D上的二维均匀分布，其密度函数为

12222,xyr, p(x,y)r2220,xyr.试求概率P(X).解 略。

4、二元正态分布

如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

1212(x1)2(x1)(y2)(y2)21exp{[2]},x,y22(12)1212212r2p(x,y)2则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)~N(1,2,12,2,).其中五个参数的取值范围分别是：1,2;1,20;11.以后将指出：1,2分别是X与Y的均值，12,22分别是X与Y的方差，是X与Y的相关系数。

2例3.1.7 设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,12,2,).求(X,Y)落在区域D{(x,y):(x1)2212(x1)(y2)12(y2)2222}内的概率。

解 略。

注 凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算。

3.2 边际分布与随机变量的独立性

一、边际分布函数

1、二维随机变量(X,Y)中

X的边际分布

FX(x)P(Xx)P(XY的边际分布

FY(y)F(,y)x,Y)limF(x,y)yF(x, 

2、在三维随机变量(X,Y,Z)的联合分布函数F(x,y,z)中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数。

例3.2.1设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为

1exeyexyxy,x0,y0, F(x,y)0,其他这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布。

解 略。

注 X与Y的边际分布都是一维指数分布，且与参数0无关。不同的0对应不

p(x1,x2,,xn)pi(xi)

i1n则称X1,X2,,Xn相互独立。

例3.2.7设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

8xy,0xy1, p(x,y)0,其他.问X与Y是否相互独立？

分析 为判断X与Y是否相互独立，只需看边际密度函数之积是否等于联合密度函数。解 略。

3.3 多维随机变量函数的分布

一、多维离散随机变量函数的分布

以二维为例讨论，设二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj),Zf(X,Y), 随机变量

Z的取值为zk.令Ck{(xi,yj):f(xi,yj)zk}，则

P(Zzk)P(f(xi,yj)zk)P((xi,yj)Ck)(xi,yj)Ckpij.例3.3.2（泊松分布的可加性）设X~P(1),Y~P(2), 且X与Y相互独立。证明

ZXY~P(12).证明：略。

注 证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有

P(1)P(2)P(n)P(12n).例3.3.3（二项分布的可加性）设X~b(n,p),Y~b(m,p),且X与Y相互独立。证明ZXY~b(mn,p).证明 略。

注（1）该性质可以推广到有限个场合

b(n1,p)b(n2,p)b(nk,p)b(n1n2nk,p)

（2）特别当n1n2nk1时，b(1,p)b(1,p)b(1,p)b(n,p)这表明，服从二项分布b(n,p)的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机

变量之和。

二、最大值与最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量，若

Ymax(X1,X2,Xn).设在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）设X1,X2,,Xn是相互独立的n个随机变量；若Ymin(X1,X2,Xn)，试在以下情况下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i1,2,,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i1,2,,n;

（3）Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数为p(x),i1,2,,n;

（4）Xi~Exp(),i1,2,,n.解 略。

注 这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路。

三、连续场合的卷积公式

定理3.3.1设X与Y是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为pX(x)、pY(y)，则其和ZXY的密度函数为

pZ(z)pX(zy)pY(y)dy.证明 略。

本定理的结果就是连续场合下的卷积公式。

例3.3.6（正态分布的可加性）设X~N(1,1),Y~N(2,2),且X与Y相互独立。证明ZXY~N(12,12).证明 略

2222

注 任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量。

四、变量变换法

1、变量变换法

设(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，函数ug1(x,y),有连续偏导数，且存在唯一

vg(x,y).2xx(u,v),的反函数，其变换的雅可比行列式

yy(u,v)x(x,y)uJ(u,v)xv若yuyv1(u,v)(x,y)uxvxuyvy0.1Ug1(X,Y)则(U,V)的联合密度函数为

Vg2(X,Y),p(u,v)p(x(u,v),y(u,v))J.这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书。例3.3.9设X与Y独立同分布，都服从正态分布N(,2)，记试求(U,V)的联合密度函数。U与V是否相互独立？

解 略。

2、增补变量法

增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量(X,Y)的函数

UXY，VXY.Ug(X,Y)的密度函数，增补一个新的随机变量Vh(X,Y)，一般令VX或VY。先用变换法求出(U,V)的联合密度函数p(u,v)，再对p(u,v)关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数。

例3.3.10（积的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为 pX(x)和pY(y).则UXY的密度函数为pU(u)证 略。

pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为pX(x)和pY(y)，则UXY的密度函数为pU(u)

pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5设(X,Y)服从G{(x,y):x2y21}上的均匀分布，试求给定Yy条件下X的条件密度函数p(x|y)。

解 略。

3、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式的密度函数形式

pY(y)pX(x)p(y|x)dx,pX(x)pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)贝叶斯公式的密度函数形式

p(x|y)pX(x)p(y|x)pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)pY(y)p(x|y)dy.注 由边际分布和条件分布就可以得到联合分布。

二、条件数学期望

1、定义3.5.4 条件分布的数学期望（若存在）称为条件数学期望，其定义如下：

xiP(Xxi|Yy),(X,Y)为二维离散随机变量；E(X|Yy)i

(X,Y)为二维连续随机变量。xp(x|y)dx，yjP(Yyj|Xx),(X,Y)为二维离散随机变量；jE(Y|Xx)

(X,Y)为二维连续随机变量。yp(y|x)dy，注(1)条件数学期望具有数学期望的一切性质。

(2)条件数学期望E(X|Y)可以看成是随机变量Y的函数，其本身也是一个随机变量。

2、定理3.5.1（重期望公式）设(X,Y)是二维随机变量，且E(X)存在，则

E(X)E(E(X|Y))。

证明 略。

注 重期望公式的具体使用如下

（1）如果Y是一个离散随机变量，E(X)（2）如果Y是一个连续随机变量，E(X)E(X|yy)P(Yy);

jjjE(X|Yy)pY(y)dy.例3.5.10（随机个随机变量和的数学期望）设X1,X2,,Xn是一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数值，且与{Xn}独立。证明

E(Xi)E(X1)E(N).i1N

第四章 大数定律与中心极限定理

一、教材说明

本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛的应用。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：

（1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数；

（2）使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念，会熟练运用几个大数定律证明题目；

（3）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。本章的教学要求是：

（1）理解并会求常用分布的特征函数；

（2）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目；

（3）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目；（4）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。

2、重点与难点

本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定律和中心极限定理的应用。

二、教学内容

本章共分特征函数、大数定律、随机变量序列的两种收敛性，中心极限定理等4节来讲述本章的基本内容。

4.1特征函数

一、特征函数的定义

1.定义4.1.1 设X是一个随机变量，称(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，为X的特征函数。

itXitX注 因为e1，所以E(e)总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。

itX

2.特征函数的求法

（1）当离散随机变量X的分布列为Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，则X的特征函数为

φ(t)=ek1itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）当连续随机变量X的密度函数为p(x)，则X的特征函数为

φ(t)=eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函数

(1)单点分布：P(X= a)= 1，其特征函数为φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

证明 略。

定理4.1.1（一致连续性）随机变量X的特征函数φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致连续。定理4.1.2（非负定性）随机变量X的特征函数φ(t)是非负定的。定理4.1.4（唯一性定理）随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。例4.1.3 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(α，λ)的数学期望和方差。解 因为Ga(α，λ)的特征函数φ(t)= φ(t)= ‘

‘iii(1)1；φ(0)= (1it)，’‘’1)i2it；φ(t)= ((1)2；φ(0)= 2(1)2，所以由性质4.1.5得

E(X)'(0)i;Var(X)''(0)('(0))22.4.2大数定律

一、何谓大数定律（大数定律的一般提法）

定义4.2.1设{Xn}为随机变量序列，若对任意的0,有

1n1nlimPXiE(Xi)1.(4.2.5)nni1ni1则称{Xn}服从大数定律。

二、切比雪夫大数定律

定理4.2.2（切比雪夫大数定律）设{Xn}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)c,i1,2,,则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可证明。此处略。

推论（定理4.2.1：伯努利大数定律）设n为n重伯努利试验中事件A发生的次数，P为每次试验中A出现的概率，则对任意的0，有

limPnp1.nn分析 n服从二项分布，因此可以把n表示成n个相互独立同分布、都服从0–1分布的随机变量的和。

三、马尔可夫大数定律

定理4.2.3（马尔可夫大数定律）对随机变量序列{Xn}，若马尔可夫条件n1Var(Xi)0成立，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。n2i1证明 利用切比雪夫不等式就可证得。

例4.2.3 设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn1和Xn1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列{Xn}是否服从大数定律？

解 可证对{Xn}，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得{Xn}服从大数定律。

四、辛钦大数定律

定理4.2.4（辛钦大数定律）设{Xn}为一独立同分布的随机变量序列，若Xn的数学期望存在，则{Xn}服从大数定律，即对任意的0，式(4.2.5)成立。

4.3随机变量序列的两种收敛性

一、依概率收敛

1.定义4.3.1（依概率收敛）设{Xn}为一随机变量序列，Y为一随机变量。如果对于任意的0，有

nlimPYnY1.P则称{Xn}依概率收敛于Y，记做YnY。

1n1nP注 随机变量序列{Xn}服从大数定律XiE(Xi)0。

ni1ni12.依概率收敛的四则运算

定理4.3.1 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b是两个常数。如果

PP{Xn}a，{Yn}b，则有(1)XnYnab;(3)XnYnab(b0).ab;(2)XnYn

二、按分布收敛、弱收敛 PPP

1.定义4.3.2 设{Fn(x)}是随机变量序列{Xn}的分布函数列，F(x)为X的分布函数。若对F(x)的任一连续点x，都有limFn(X)=F(x)，则称{Fn(x)}弱收敛于F(x)，记做

nFn(X)F(x)。也称{Xn}按分布收敛于X，记做XnlX。

2.依概率收敛与按分布收敛间的关系

P(1)定理4.3.2 XnXXnlX。

P(2)定理4.3.3 若c为常数，则XncXnlc

两个定理的证明均略。

三、判断弱收敛的方法

定理4.3.4 分布函数序列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(X)的充要条件是{Fn(x)}的特征函数序列{φn(t)}收敛于F(x)的特征函数φ(t)。

这个定理的证明只涉及数学分析的一些结果，参阅教材后文献[1]。例4.3.3 若X~P()，证明

1XlimPx2解 用定理4.3.4。此处略。

xedt.t224.4中心极限定理

一、中心极限定理概述

研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的命题。

二、独立同分布下的中心极限定理

定理4.4.1（林德贝格-勒维中心极限定理）设{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi),Var(Xi)0.记

2Yn*则对任意实数y，有

X1X2Xnnn.1* limPYy(y)nn2

yedt.t22-2021-