一类分式型三角函数值域的多角度求解

第一篇：一类分式型三角函数值域的多角度求解

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一类分式型三角函数值域的多角度求解 作者：舒飞跃

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

三角函数中经常遇到求形如“y=asinx+bcosx+cdsinx+ecosx+f” 型函数值域，对这一类分式型三角函数值域，从不同思维层次思考的求解方法不同，下面举一例说明其解法.评注：此题用常规方法也可以得到很好的解决，但没有此法来得快速与准确.利用斜率公式简解代数竞赛题，虽然这不是解决问题的唯一方法，但它展现了丰富多彩的数学世界，而且对于锻炼学生思维能力的创造性、开拓性、开阔性大有裨益.

第二篇：分式函数值域解法

分式函数值域解法汇编

甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。

一、相关概念

函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。

函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

类型一：一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=(a0)型

例１ 求函数y=的值域。

解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

解：反解y=得x=，对调 y=（x)，∴函数y=的值域为

y。

2.y=(a0)型

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。

即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函数y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。

即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

例３ 求函数y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函数的值域为[，0]。

总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。

类型二：二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型

分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式

即可求出值域。

例４ 求函数y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-

∵函数定义域为R，≤y≤。

∴函数y＝的值域为[-，]。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函数的值域为。-4

例６ 求的值域。

错解：=≥2。

分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。

解：用单调性法

=，令=t，显然t≥2，则y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函数y=t+ 在t≥2上单调递增。

∴当t=

2、即=

2、x=0时，ymin

=，∴原函数的值域为。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明

第三篇：二次分式函数值域的求法

二次

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域 ？x2110,2 

四分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

张掖实验中学734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第四篇：分式型函数求值域的方法探讨

分式型函数求值域的方法探讨

在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。axb(ao,b0)（一次式比一次式）在定义域内求值域。cxd

2x12例1：求f(x)（x)的值域。3x2

3241112(x)122233解：f(x)=0, 23x233x23x233x233(x)3

一、形如f(x)

2其值域为y/y 3

一般性结论，f(x)axbd(ao,b0)如果定义域为x/xcxdc,则值域

ay/y c

例2：求f(x)2x1，x1,2的值域。3x

2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

12x1222解：f(x)=，是由y向左平移，向上平移得出，通过图3x233x233x

像观察，其值域为, 35

58

小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。a（a0)的值域。x

分析：此类函数中，当a0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当a0时，a'对函数求导，f(x)12,f'(x)0时，x(,a)a,），f'(x)0时，x

二、形如求f(x)x

x(a,0)(0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常

其图像

4,(x(1,4)上的值域。x

2解：将函数整理成f(x)2(x)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0,2)x例3：求f(x)2x

单调递减，在(2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为42,6 

mxnax2bxc

三、用双钩函数解决形如f(x)（m0,a0），f(x)ax2bxcmxn

（m0,a0）在定义内求值域的问题。

t24t1例3：（2010重庆文数）已知t0，则则函数y的最小值为_______.t

t24t11t4，to由基本不等式地y2 解：ytt

例4:求f(x)x1(x1)的值域。2xx

2解：令x1t,则xt1,则f(x)t1t=，(t1)2(t1)2t23t4t43t7其中t0.则由基本不等式得f(x)

4x22x21(x)的值域。例5:求f(x)2x12

t1t14)222(t12tt222解：令t2x1,则x，f(x)==t1 2ttt，其中t0，由基本式得f(x)22

1小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成f(x)x2a(a0)这类型的函x

数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 ax2bxc(a0,m0)在定义域内求值域。

三、形如f(x)2mxbxc

2x2x1例5：求y2的值域。xx1

分析：当定义域为R时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：xx10恒恒成立，所以此函数的定义域为xR，将函数整理成关于x的方程，2

yx2yxy2x2x1，(y2)x2(y1)x(y1)0,当y20,关于x的方程

2恒有解，则(y1)4(y2)(y1)0,即1y7，显然，y2也成立，所以其3

值域为y/1y7

3

以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。3

第五篇：化为同分母循环和 证明一类分式不等式

本文发表于《中学数学研究》（南昌）2004年第12期

化为同分母循环和

证明一类分式不等式

215006苏州市第一中学刘祖希

分式不等式的证明难，其难点首先体现在如何去掉分母.本文将通过一些例子获得一个证明分式不等式的有效方法，并希望能成为一个通法：这就是将分式不等式的各部分巧妙地化为同分母循环和(即

A1)获证.下面详细予以说明.ABC

例1设a,b,c是正实数，且abc1，求证：

(1996年IMO37预选题)

证明：∵abc1,ababab（作差法易证）, 5522abbcca1.a5b5abb5c5bcc5a5ca

aba2b2c5∴5（齐次化）5522ababababc

a2b2cc, 2222abababcabc

同理，bca，55bcbcabc

cab，c5a5aabc

1111.333333ababcbcabccaabcabc三式相加即得原不等式，当且仅当abc1等号成立（考虑篇幅，等号成立条件以下略）.例2求证：对所有正实数a,b,c，有

（1997年美国数学奥林匹克试题）

证明：先证齐次不等式

33abcabcabc1.a3b3abcb3c3abcc3a3abc∵ababab（作差法易证），∴abcabcc，a3b3abcabababcabc

abca，b3c3abcabc

abcb，c3a3abcabc

abcabcabc1，三式相加得，333333ababcbcabccaabc同理，即1111.a3b3abcb3c3abcc3a3abcabc

abbcca.ababbcbccaca对例

2、例3的推广形式： 推广：设a,b,c是正实数，且abc1，记f

1，则f1；

21②若1或，则f1；2

1③若1，则f1.2①若1或

（《中学数学月刊》2002.12P40）

例3设ABC中，求证：abc2.bccaab

aa2a2a22a21； 证明：∵bcabacaabacabc

a2a，bcabc

b2b同理，caabc

c2c，ababc

abc2.三式相加，得bccaab

abc例4在ABC中，记f，试证： abcbcacab

2①当11时，有f； 

12②当1时，有f.1∴

(《中等数学》2002.4数学奥林匹克问题高115)

证明： 只要1，总有

1bca0

11bc1a0 2

11bc1a2b2c1a1a2b2c0

11abca2b2c0 

112a12a2b2c1abc0



12a0 abc1abc即1a1a

abc21a，1abc

∴ 1f1a

abc1b

bca1c

cab

212121abc 1abc1abc1abc

21, 1

21, 1

22；②当1时，有f.11即1f故①当11时，有f

注：例4中取0，即为例3.例5设0a,b,c1.证明：abc2.bc1ca1ab1

证明：∵2abc1aabc

abc1aabcbc1

abc1aab1c10 a2a，bc1abc

b2b同理，ca1abc

c2c，ab1abc

abc2.三式相加，得bc1ca1ab1∴

a2

例6在ABC中ma,mb,mc分别表示边a,b,c上的中线长，证明:22.2mbmc

（《中等数学》2003.4P18）

证明：由三角形中线长定理，mb212c22a2b2，

44a2a24a2m2m24a2b2c22a2a2b2a2c2

bc

4a2

22a2ab2ac

2a2, abc

a2

即22.2mbmc

至此，我们是否可以获得这样的启示：以上这些分式不等式都具有对称性，而且不等式的另一端多为常数，这就为我们统一处理、集中去分母提供了便利，同分母循环和的方法应运而生.例7设a,b,c是正实数，n是正整数，求证： anan1an1an

n1n1；②nn1n1.①nnnbcbcbcbc

(《中等数学》2001.3P23)

nn证明：①

∵bcbn1cn1（作差法易证），annan1∴



n

n1n1 nbcbc1an1

n1n1（车贝雪夫不等式）

3bcan1n1n1（三元均值不等式）bcan1

n1n1； bc

②类似①可得，an1n1an



bncn

bn1cn1

1an



n1n1 3bcann1n1 bcan

n1n1.bc