数论中埃米特恒等式证明

第一篇：数论中埃米特恒等式证明

数论中埃米特恒等式证明

证明下列命题：

（1）xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。

（2）若pxnnnn||n!,则p(n!)[][2][3]。ppp

（3）x为实数，n为正整数，求证：（埃米特恒等式）[x][x

证明：（1）因为[]12n1][x][x][nx]。nnnxxxx[]1，即[]nx([]1)n nnnn

x故xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。n

（2）由于p是质数，因此n!含p的方次数p(n!)一定是1,2,3，,n1,n各数中含p的方次数的总和。由（1）知1,2,3，,n1,n中有[]个p倍数，有[xnn

pn]个p2的倍数，┈，所以2p

nnnp(n!)[][2][3] ppp

n1n1][x]时，即{x}10n{x}1 nn

12n1所以[x][x][x][x]n[x]，而[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x] nnn（3）不妨设x0，①当[x故等式此时成立。n1kk1][x]1时，设k0,1,2,,n2，使得，[x][x],[x][x]1，nnn

k{x}1nk1nkn则{x}nk1n{x}nk[n{x}]nk1 k1nn1{x}2n

12n1所以[x][x][x][x](k1)[x](nk1)([x]1)n[x]nk1 nnn②当[x

[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x]nk1 故[x][x12n1][x][x][nx]。nnn

12n1][x][x][nx]成立。nnn综合①②得，x为正实数时，n为正整数，[x][x

同理可证得x0时，结论也成立；当x0时，结论显然成立。

综合上述得，x为实数时，n为正整数，[x][x12n1][x][x][nx]成立。nnn

第二篇：证明会计恒等式1[推荐]

证明会计恒等式“资产=负债+所有者

如：大华公司2010年12月资产总计为500W元，其中权益资金400W元，长期借款100W元

即：500W=100W+400W

左边=右边1、2010年12月1日，从银行提取现金10W元备用、分析：库存现金增加10W资产银行存款减少10W资产 500W+10W-10W=100W+400W

资产一增一减（金额相等），右边不变，不改变恒等2、2010年12月4日，从银行借入3个月需要归还的借款4W元，支付所欠恒大公司的货款。

分析：短期借款增加负债

应付账款减少负债

500W=100W+（4W-4W）

+400W

负债一增一减（金额相等），资产、所有者权益不变，不改变恒等3、2010年12月8日，企业为了扩大规模，将资本公积金70W元转增为企业资本

分析：资本公积减少所有者权益

实收资本增加所有者权益

所有者权益一增一减（金额相等），负债、资产不变，不改变恒等

500W=100W+400W+(70W-70W)

4、2010年12月12日。从银行借入2年期归还的借款100W元，购买设备一台。、分析：长期借款增加负债固定资产增加资产

500W+100W=（100W+100W）

+400W

等式两边同时增加，（所有者权益不变）不改变恒等5、2010年12月18日，收到虎台公司以现金投入的资本金80W元，存入银行

分析：实收资本增加所有者权益

银行存款增加资产 500W+80W=100W+400W+80W

等式两边同时增加，（负债不变）不改变恒等6、2010年12月20日，以银行存款2W元，归还企业所欠货款

分析：银行存款减少资产应付账款减少负债 500W-2W=100W-2W+400W

等式两边同时减少，（所有者权益不变）不改变恒等7、2010年12月22日，股东张三撤资，以银行存款支付其投资款60W元

分析：银行存款减少资产实收资本减少所有者权益

500W-60W=100W+400W-60W

等式两边同时减少，（负债不变）不改变恒等8、2010年12月24日，经与债权人协商同意，将所欠宏涛公司货款10W元，转增为企业实收资本

分析：应付账款减少负债实收资本增加所有者权益

500W=100W-10W+400W+10W

左边不变（资产），右边一增一减不改变恒等9、2010年12月29日，年终分红，计划将净利润30万元进行分配

分析：利润分配减少所有者权益

应付股利增加负债

500W=100W+30W+400W-30W

左边不变（资产），右边一增一减不改变恒等

第三篇：算两次在证明组合恒等式中的应用

“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用

mnm1.Cn，取走和剩下的一一对应； Cn

n

2.C

k0kn2n

122nn我们可令等式(1x)n1CnxCnxCnx中的x等于1，得到该式。

另外，我们可考察集合{b1,,bn}的子集的个数：

一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类：C

k0nkn；

另一方面，采取乘法原理，设其子集为S，我们逐一考察bi,i1,2,,n是否在S内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S确定，或者我没把子集看成一个排列，如

n；b11,0,0,,0。共2。0,0,,0

nn1

所以得证。

mmm1mm13.Cn，从{a,b1,,bn}取m个有Cn，一类不含a：1CnCn1种：一类含a：Cnm。Cn

mmm1推广①： An 1AnmAn

mm1m从{a,b1,,bn}取m个排成一排An，一类不含a：An。1：一类含a：mAn

n1nnnnn推广②：CnCCC

CCm1mnmn1mn2n1n

解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n个。从中选取n+1个小球，n1选法共：Cnm1种，n考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n个，即Cnm，若无黑1，则考虑是否有

n黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n个，即Cnm1，依次考虑下去，到考虑是否有黑

nm，若有，则在剩余n个小球取n个，即Cn1，若无黑m。则必有黑m+1，最后剩下的m

个白球全取。总共CmnCmn1Cmn2Cn1Cn。所以得证。nnnnn

rr1

本公式另一种表现形式：CrrCrr1Crr2Cn本公式也可从杨辉三角1Cn。

观察可得。还可考察等式(1x)(1x)

rr1

(1r)

n1

(1x)n(1x)x

两端

x

xr的系数相同。

推广③： C

rnm

krk

CmCnk0r

r

从{a1,am,b1,,bn}取r(rm)个元素Cn：从这n+m个元素中取k个a系，r-k个bm

r

系的方法CC

k

mrkn

种，k0,1,2,,r，所以C

rnm

krk

。（Vandermonde恒等式）CmCnk0

rrr1

特例，当m1时，即CnCC1nn。

n

当nmr时，CnkC2nn

k0

2n!。

（人教B选修2-3教材P35T17，此题

n!n!

n

还可以通过考察等式(1x)n(1x)n(1x)2n左右两边含x项的系数相等得到；同样考察(1x)n(1x)m(1x)nm左右两边含x项的系数相等得到Vandermonde恒等式）

1222n2n1推广④：(Cn)2(Cn)n(Cn)nC2n1。

r

r

证明：由C

r

nm

krkkk1，令rmn1结合kCnCmCnnCn1可得。k0

nC

n1

2n1

knk1

nCn1Cn

k0

n1

knk1

nCn1Cnk0n1

k1nk1(k1)CnCnk0n1

n1

(k1)C

k0n

k1

n



kC

k0

kn



得证。

解释：a系{a1,a2,,an}选一个作为主元素，从剩余的2n-1中再选n-1个；再有对于k=1，2,3„„，n从n个a系中选k个，再从中选一主元素，再从n个b系{b1,b2,,bn}中选n-k

knk

个（不做主元素），即kCn。Cn

另一种证明方法：

00nn因为：(1x)nCnCnxCnx，(1

1n001n1)CnCnCn两展开式右

xxxn

1222n2

(Cn)2(Cn)n(Cn)，而

边乘积中的常数项恰好等于

(1x)n(1

1n1n)n(1x)2n，(1x)2n中含xn的系数是C2

n。

xx

krk，当nm时，即是上式。kCmCn

k1m

推广：mC

r1

nm1

rr1

4.rCn（可直接用组合数公式证明）nCn1，r

解释：从n个元素中选出r个元素并把其中之一作为主元素rCn，另一方法，先从n个r1元素中选出一个主元素，再从剩余的n-1个元素中选取r-1个元素nCn1。123n用之可证明人教B版选修2-3P32T6：Cn2Cn3CnnCnn2n1。

0n1（证明一：倒序相加；证明二：从左往右结合2n1Cn1Cn1；证明三：122nn

x1）(1+x)n=C0nCnxCnxCnx两端求导并令123n

Cn2Cn3CnnCnn2n1的推广：

nmk0

mkmnmmnm时，Cn。CmCnk2

解释：考虑从n人中选出m名正式代表及若干名列席代表的选法（列席代表不限人数，可以为0）.m

一方面，先选定正式代表，有Cn种方法，然后从nm个人选列席代表，有2

nm

种方法，共有2

nm

m

种。Cn

另一方面，可以先选出mk人（k0,1,2,,nm），然后再从中选出m名正式代表，其余的k人为列席代表。对于每个k,这样的选法有Cn

mk

m

Cmk种，从而，总选法的种数为

nmk0

C

mknmCmk。从而得证。

rr1rmmrmrr1

另：rCn的推广：，m=1时即为nCnCCCCrCnC1nrnnmnn1。

第四篇：埃米莉面临的问题

埃米莉面临的问题：是否同意一个病房对六把未经机械评估委员会批准的Acme牌电动剃刀的采购申请（该医院之前已在第一病房使用过这种剃刀）

医院的采购制度：

1.采购物品须由运作部门的专门决策者提出采购申请，然后由医院采购部门进行统一合理采购

2.对于新产品的采购，首先要由采购部门进行初步审查，然后向器械评估委员会提出检测评估申请，对通过申请的新产品才能进行采购

剃刀的背景：

一次性剃刀：是多玛医院长期以来一直使用的剃刀，其优点是成本低且剃的干净

Acme牌电动剃刀：是该公司的销售代表绕过医院采购部门向医院工作人员推销产品，从而导致医院之前已经采购了十把这种剃刀。这种剃刀未通过医院器械评估委员会的审查，在医院不允许被采购。其采购成本高，可能被偷窃，有卫生问题，剃的不干净且使用时会断电（新产品有所改进，加了充电线）

采购背景：

1.多玛医院采购部门收到了关于采购六把Acme牌电动剃刀的采购申请，这种剃刀未通过医院器械评估委员会的审查，不允许被采购

2.之前由于Acme生产公司销售代表绕过采购部门推销产品的举动，导致医院已经采购了十把这种剃刀

3.是否采购这种剃刀直接关系到医院采购流程的完整性

第五篇：埃特贝乐详细介绍

商品图片、批号、介绍、包装情况、专柜价等所有信息仅供参考，商品以实物为准。化妆品的使用效果会因肤质、年龄、季节、气候、个人感觉、使用方法以及配套产品（不尽之处无法全部列举）等的不同而不同，因此，产品介绍的功能及使用效果仅供参考。本商城所售进口商品，均以中文标识的生产日期、限用日期为准。如果您属敏感肌肤选择护肤品，或对该商品细节有任何疑问，请在订购前咨询客服人员。

签收产品时，请您一定在配送人员在场时当面检查商品与送货单是否一致，若商品有破损，渗漏，缺少，配送有误等问题，请当即与本商城客服人员联系，在您签收后发现上述现象我们将不负责退换。

化妆品为宜破、宜碎的货品，所以请您在签收时，一定要仔细检查包裹纸箱的完整，若有纸箱有破损，请您立即和我联系，拒绝签收。纸箱若无损坏，还需要您打开纸箱检查货物，有些快递公司规定在打开包裹前，必须先签字，这种情况下，您可以先签字，但要当着快递员的面点清货物，如有短少，请您立即和我联系，快递员会为您作证。签收后的宝贝并无快递员作证，实在不好弄清楚真相，不予退还。若有货物损坏，请拒绝收取，向快递索赔。（请尽量由本人签收，实在要他人代签的，请您向代签人交代一定要当着快递面检查货物，若签收后并且无快递员作证的宝贝，一律视为本人认可货物签收，不予退换~！）对于有些产品是带有外包装盒的，请您要打开查看里面内容的完整性，若有

误差，请当快递员面联系我，事后不予退换。谢谢配合。关于保价：

若您购买很贵重的宝贝，建议您保价，保价请您向我提出，我会把保价费加入您的运费，若您不提出，说明您已经同意不保价，若造成遗失或者损坏，买家们要自行承担，（小店的利润实在不多，而且宝贝都不便宜），实在是负担不起，但我会积极的帮助您和快递交涉。通常在不保价的情况下，快递最高的赔偿额度是500元。我所给您包的邮费不含保价费。保价费：邮费10元+货物保价总值的3%

关于产品：

本店所有属于纯植物产品，每一个季节不同产品的颜色及味道都会有相应的变化，（比如说3221乳滴里面含有玫瑰的成分，玫瑰采摘的季节不同，当然产品出来的颜色肯定是有差别的，有的颜色看上去晶莹剔透，则有的颜色看上去暗淡无光。再说3123一直都有米黄色和米白色，）所以请各位MM不要以颜色、味道等等的问题来反复的问是否真假，介意者请绕行。

关于过敏：

任何产品都不是100%的免敏或者有效，心得和建议仅供参考，而且皮肤过敏问题原因本身很多：如天气、饮食等等，请理解我们不可能在此方面做出绝对承诺和保证，我们会根据您的皮肤和以往客户的口碑向您进行建议，但最重购买权由您自己决定，再次提醒：任何产品都不是100%的免敏，产品售出，已经开封使

用，不退不换。

1.本店产品均已加入销保享受七天无理由退换，如果七天内产品有质量问题免费退换货，邮费由本店承担。如果买家不喜欢产品型号及颜色七天内如无剪标商品完好也可退换货，邮费由买家承担。

2.买家拍下商品后请在24小时内付款，否则本店不保留买家所拍下的商品，将关闭交易。

3.买家拍下商品后，请确认所拍下的商品型号颜色规格尺寸和邮寄地址。如因填写错误，商品误发本店不负任何责任。

4.买家收到商品后，请先打开包装检查商品，销售凭据是否完好。

正确的签收货物方法：事先跟门卫保安家人等可能的签收人打好招呼，告诉其不要签收本人快递，签收时一定要尽量先验货后签名，如派件员不肯，可先签收再让快递员稍等几分钟当面检查货物。如发现产品缺少或者产品损坏，请直接拒收退件，并以最快速度联系本店客服说明情况。

如签收后再通知本店说货物和实际购买数量不对，产品损坏或者丢失，请恕本店无能为力，并不承担任何责任，特此声明。

5.因厂商会在没有任何提前通知的情况下更改产品包装产地或者一些附件。本店不能确保客户收到的货物与本店图片产地附件说明完全一致，只能确保商品均为原厂标准正品，请

您以实物为准。若本店没有及时更新，敬请谅解。

6.本店非常重视，非常珍惜亲的每一个评价，如果对本店的服务和物品有不满意的地方，请先和本店沟通，无故给予中评，并将不欢迎再来本店！

本店每天发货时间为下午五点，故每天下午四点后生成的订单将视为次日订单请您谅解。我们不能承诺具体到货时间，快递和邮局速度我们不能左右改变，请大家相互间理解包容！本店邮费全部实收如超重出的邮费请买家补拍，多收的邮费本店会退回。商品描述中的产品重量指产品的净重不包含包装重量，而发货是按包装后的重量。详细邮费请买家参照淘宝邮费查询。本店默认快递为中通和申通，如需其它快递请提前说明。

旺旺ID：mido1987

联系电话：***

QQ：100976217

营业时间：9：00~24：00周日休息