2012.2.1(1.2化简与证明)（大全五篇）

第一篇：2012.2.1(1.2化简与证明)

高一三角函数（化简与证明）

选择题

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），则tanα的值是（）1

355125AB．C．D．±13125123、若是第二象限角，则tan11化简的结果是（）sin2

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α



6、若为二象限角，且cossin2sincos，那么是（）2222

2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

17、若tanx2, 则的值为（）sinx3cosxcosxsinxA．3B．5C．3D．

512tanx

8、函数fx值域中元素的个数是（）21cosxtanx12cosx

A．1个B．2个C．3个D．4个

填空题

1、化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β=．

2、化简

2sin40cos40sin40sin402=．

sinsin = －2 tanα，则角的取值范围是． 1sin1sin

79、已知是三角形的内角，且sincos，则tan 134、若

10、已知sin+cos=，那么角是第______象限的角.解答题

1、化简：tanα（cosα－sinα）＋

sin(sintan)． 1cos152、求证：12sincostan1． sin2cos2tan

14、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

5、已知sinsin21，求3cos2cos42sin1的值．

cossin

8、若tan，求值：①sin,cos； ② ； ③ 2sin2sincoscos2；cossin

④sincos。

11、已知x是锐角，求函数y(43sinx)(43cosx)的最小值。

m21解：y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx，令sinx+cosx=m则m∈（12]，并且有sinxcosx=,27947从而有y=(m)2，易得ymin=。2232

参考答案

一、选择题

BABBDCDD

二、填空题1、1；

2、-1；

3、1tan；

32k,kZ

4、2k2

2三、解答题

1、sin

2sin2cos22sincossincos

2、左边 2222sincossincos

sincostan1右边．sincostan

13、∵tancotsin2tancos2cot1sin2tan1cos2cot cos2tansin2cotcossinsincos2sincos ∴sin2tancos2cot2sincostancot．

4、∵cos2Bcos2sin2A，cos2Csin2sin2A，∴cos2Bcos2Ccos2sin2sin2A，即：1sin2B1sin2Csin2A，∴sin2Asin2Bsin2C2． 

第二篇：三角函数的求值、化简与证明(教案)

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.

第三篇：高一数学三角函数式的化简与证明

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一．课题：三角函数式的化简与证明

二．教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．

三．教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．

2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．

例1（1（2（3解：

1cos1cossin1cos)(1)（2）原式(sinsincossin

2cos1cos1(1)2cot(11)2csc．sincoscos

(2cos2

（3）原式2cossin)(sincos)

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2cos(cossin)(sincos)2cos(sin2cos2)cos(cos)

 2|cos||cos|22∵0，∴0，∴|cos|cos，2222

∴原式cos．



2(3cos4x)sin(2AB)sinB2cos(AB)；（2）． A

例3．证明：（1）tanxcot

x22，必定（B）（D）2(13．2cos21

2tan()sin2()44

五．课后作业：《高考A计划》考点28，智能训练7，8，9，11，12，14，15．

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第四篇：专题一三角函数的化简、及证明

三角函数专题

专题一三角函数的化简、求值及证明

一、知识网络建构

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1

⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S180弧度，1弧度(180)5718' 11lRR2。2

22．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P(x,y),设|OP|r 则：

sinyxy,cos,tan rrx

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

sinx5．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;tanx cosx

6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin； tan()tantan.1tantan

222

2②sin()sin()sinsin；cos()cos()cossin.③asin

bcos)(其中,辅助角所在象限由点(a,b)所在的象

限决定,tanb).a

27．二倍角公式：①sin22sincos.(sincos)12sincos1sin2

②cos2cossin2cos112sin（升幂公式）.2222

cos21cos21cos2（降幂公式）.,sin222

二、考纲要求及考试方向

1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

2、理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，理解同角三角函数的基本关系。3、能利用单位圆中的三角函数线推导出

4、两角和与差的三角函数公式

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

5．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)的正弦、余弦、正切的诱导公式

考试方向： 三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点.它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力．

三、基本概念检测

1、课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，25y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.52、（2010福建理数）计算sin43cos13-sin13cos43的值等于（）

3、若,(0,)，cos71,tan，求α+2β=.350

4、（2010全国卷1理数）(14)已知为第三象限的角，cos23,则

5π120，5、课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈且sinα＋cos2α＝，则tanα的值等于()246、（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知a1,cosx,b,sinx,x0,

（1）若//，求tan(2).413sinxcosx的值； sinxcosx

（2）若，求sinxcosx的值。

7、（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）．已知函数f(x)x3bx的图象在点

A(1,f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)3sin2xbcos2x的最大值是（）

ππ－，则α＋β＝()

8、已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，α，β∈2222A.B．－ 3

31212C.或－ D.π或 33330＜＜9（浙江理6）若1cos()-＜

＜0cos()

42，则2，243，cos(

2)

A．

B．

C．D．

10、（2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k,那么tan100

四、典型例题分析

例

1、（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）

在ABC中，ACcosB。ABcosC

（Ⅰ）证明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-

例

2、（2009湖南卷文）（每小题满分12分）1，求sin4B的值。33

已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).（Ⅰ）若a//b，求tan的值； （Ⅱ）若|a||b|,0,求的值。

例

3、(1)求值：

（2）、化简logcos40°＋sin50°1＋3tan10°1＋cos40°2sin 3π7π＋log2sin________． 88（3）、（2010上海文数）19.（本题满分1

2分）

已知0x

2，化简：

xlg(cosxtanx12sin2)x)]lg(1sin2x).22

例4 [2011·广东卷]

1π已知函数f(x)＝2sin3x－6，x∈R.(1)求f(0)的值；

ππ1060，f3α＋＝f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．(2)设α，β∈2132

5例5.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；



sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

例

6、在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）设

Tn，再令anlgTn,n≥1.{an}的通项公式； 求数列bntanantanan1,{bn}的前n项和Sn.五、反馈训练

1、（2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题： p1：xR, sin2p3: x0,

其中假命题的是 x12x+cos=p2: x,yR, sin(xy)sinxsiny 222sinxp4: sinxcosyxy

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p32、（2009上海卷文）函数f(x)2cosxsin2x的最小值是

3.（2010江苏卷）

10、定义在区间0,2

上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点2

为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为

4、课标文数5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()

5、（2009上海卷文）已知函数f(x)sinxtanx。项数为27的等差数列{a

n}满足

则当d0,若f(a1)f(a2)...f(a27)0，f(ak)0.。

6、（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧

连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不

在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则

cos

13cos2

33sin1

3sin23

3____________.7、（2010福建文数）16.观察下列等式：

① cos2a=2cosa-1;

② cos4a=8cosa-8cosa+ 1;

③ cos6a=32cosa-48cosa+ 18cosa-1;

④ cos8a=128cosa-256cosa+ 160cosa-32cosa+ 1;864264242

2⑤ cos10a= mcosa-1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa-1． 可以推测，m – n + p =． 108642

f(x)tan(2x),4

8、已知函数

（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期； 

（II）设0,4f()2cos2,，若2求的大小． 

11，9、已知0，为f(x)cos2x的最小正周期，atan，4

2cos2sin2()b(cos，2)，且abm．求的值． cossin

10、设  [0, 

2],且 cos2+2msin-2m-2<0 恒成立,求 m 的取值范围.3π41π，，tanβ＝－β∈π，求cos(α＋β)．(2)已知cosα＝－，α∈22

5311、[2010·四川文数](1)①证明两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； ②由Sα＋β推导两角和的正弦公式Sa＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.六、自我反思与总结

1、反思自己的问题：

2、存在的疑惑有哪些

第五篇：必修4第一章同步练习(六)：化简与证明

必修4第一章同步练习

（六）：化简与证明

一、选择题

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），则tanα的值是------------------------------（）1

355125AB．C．D．±13125122、化简

1tan1602的结果为（）

A．－cos160°B．cos160°C．±cos160°D．sin160°

3、若是第二象限角，则tan11化简的结果是-----------------------------（）2sin

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α

4、若sinsin2coscos210，则不可能是----------------------------（）

A．第一、第二、第三象限角B．第一、第二、第四象限角

C．第一、第三、第四象限角D．第二、第三、第四象限角

5、如果角满足sincos1，那么tan1的值是-------------------------（）tan

A．1B．0C．1D．不存在6、若为二象限角，且cos

2sin

22sincos，那么是----------------（）22

2D．第四象限角A．第一象限角B．第二象限角

7、若tanx2, 则

A．3C．第三象限角 1的值为：------------------------------（）sinx3cosxcosxsinxB．5C．3D．

58、函数fx

1cosxtanx

B．2个22tanx112cosx 值域中元素的个数是---------------（）A．1个C．3个D．4个

二、填空题

9、化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β

10、化简． 2sin40cos40

sin40sin402．

11、若是第四象限角，化简12tan=________________． cos2

12、若sinsin = －2 tanα，则角的取值范围是1sin1sin

三、解答题

13、化简：tanα（cosα－sinα）＋

14、求证：sin(sintan)． 1cos12sincostan1． 22sincostan

115、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

参考答案

一、选择题

BABBDCDD

二、填空题9、1；

10、-1；

11、1tan；

12、22k32k,kZ

2三、解答题

13、sin

sin2cos22sincossincos

14、左边 2222sincossincos2

15、sincostan1右边． sincostan1

∵cosBcossinA，cosCsinsinA，∴cos2Bcos2Ccos2sin2sin2A，即：1sinB1sinCsinA，∴sinAsinBsinC2．

222222222222