一个分式型双向不等式定理的应用

第一篇：一个分式型双向不等式定理的应用

一个分式型双向不等式定理的应用

阳凌云,张彩霞

(湖南工业大学 数学与计算机科学系，湖南 株洲 412007)

摘要: 本文应用一个分式型双向不等式定理,对国际数学竞赛和不同书刊中提及的有关不等式的证明、求解最值问题进行探讨,并对其部分问题进行了适当推广.关键词: 分式型不等式；应用；推广引言

《数学素质教育导论》一书中提出如下一般形式的分式型双向不等式定理(文[2]已给予了证明)：

对任意ai,bi＞0,i=1,2,„,n, 则

当0≤≤+1≤1时,有 [1]

nainai(1)1i1≤nni1bibii1

当1≤≤0或1≤1≤或≤0、≥0时，有 

ainai(2)1i1≥ni1binbii1

当==0或=0、=1或=

1、=0时，(1)、(2)式均取“=”;n

≠0,且=1时,当且仅当aikbi(k＞0),(1)、(2)式均取“=”;当≠0、≠0,且≠1时,当且仅当a1=a2an,b1=b2bn, 当≠0、(1)、(2)式均取“=”.本文旨在利用(1)、(2)式潜在的应用功能,探讨和解决国际数学竞赛和不同书刊中提到的有关不等式的证明及求解多元函数最值问题,使此类问题的研究更简捷、深刻.2(1)、(2)式的应用

作者简介：阳凌云(1947-)，男，湖南湘潭人，湖南工业大学数学与计算机科学系教授，主要从事函数论及数学教育理论研究；张彩霞(1982-)，女，湖南工业大学数学与应用数学本科专业2003级学生.为揭示(1)、(2)式的丰富内涵,充分挖掘其潜在的应用功能, 我们将对（1）、（2）式中的变元ai，bi作适当的代换，同时对其指数,作适当的变形，以提高解题技巧,拓宽命题范围.2.1应用(2)式探讨有关问题 2.1.1几个不等式求证问题的推广

问题1(第二届友谊杯国际数学竞赛题)已知 a,b,c＞ 0，求证

abca2b2c

2≥.2bccaab

问题2(第28届IMO预选题)设a,b,c是ABC的三边长, 2pabc,kN,求证

akbkck2

≥bccaab3

k2

pk1.

问题3(《数学通报》1993年第7期问题845)设x1,x2,„,xnR,xi2

1≥.x1x2xn1,求证 n11xi1i

n

现将上述三个问题推广统一成如下命题 命题1 设ai R,i=1,2,„,n.n



a

i1

n

i

s,kR且k≥1或k≤0,则有

aiksk1

≥(3)k2

san1ni1i

当且仅当a1a2an=

s

时,(3)式取“=”.n

证明 根据(2)式，易知

nain

s2121i12

=，ai≥n111ni1

n

当k≥1时，再应用(2)式，则有

n

aikk1nn

aiaii11(k1)1

=≥= nn

saasai1i1iii

aisai2

k1



i1

n

1k



sk1s2ai2

i1n

≥n

1k

sk1sk1

=，2k2sn1ns2

n

k

当k≤0时, 应用(2)式, 则有

naikn

aisk1n2kski11k1

≥n． nk2

nssn1ni1sai

sai

i1

根据(2)式等号成立的条件，易知： 当且仅当a1a2an=

s

时,(3)式取“=”.n

令(3)式中a1a,a2b,a3c,n3,s2p,即得问题1.令(3)式中a1a,a2b,a3c,n3,k2,即得问题2.令(3)式中aixi,k2,s1,即得问题3.注: 此命题包含了文[3]中的推广2；文[4]中的例6（例2的推广）；文[5]中的命题1、2、3、4 ；文[6]中的定理1；文[7]中的结论及文[8]中的命题F.2.1.2 几个求解最值问题中的应用与推广

问题4(1990年日本IMO代表队第一轮选拔赛题)设x,y,zR，且



149

x+y+z=1,求的最小值.xyz

问题5(《数学通报》2004年第7期问题1504)已知x,y,zR,且



x+y+z=1,求u

118的最小值.22

2xyz



问题6(《数学教学》2003年6月号问题)已知x,y,zR,x+2y+3z=1,求

16811的最小值.333x8y27z

现将上述三个问题推广统一成如下命题 命题2 设xi,ai,i，kR,i=1,2,„,n.且





i

1n

kii

xp,a

i1

n

1k1i

q，则有

aiqk1

≥k(4)k

xpi1ii

n

当且仅当

a

x

1k1i1kii

=

aq，i=1,2,„,n.即xip

q

1k1i1ki

p

时，(4)式取“=”.证明 由条件,应用(2)式,则有

n

ai

kk1

i1ixii1

ikxin

k1ai1

k1

nk1

ai1

kk11i1

≥n

k1

n1ikxii1

k

qk1

=k． p

根据(2)式等号成立的条件，易知：

当且仅当

a

x

1k1i1kii

=

q，i=1,2,„,n时，(4)式取“=”.p

上述三个问题,可 设(4)式中x1x,x2y,x3z,n3,p1.再令(4)式中 a1=1,a2=4,a3=9,i1,k=1,即得问题4, 当且仅当

1111236

，即x=,y=,z=时,取到最小值36；

632xyz1

再令(4)式中 a1=1,a2=1,a3=8,i1,k=2,即得问题5, 当且仅当

111112

4时，即x=,y=,z=时，取到最小值64；

244xyz1

再令(4)式中 a1=16,a2=81,a3=1,11,28,327,k=3,即得问题6, 当且仅当

1112316

时，即x=，y=，z=时，取到最小值1296.3418x2y3z1

注：此命题包含了文[9]中的例5的推广结论.2.2 应用(1)式探讨有关问题

问题7 若，0,

，kR且k－

2、0，则＝的充要条件是：

22

seck2tank2

＝1（5）－kk

csccot

证明当－2＜k＜0，即0＜

k

1＜1时，应用(1)式，则有

2tan1tantan1seck2

1+＝k+≤＝．（6）kkk

cotkcsc

cot221cot2212

k2

k

12

k12k12

当k－

2、0，即

k

10、１时，根据(1)式等号成立的条件可知： 2

tan2

当且仅当＝1，即＝时，（6）式取“＝”，即（5）式成立． 

2cot2

同理，当k2或k0时，应用(2)式及(2)式等号成立的条件可得到同样结论.参考文献：

[1] 阳凌云等著．数学素质教育导论[M]．湖南科学技术出版社，2005，227． [2] 阳凌云．两个分式型不等式的拓广与深化[J]．株洲工学院学报，2004，(2)． [3] 李再湘．柯西不等式的变形与应用[J]．数学通报，1992，(8)． [4] 刘文春．一个不等式及其应用[J]．数学通报，1999，(1)． [5] 王福楠．一组互相关联的不等式命题[J]．数学通报，1999，(8)． [6] 徐丹，杨露．一个不等式的再推广[J]．数学通报，2001，(10)． [7] 裘敬华．一个不等式的改进及证明[J]．数学通报，2003，(8)． [8] 文开庭．也谈一个数学命题的拓广[J]．数学通讯，2005，(5)．

[9] 许建东．第64届普特兰数学竞赛A2题的推广及应用[J]．数学通讯，2006，(1)．

Application ofA Fractional Bi-directional Inequality Theorem

YANG Ling-yun ,ZHANG Cai-xia

(Department of Mathematics & Computer Science, Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan 412007,China)

Abstract: This paper applies a fractional bi-directional inequality theorem, carries on the

discussion on inequality proof mentioned in some international mathematics competitions, some books and periodicals.It also probes into a few maximum and minimum problems and inequality proof which is concerned with the triangle's rim and angle, and makes suitable popularization about some of the problems.Key word: fractional inequality；application；popularization

第二篇：不等式和分式应用题

1、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

2、有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入

0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？

3、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km

后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租 汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

4、在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个

人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:

那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)

5、(2001安徽)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为

600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

7、某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg

以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由

8、某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、•乙两种机器

供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应

选择哪种方案？

9、水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。售价定为10元/kg，销售一半以后，为了

尽快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

10、“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克1.5元，销售中有

6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？

11、阳光中学校长准备在暑假带领该校的“市级三好生”去青岛旅游，甲旅行社说“如果

校长买全票一张，则其余学生享受半价优惠.”乙旅行社说“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”.若到青岛的全票为1000元.（1）设学生人数为x人，甲旅行社收费为y 甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出

两家旅行社的收费表达式.（2）就学生人数x，讨论哪家旅行社更优惠？

12、某用煤单位有煤m吨，每天烧煤n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后

余煤72吨.(1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？

13、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。

14、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

15、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

16、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

17、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

18、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

19、某甲有钱400元，某乙有钱150元，若乙将一部分钱给甲，此时乙的钱是甲的钱的10%，问乙应把多少钱给甲？

20、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

21、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

22、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？

23、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。

24、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

25、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

26、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有

多少人？

27、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？

28、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

29、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

31、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

32、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

33、某商品每件售价15元，可获利25%，求这种商品的成本价。

34、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

35、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度

36、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

第三篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高级中学

韩玺

一、教学内容分析

简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.二、教学目标设计

1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.三、教学重点及难点

重点 简单的分式不等式的解法.难点 不等式的同解变形.四、教学过程设计

一、分式不等式的解法

1、引入

某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍.设楼梯的长度为s，甲的速度为v，自动扶梯的运行速度为v0.于是甲上楼所需时间为

s，乙上楼所需时间为vsvv02.由题意，得ss.vvv02整理的12.v2v0v

由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0v2v，即v2v0.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x12.3x2 1

解：（化分式不等式为一元一次不等式组）

5x1x1x1x12200 03x23x23x23x2x1x1x10x102x1或x不或或2233x203x20xx33存在.所以，原不等式的解集为22,1，即解集为,1.33注意到

x103x2x103x20或x103x2x10，可以简化上述解法.3x20另解：（利用两数的商与积同号（为一元二次不等式）

aa0ab0，0ab0）化bb5x1x1x1x12200 03x23x23x23x23x2x1022x1，所以，原不等式的解集为,1.33由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：

fx（1）； 0（0）fxgx0（0）gx（2）

fxfxgx00.0（0）gxgx0 2

[说明]

解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.例2 解下列不等式

x10.x523.（2）35xx82.（3）2x2x3x10x1x501x5，解（1）原不等式x5（1）所以，原不等式的解集为1,5.（2）原不等式215x715x73000 35x35x5x315x75x305x3037x155x3573x，155所以，原不等式的解集为73,1552.2（3）分母：x2x3x1110，则

原不2等式x822xxx23x4x 2x226x2或x1,2,.21，所以，原不等式的解集为2 3

例3 当m为何值时，关于x的不等式mx13x2的解是（1）正数？

（2）是负数？

解：mx13x2 m3xm6（*）当m3时，（*）0x9x不存在.当m3时，（*）x（1）原

m6.m3方

程的解

为

正

数x（m60(mm3）原

方

m6程

)m6或m3.的解

为

负

数2xm60(mm3m6)6m3.所以，当m,63,时，原方程的解为正数.当m6,3时，原方程的解为负数.四、作业布置

选用练习2.3（1）（2）、习题2.3中的部分练习.五、课后反思

解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知”为“已知”的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形”这一点上，应在学生思考、讨论的基础上教师、学生共同进行归纳小结.

第四篇：分式不等式练习

分式不等式的解法：

f(x)f(x)f(x)00(或01）标准化：移项通分化为(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)0)的形式，g(x)

2）转化为整式不等式（组）

f(x)g(x)0f(x)f(x)0f(x)g(x)0；0 g(x)g(x)g(x)0

解分式不等式：

x52x3001、2、x4x2

2x312x104、3、x2x3

5x33x216、5、2x32x2

第五篇：初高中衔接分式不等式

一

分式不等式

aa

0ab0;0ab0； bb

方法总结：

练习：解下列不等式 ⑴ a

0ab0且b0；（也可以：ab0或a0）ba

0ab0且b0（也可以：ab0或a0）x3x1

1⑵2 x2x

b

例

1、解不等式

x3

x7

0

方法总结：

练习：解下列不等式 ⑴x3x50

例

2、解不等式

x1

x2

0

方法总结：

练习：解下列不等式 ⑴2x2x0

例

3、解不等式x1

x



2⑵12x

x4

0⑵2x15

5x2

0

例

5、不等式13xx

0的解集是___________________

作业：

1、（06浙江高考）不等式x1

x2

0的解集是（2010全国卷2文数）解不等式x3

x2

＜0.5、（08宝鸡模拟）不等式xx1

1的解集为____________________

x1

16.（上海理4）不等式x3的解为。

6、（07辽宁模拟）关于x的不等式axb0的解集为x1，则关于不等式axb

x2

0的解集为_________________________