必修一值域单调性(打印两份)

第一篇：必修一值域单调性(打印两份)

1-3 函数的表示与值域陈毅东

映射：1.设f:xx2是集合A到集合B的映射，如果B=1,2，则A∩B=（）

1C.A.B.1 或2D.或

1．函数的表示法：，2．函数的值域：{f(x)|x∈A}为值域。

3．求值域的常用的方法：

①配方法(二次或四次)；②判别式法；③换元法（代数换元法）；⑥单调函数法.4.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数ykxb(k0,xR)的值域为R;

② 二次函数yax2bxc(a0,xR)2当a0时值域是[4acb,),当a0时值域是(,4acb]；

24a4a

③ 反比例函数yk(k0,x0)的值域为{y|y0}；

x

④指数函数yax(a0,且a1,xR)的值域为R；

⑤ 对数函数ylogax(a0,且a1,x0)的值域为R；

⑥ 函数ysinx,ycosx(xR)的值域为[-1，1]；

⑦ 函数ytanx,xk,ycot x(xk,kZ)的值域为R； 2

１、图象法：通过作出函数的图象草图得到函数值域的方法。

例题：求函数的值域。

２、分离常数法：形如的函数均可由此法求得值域。我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域

例题

小结：

已知分式函数如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为

换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

例题：

判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0;通过方程有实数根，判别式且a不等于0）从而求得原函数的值域的函数的值域，常用此方法求解。例题：

练习题

1． 求函数的值域：y=-3x2+2;

2.求函数的值域：y=

4． 求函数y =

5．求函数y=

6．求函数的值域：y=x4xx2 x13x的值域 x245的值域.2x24x3

7.求yx22x3(x[2,3])的值域

ex

8．求y的值域 1ex

1-4 函数的单调性

1．设函数yf(x)的定义域为A，区间IA

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是，I称为yf(x)的如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是，I称为yf(x)的2．对函数单调性的理解

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性；二是大小，即x1x2；三是同 属于一个

单调区间，三者缺一不可；

（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明yf(x)在某区间I上的单调性，那么就要用严格的四

个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，不能用区间I上的两个特殊值来代替。而要证明yf(x)在某区间I上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I上两个特殊的x1，x2，若x1x2，有f(x1)f(x2)即可。

1分别在(,0)和(0,)内x

1都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的，只能说函数y的x（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y

单调递减区间为(,0)和(0,)

（6）一些单调性的判断规则：①若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数（减函数），那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。②复合函数的单调性规则是“异减同增”

1．下列函数中,在区间0,1上是增函数的是

A．yxB．y3xC．y1D．yx24 x

2．已知yx22(a2)x5在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）

A.a2B.a2C.a6D.a6

．求y

5.若f(x)

ax1在区间(2,)上是增函数，则a的取值范围是。x2

第二篇：必修一《函数的单调性》教学设计

必修一《函数的单调性》教学设计

必修一《函数的单调性》教学设计

本节课是北师大版必修1,§3《函数的单调性》新授课的微课程教学设计。

课程标准：

通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。

教学目标：

1.理解函数单调性的定义，掌握其图象特征；

2.能够根据函数的图象，读出函数的单调区间；

3.会用定义法证明函数的单调性；

4.能够判断抽象函数的单调性.教学重点：

函数单调性的定义，及单调函数的图象特征。

教学难点：

数形结合的数学思想方法在函数单调性中的应用。

教学过程：

第1个环节：复习函数单调性的定义。

一般地，设函数f(x)的定义域内的一个区间A上：

如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是减函数.给出函数单调性的定义，强调定义中的“任意”二字，指出函数的单调性是一个整体的概念，在给定的区间内的所有的 均要满足单调性的数学表达式。

【设计意图】对函数单调性的定义进行学习，特别是要领会定义中的“任意”二字。

第2个环节：单调函数的图象特征。

给出3个具体的例子，剖析函数单调性的图象特征。

然后给出一个函数的图象，读出单调递增和单调递减区间，将抽象的定义具体化。

在本环节，要重点突出的两个问题：

（1）单调区间区间端点的“开”和“闭”的问题；

因为函数的单调性是一个整体的概念，在区间端点讨论单调性是毫无意义的。但是要注意，如果函数在区间端点处没有定义，则区间端点必须是“开”的，有定义则“可开可闭”。

（2）单调区间不能写成并集的形式。

两个集合的并集相当于是进行集合的运算，结果是一个集合，而显然函数在[0,4]∪[14,24]图象不是一直下降的，所以不能写成并集的形式。

【设计意图】数形结合提升学生对函数单调性的认识，会根据图象读出函数的单调区间。

第3个环节：用定义法证明函数的单调性。

给出一个具体的例题，讲解单调性证明的步骤。

例:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.步骤：

（1）任取定义域内某区间上的两变量x1，x2，设x1<

（2）判断f(x2)– f(x1)的正、负情况；

（3）得出结论.证明：

在R上任取x1，x2，设x1<

△y= f(x2)– f(x1)

=(3x2+2)-(3x1+2)

=3(x2-x1)0

∴ f(x)=3x+2在R上是增函数.强调符号的判断是最重要的一个环节，特别是要将最终的式子化简成因式相乘和相除的形式，然后逐一判断符号。

【设计意图】强调单调性判断或证明的步骤。结合具体的证明步骤学习如何用定义法证明函数的单调性。

第4个环节：抽象函数的单调性的判断。

研究两个问题：

（1）函数y=f(x)与y=f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性。

借助一个函数的图象进行学习，深化理解。

举例：

如：函数y=x2 与y=x2-1具有相同的单调性.（2）函数y=f(x)与y=c f(x)（c为常数）的单调性之间的关系。

举例：

如：函数y=x2与y=-x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相反，（0，+ ∞）单调性相反.如：函数y=x2与y=2x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相同，（0，+ ∞）单调性相同.对这两个问题，只要求借助于具体的函数单调性归纳得出，不要求给出严格的证明。对学生的要求是记住结论，能够使用这两个结论进行简单函数单调性的判断即可。

【设计意图】将许多函数单调性的判断简单化，克服每题从定义出发，进行证明的弊端，从而提升能力。

第5个环节：课堂小结。

1.函数单调性的定义是什么？

2.单调函数的图象特征是什么？

3.函数单调性的判断有哪两种方法？

4.本节课你学习了哪些数学思想方法？

【设计意图】总结回顾本节课学过的知识。

评价设计：

本微课程的设计具有以下特色：

（1）突出学生自主学习能力的提升。

微课程的设计旨在让学生通过自主学习，让学生在课前预习、上课听讲、课后复习等环节得到提升，因此特别注重举例，例子虽然简单，却能激发学生思考。

（2）注重数形结合思想方法的培养。

对函数单调性的学习，定义是抽象的，如果仅从定义出发，学生会“照葫芦画瓢”，而结合图象学习，学生对单调性的认识会上升到一个新的层次。

（3）重视学生的数学学习发展。

在讲解完函数单调性的概念之后，引入抽象函数单调性的学习，不要求证明，只要求会应用。结合具体的函数来学习，体现的是归纳的思想和由特殊到一般的方法。

第三篇：必修1函数单调性说课稿

必修1《1.3.1 函数的单调性》说课稿

酒泉中学 马长青

一.教学内容分析

1.本课定位与内容

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》A版第一章第三节函数的基本性质第一小节函数的单调性与最大(小)值，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共2课时，本节课为第一课时。

2.教材的地位和作用

从单调性本身看，学生的学习分为三个层面，首先是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。

从本节的教学看，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，从本章的教学看，本节课的学习是后续研究指数函数、对数函数内容的基础。

从函数知识网络看，单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。

从高中数学学习看，函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围的有力工具。3.教学目标

根据本课教材特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，教学目标确定为： 知识与技能：

（1）从形与数两方面理解单调性的概念

（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 过程与方法：

（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。情感态度价值观：

通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；领会用运动的观点去观察分析事物的方法 4.教学重难点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用。虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但是要用准确的符号语言去刻画图象的增减性，从感性上升到理性对高一的学生来说比较困难。因此，本节课的教学难点是函数单调性的概念形成。

二.学生情况分析

知识结构

学生已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图象，能从图象的直观变化，学生能得到函数增减性。

能力结构

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。

学习心理

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础。

本班学生特点

本班为酒泉中学高一（4）班，学生数学素养较好。三.教学模式

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”

因此，根据教学内容和学生的认知、能力水平，本节课作为新授课主要采取教师启发式教学法和学生探究式教学法。以设置情境、设问和疑问进行层层引导，激发学生积极思考，逐步将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。引导学生提出疑问，进行思考，从而创造性的解决问题，最终形成概念，培养学生的创造性思维和批判精神。

五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新 四.教学设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新

单调性的概念是本节课的重点，而形成过程则是本节课的难点，为了突破这一难点，让学生能够充分感受单调性概念的形成过程，经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，本节课设置了前三个环节,后两个环节的设计，是为了使学生对函数单调性认识的再次深化。

（一）创设情境，引入新课

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本节课的开始，我作了这样的情境创设，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

提出问题1：分别作出函数y=x，二次函数y=2x，y=-2x和y=x的图象，并且观察函数变化规律？

2首先引导学生观察两个一次函数图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.二次函数的增减性要分段说明，进而提出问题：二次函数是增函数还是减函数？ 进一步讨论得出：增减性是函数的局部性质

据此，学生已经对单调性有了直观认识，紧接着，我提出问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？ 结合增减性是局部性质，学生会用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。

学生用图象的感性认识初步描述了单调性，下面进一步将学生从感性向理性进行引导

（二）初步探索，概念形成

提出问题三：以y=x+1在（0，+∞）上单调性为例，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？

这是本节课的难点，因此我将概念形成设置了三个阶段 1.提问学生什么是“随着”

经讨论得出，随着是由于当x取一定的值时，y有确定值与之对应，因此x变化时，y会根据法则随着x发生变化

2.如何刻画“增大”？

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小，学生也许会用特殊点说明问题，比如x取2、3，2<3，对应的函数值是5<10

提出质疑：这个点的变化能否说明y随着x增大而增大，进一步引导学生从特殊到一般，进入第三阶段，对“任取”的理解。

3.对“任取”的理解

针对特殊值，学生可能会举反例证明其是不充分的，那么应该如何取值呢？学生可能会多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

用对随着的理解再次深化函数概念，用对增大的理解得到要表示大小关系，最后再强调取值的任意性，这样就实现了从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，形成了单调性的定义。

得到定义后，再提出如何得到f(x1)

（三）概念深化，延伸拓展

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

2提出问题四：能否说从这个例子能得到什么结论？

在它的定义域上是减函数？

学生思考、讨论，提出自己观点 学生可能会提出反例，如x1=-1，x2=1 进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

教师给出例子进行说明：

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数。

学生会提出将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

性

回归定义，强调任意 在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。拓展探究：已知函数

是（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围.这个问题有一定难度，但是学生在前面集合的学习中已经接触过在运动中求参数a的取值范围，此处可看作是对前面学习的巩固。

（四）证法探究，应用定义

在概念已经完善的基础上，提出例1 例1：证明函数 在（0，+）上是增函数

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

学生根据单调性定义进行证明，教师在黑板上书写证明步骤，再引导学生总结证明步骤。

提出例2判断函数在（0，+∞）上的单调性。

根据定义进行判断，体会判断可转化成证明。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？为学生提供思考空间。

（五）小结评价，作业创新

从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法。

小结过程使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。

作业的设计实现了分层，既巩固了基础，又给了学生充足的思考空间。

通过本节课的学习，预计学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性，本节课的评价方式为课堂反馈、教师评价、学生自评相结合。

在本节课的设计中，我有一些新的尝试，在教学过程中，创设一个探索的学习环境，通过设计一系列问题，使概念得到形成和深化，学生亲身经历数学概念的产生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。在情境设置中，严格按照课标要求以二次函数y=x+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。五.板书设计 六.课堂评价 七.资源开发 2

第四篇：高中数学必修一函数的单调性教学设计

函数的单调性

北京景山学校 许云尧 【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

① ②若函数 ③若函数数．

在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

．

．

在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴ ∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： 上是增函数．(1)证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且

有．

(2)研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

第五篇：高一必修一函数单调性教学设计

激发兴趣，自主探索，模式构建---函数的单调性教学设计

陕西省三原县北城中学 慕建斌

一、教材分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修一）》（北师大版），第二章《函数》的第三节“函数的单调性”（第一课时）.函数的单调性是函数最重要的性质，从初中开始学习函数就已经予以渗透，到高一刚开始学习函数，首先学习的函数性质就是函数单调性，因为对任何一个函数都必须研究函数的单调性，而且函数单调性是解决函数问题、方程问题、不等式问题最有力的工具，同时也是函数与导数研究的最重要工具.本节课是以具体函数一次函数、二次函数、反比例函数等为基础，抽象归纳出函数单调性的定义，并为高三利用导数研究函数的单调性奠定基础.本节课的设计基于以下考虑：一是如何把握这个过渡阶段的学习，在初中阶段对函数的增减性有了初步的感性认知，但在高中阶段就得升华为定量分析；二是如何处理好用数学符号语言来刻画函数单调性的概念；三是函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其他数学知识的重要基础，也是常用方法之一.因此，本节课主要培养学生将图像语言转化为符号语言的能力、逻辑推理能力和数形结合思想的渗透.二、学情分析

本节课是在高一第一学期进行的，初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，并认识了是函数单调性的语言描述，本节课重点是将这种语言描述如何转化为数学符号语言.但是，学生对知识的归纳、概括能力差，主动迁移能力较弱，数形结合的意识与思维还需要进一步培养.三、教学目标

结合本节课在教材中的地位及学情分析，可将本节课的教学目标定位如下：

1、通过实例，使学生理解单调性的概念，并能依据函数单调性的定义证明简单函数的单调性；

2、培养学生发现问题与解决问题的能力，通过观察—猜想—推理—证明的思想方法，进一步渗透数学思想；

3、与实际结合，引发学生对数学的欲望，激发学生的动手能力.依据本节课的教学目标可将本节课的重点和难点定为： 重点：函数单调性概念的形成、及其实质的理解.难点：如何将文字语言转化为数学语言符号.四、教学设计

（一）复习旧知识，引出新问题

问题1 初中已经学习过一次函数、二次函数等，请同学们画出一次函数yx2，二次函数yx的图像，观察图像说明图像从左到右是如何变化的？

2意图 通过函数图象，让学生直观认识函数是递增的、递减的图像特征.追问 由描点法画函数图象的过程可知，由于自变量的变化才引起函数值的变化，函数图像从左到右是上升的或者下降的，反映函数值随着自变量的变化怎样变化？

意图 通过图像直观感知函数值y随着自变量x的增大而增大（或减小）的过程.追问 函数yx2中，函数值y随自变量x是如何变化的？ 意图 在区间(,0)内，y随x的增大而增大，在区间(0,+)内，y随x的增大而减小，体现单调性是对于区间而言的.问题2 函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）只是语言描述，而数学符号语言是最简洁、最清楚地反映事物的本质属性，如何用准确的数学符号来反映这一现象？

意图 提出新问题，引出本节课的主题

（二）归纳探索，形成概念

问题3 首先，在x轴上，从左到右自变量在增大，如何用数学符号反映？

意图 自变量x取两个值x1、x2，当x1x2时，表示自变量在增大.问题4 若自变量x在x1、x2处的函数值分别为f(x1)、f(x2)，那么自变量在增大，引起函数值在增大（或减小），如何用数学符号表示？

意图 当x1x2时，则f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）

问题5 在函数yx2中，自变量x从2增大到1，而相应的函数值则从-4增大到-1，能否说明函数yx在(2,1)是递增的？

意图 进一步说明函数的增减性是相对于区间而言的，同时也为自变量在区间内取值是任意的做铺垫.函数yx在区间(,220)上是递增的，在区间(0,)上也是递减的，但在其定义域内不能说是递增的或递减的.追问 自变量取两个具体的值时，函数值在增大（或减小），不能反映函数是递增的（或递减的），那么，如果自变量取三个、四个、„„甚至无数个值，函数值都是递增的（或递减的），是不是就能说明函数是递增的（或递减的）？

意图 自变量和因变量的区别就是取无数个值，函数都是递增的（或递减的），都不能说明函数是递增的（或递减的），比如对于函数f(x)x而言，若当

210.8……20.3时，有0f(1)f(0.8)…f(0.3)f(0.1)，但是函数f(x)x在区间(1,0.1)上不是递增的.问题6 由上述问题及追问可知，自变量取两个值、三个值、四个值、甚至无数个值，函数值都在增大，却不能说明函数是递增的，那么自变量x应该怎样取值，才能保证满足上述条件时，函数f(x)是递增的（或递减的）？

意图 自变量的取值必须是区间内的任意两个数.这就类似于直线在垂直于平面内的无数条直线，都不能说明直线垂直于这个平面，只有直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线就一定垂直于这个平面.这也是为后续学习这些内容做铺垫.问题7 结合上述问题的认识，你认为函数是递增的（或者递减的），需要抓住哪些关键因素？

意图 递增（或递减）是针对定义域内的某个区间；自变量x的取值必须是任意两个数x1、x2；当x1x2，则f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）.问题8 函数是递增的、递减的应该如何定义更准确？

意图

在学生对增函数、减函数定义中的几个关键因素的必要性认识清楚后，自然得到增函数、减函数的定义，而且在今后利用其定义在解决问题时，对其关键因素也就认识到位、应用到位了.（三）实例应用，加深理解.问题9 函数yf(x)的图像如图所示，请写出该函数的增区间和减区间.意图

由于函数的单调性是针对区间而言的，因此先通过函数图像，让学生直观认识函数的单调区间，这也是函数图像和性质应用中的一个基本问题看，已知函数图像认识函数的单调区间.同时也为已知函数的单调性描绘函数图像做铺垫.问题10 说出函数f(x)=意图

函数f(x)=1的单调区间，并用单调性的定义加以证明.x1在整个定义域内不是减函数，进一步说明单调性是针对区间而言x的，同时熟悉函数单调性的定义，培养学生的逻辑推理能力，这也是进入高中阶段第一次进行代数推理.变式练习：证明函数f(x)=x+1在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增x函数．

意图：进一步加强单调性的定义，特别是在作差变形时，只有化为两个因式之乘积，才容易判断其值的正负，这也是利用函数单调性定义证明的关键.(四)归纳总结，提升层次

问题10 函数单调性定义中关键因素是什么？利用函数单调性定义证明时，作差之后的变形需要注意什么？

意图 对函数单调性定义中的关键因素的进一步熟悉，同时再利用函数单调性定义证明时，作差变形是关键.培养学生自己的知识体系，从开始就能有一定的构建能力.(五)作业布置，不断强化

习题2—3 A组 2、4、5.B组1、2.五、教学设计反思

函数单调性是函数中最重要的性质，对于这节课的理解与掌握情况如何，将直接影响着对函数的进一步学习，同时，函数单调性又是学生第一次接触代数推理问题，所以，无论从哪个角度说，这节课都是非常关键，也非常重要的.基于以上考虑，为了让学生能够很好的理解本节课，采用问题发现式教学法，通过设计环环相扣的问题，让学生在分析问题、解决问题的过程中，对函数单调性定义及其关键要素的必要性的理解.如自变量的增大如何用数学符号表示，自变量增大引起函数值增大又如何用数学符号表示，对自变量取值为什么是“任意的”，单调性是相对区间而言的，等等，通过逐层深入的分析、讨论，让学生认识到知识的产生、发展过程，从而领会知识的实质.在练习巩固问题的设计上，先通过直观感知，让学生认识单调区间，在对其进行证明，特别是在利用函数单调性证明时，先是通过简单问题，让学生熟悉代数推理的思路，再逐渐增加试题难度，证明函数f(x)=x+1的单调性，主要是在单调性定义证明时，作差变形是x关键，只有化为因式之乘积，才容易判断其正负，这是对作差比较大小思路方法的复习，更重要的是体现数学解题方法的连贯性.