专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题[大全]

第一篇：专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题[大全]

专题：三角函数的化简及三角恒等式的证明问题

1.三角函数的化简问题：解题思路在于仔

细观察待化简式子的特点（根式、分式、或者可以化为分式的整式）通过去根典型题例——三角恒等式的证明

1.证明8coscos44cos23 2.已知sin是sin、cos的等差中

号、分子分母消去非特殊角三角函数值的方法，进行化简。

2.三角恒等式证明问题：证明三角恒等式的基本思路，是仔细观察等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简的原则，运用左右归

一、变更命题的方法，使等式两端异名化为同名（切割化弦、正余弦互化），异角化为同角（例如将倍角2、半角

、统一到下），异次化为同次（通过2倍角的余弦公式的逆用及变形用进行升降次）典型题例——化简

1.化简cos100cos100等

于：

A.2cos5

B.2sin5

C.2cos5

D.2sin5

2.化简2sin822cos8 3.若

3

2，化简

12112212

c2o s4.化简

sinsin1sin

1sin

（其中为锐角）

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项，sin是sin、cos的等比中项，求

证

：

c22c

(

)2oc

2s so

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第二篇：证明会计恒等式1[推荐]

证明会计恒等式“资产=负债+所有者

如：大华公司2010年12月资产总计为500W元，其中权益资金400W元，长期借款100W元

即：500W=100W+400W

左边=右边1、2010年12月1日，从银行提取现金10W元备用、分析：库存现金增加10W资产银行存款减少10W资产 500W+10W-10W=100W+400W

资产一增一减（金额相等），右边不变，不改变恒等2、2010年12月4日，从银行借入3个月需要归还的借款4W元，支付所欠恒大公司的货款。

分析：短期借款增加负债

应付账款减少负债

500W=100W+（4W-4W）

+400W

负债一增一减（金额相等），资产、所有者权益不变，不改变恒等3、2010年12月8日，企业为了扩大规模，将资本公积金70W元转增为企业资本

分析：资本公积减少所有者权益

实收资本增加所有者权益

所有者权益一增一减（金额相等），负债、资产不变，不改变恒等

500W=100W+400W+(70W-70W)

4、2010年12月12日。从银行借入2年期归还的借款100W元，购买设备一台。、分析：长期借款增加负债固定资产增加资产

500W+100W=（100W+100W）

+400W

等式两边同时增加，（所有者权益不变）不改变恒等5、2010年12月18日，收到虎台公司以现金投入的资本金80W元，存入银行

分析：实收资本增加所有者权益

银行存款增加资产 500W+80W=100W+400W+80W

等式两边同时增加，（负债不变）不改变恒等6、2010年12月20日，以银行存款2W元，归还企业所欠货款

分析：银行存款减少资产应付账款减少负债 500W-2W=100W-2W+400W

等式两边同时减少，（所有者权益不变）不改变恒等7、2010年12月22日，股东张三撤资，以银行存款支付其投资款60W元

分析：银行存款减少资产实收资本减少所有者权益

500W-60W=100W+400W-60W

等式两边同时减少，（负债不变）不改变恒等8、2010年12月24日，经与债权人协商同意，将所欠宏涛公司货款10W元，转增为企业实收资本

分析：应付账款减少负债实收资本增加所有者权益

500W=100W-10W+400W+10W

左边不变（资产），右边一增一减不改变恒等9、2010年12月29日，年终分红，计划将净利润30万元进行分配

分析：利润分配减少所有者权益

应付股利增加负债

500W=100W+30W+400W-30W

左边不变（资产），右边一增一减不改变恒等

第三篇：三角函数的求值、化简与证明(教案)

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.

第四篇：高一数学三角函数式的化简与证明

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一．课题：三角函数式的化简与证明

二．教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．

三．教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．

2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．

例1（1（2（3解：

1cos1cossin1cos)(1)（2）原式(sinsincossin

2cos1cos1(1)2cot(11)2csc．sincoscos

(2cos2

（3）原式2cossin)(sincos)

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2cos(cossin)(sincos)2cos(sin2cos2)cos(cos)

 2|cos||cos|22∵0，∴0，∴|cos|cos，2222

∴原式cos．



2(3cos4x)sin(2AB)sinB2cos(AB)；（2）． A

例3．证明：（1）tanxcot

x22，必定（B）（D）2(13．2cos21

2tan()sin2()44

五．课后作业：《高考A计划》考点28，智能训练7，8，9，11，12，14，15．

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第五篇：三角公式证明

公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负

.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ