算两次在证明组合恒等式中的应用

第一篇：算两次在证明组合恒等式中的应用

“算两次”思想在证明组合恒等式中的应用

mnm1.Cn，取走和剩下的一一对应； Cn

n

2.C

k0kn2n

122nn我们可令等式(1x)n1CnxCnxCnx中的x等于1，得到该式。

另外，我们可考察集合{b1,,bn}的子集的个数：

一方面，采取加法原理，根据子集中元素个数分类：C

k0nkn；

另一方面，采取乘法原理，设其子集为S，我们逐一考察bi,i1,2,,n是否在S内，每个元素都有两种可能，考察完毕，子集S确定，或者我没把子集看成一个排列，如

n；b11,0,0,,0。共2。0,0,,0

nn1

所以得证。

mmm1mm13.Cn，从{a,b1,,bn}取m个有Cn，一类不含a：1CnCn1种：一类含a：Cnm。Cn

mmm1推广①： An 1AnmAn

mm1m从{a,b1,,bn}取m个排成一排An，一类不含a：An。1：一类含a：mAn

n1nnnnn推广②：CnCCC

CCm1mnmn1mn2n1n

解释：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1个，白球n个。从中选取n+1个小球，n1选法共：Cnm1种，n考虑另外一种算法：若有黑1则在剩余小球中选n个，即Cnm，若无黑1，则考虑是否有

n黑2，若有则从剩余n+m-1个小球中取n个，即Cnm1，依次考虑下去，到考虑是否有黑

nm，若有，则在剩余n个小球取n个，即Cn1，若无黑m。则必有黑m+1，最后剩下的m

个白球全取。总共CmnCmn1Cmn2Cn1Cn。所以得证。nnnnn

rr1

本公式另一种表现形式：CrrCrr1Crr2Cn本公式也可从杨辉三角1Cn。

观察可得。还可考察等式(1x)(1x)

rr1

(1r)

n1

(1x)n(1x)x

两端

x

xr的系数相同。

推广③： C

rnm

krk

CmCnk0r

r

从{a1,am,b1,,bn}取r(rm)个元素Cn：从这n+m个元素中取k个a系，r-k个bm

r

系的方法CC

k

mrkn

种，k0,1,2,,r，所以C

rnm

krk

。（Vandermonde恒等式）CmCnk0

rrr1

特例，当m1时，即CnCC1nn。

n

当nmr时，CnkC2nn

k0

2n!。

（人教B选修2-3教材P35T17，此题

n!n!

n

还可以通过考察等式(1x)n(1x)n(1x)2n左右两边含x项的系数相等得到；同样考察(1x)n(1x)m(1x)nm左右两边含x项的系数相等得到Vandermonde恒等式）

1222n2n1推广④：(Cn)2(Cn)n(Cn)nC2n1。

r

r

证明：由C

r

nm

krkkk1，令rmn1结合kCnCmCnnCn1可得。k0

nC

n1

2n1

knk1

nCn1Cn

k0

n1

knk1

nCn1Cnk0n1

k1nk1(k1)CnCnk0n1

n1

(k1)C

k0n

k1

n



kC

k0

kn



得证。

解释：a系{a1,a2,,an}选一个作为主元素，从剩余的2n-1中再选n-1个；再有对于k=1，2,3„„，n从n个a系中选k个，再从中选一主元素，再从n个b系{b1,b2,,bn}中选n-k

knk

个（不做主元素），即kCn。Cn

另一种证明方法：

00nn因为：(1x)nCnCnxCnx，(1

1n001n1)CnCnCn两展开式右

xxxn

1222n2

(Cn)2(Cn)n(Cn)，而

边乘积中的常数项恰好等于

(1x)n(1

1n1n)n(1x)2n，(1x)2n中含xn的系数是C2

n。

xx

krk，当nm时，即是上式。kCmCn

k1m

推广：mC

r1

nm1

rr1

4.rCn（可直接用组合数公式证明）nCn1，r

解释：从n个元素中选出r个元素并把其中之一作为主元素rCn，另一方法，先从n个r1元素中选出一个主元素，再从剩余的n-1个元素中选取r-1个元素nCn1。123n用之可证明人教B版选修2-3P32T6：Cn2Cn3CnnCnn2n1。

0n1（证明一：倒序相加；证明二：从左往右结合2n1Cn1Cn1；证明三：122nn

x1）(1+x)n=C0nCnxCnxCnx两端求导并令123n

Cn2Cn3CnnCnn2n1的推广：

nmk0

mkmnmmnm时，Cn。CmCnk2

解释：考虑从n人中选出m名正式代表及若干名列席代表的选法（列席代表不限人数，可以为0）.m

一方面，先选定正式代表，有Cn种方法，然后从nm个人选列席代表，有2

nm

种方法，共有2

nm

m

种。Cn

另一方面，可以先选出mk人（k0,1,2,,nm），然后再从中选出m名正式代表，其余的k人为列席代表。对于每个k,这样的选法有Cn

mk

m

Cmk种，从而，总选法的种数为

nmk0

C

mknmCmk。从而得证。

rr1rmmrmrr1

另：rCn的推广：，m=1时即为nCnCCCCrCnC1nrnnmnn1。

第二篇：数论中埃米特恒等式证明

数论中埃米特恒等式证明

证明下列命题：

（1）xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。

（2）若pxnnnn||n!,则p(n!)[][2][3]。ppp

（3）x为实数，n为正整数，求证：（埃米特恒等式）[x][x

证明：（1）因为[]12n1][x][x][nx]。nnnxxxx[]1，即[]nx([]1)n nnnn

x故xR,nN*，且1至x之间的整数中，有[]个是n的倍数。n

（2）由于p是质数，因此n!含p的方次数p(n!)一定是1,2,3，,n1,n各数中含p的方次数的总和。由（1）知1,2,3，,n1,n中有[]个p倍数，有[xnn

pn]个p2的倍数，┈，所以2p

nnnp(n!)[][2][3] ppp

n1n1][x]时，即{x}10n{x}1 nn

12n1所以[x][x][x][x]n[x]，而[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x] nnn（3）不妨设x0，①当[x故等式此时成立。n1kk1][x]1时，设k0,1,2,,n2，使得，[x][x],[x][x]1，nnn

k{x}1nk1nkn则{x}nk1n{x}nk[n{x}]nk1 k1nn1{x}2n

12n1所以[x][x][x][x](k1)[x](nk1)([x]1)n[x]nk1 nnn②当[x

[nx][n[x]n{x}]n[x][n{x}]n[x]nk1 故[x][x12n1][x][x][nx]。nnn

12n1][x][x][nx]成立。nnn综合①②得，x为正实数时，n为正整数，[x][x

同理可证得x0时，结论也成立；当x0时，结论显然成立。

综合上述得，x为实数时，n为正整数，[x][x12n1][x][x][nx]成立。nnn

第三篇：项目的组合管理在企业IT中的应用

项目的组合管理在企业IT中的应用 项目的组合管理在企业IT中的应用。IT能够驱动企业成功，但是也有很多失败的案例。企业在IT上的投资，主要以项目的形式进行，项目组合管理是企业IT投资管理的重要内容，有效的项目组合管理，能够提升企业IT的投入产出。

组合管理(Portfolio Management)源于金融投资管理。金融投资组合，帮助投资者在金融市场众多不确定性中，理性地、有目的地控制自己的投资行为，通过投资组合来规避市场风险，获得稳定有效的投资回报。正如大家常说的“不要把鸡蛋都放在一个篮子里”道理，组合管理的核心是价值管理，金融投资的投入和产出的价值度量非常直接，组合管理的价值计算方式明确。

借鉴金融投资组合管理的理念，企业在IT方面的投入，也可以通过有效的IT项目组合管理，获得稳定有效的回报。IT项目组合管理需要建立IT项目投入产出的价值度量方法和模型，例如IT项目可以通过项目涉及的成本、资源、财务价值、风险等来度量的，如果企业管理层有效地对这些因素进行评估，那么IT预算就能够据此分配到有最高回报的项目上去。

项目组合管理将企业的宏观的IT管控(IT Governance,亦称IT治理)与具体的IT项目管理紧密衔接起来。IT经理和分析家们认为，IT项目组合管理将帮助公司更好解决应用IT技术的问题。

项目组合管理向下强化项目管理

项目管理是IT项目的成功关键点，单个的项目管理是针对具体的项目进行管理，通过计划、执行和控制解决项目中的具体问题，属于战术层面，涉及企业的操作层面，目标是做好一个具体的项目。项目组合公司则是根据企业的战略目标，优先选择符合企业战略目标的项目，在企业的资金和资源能力范围有效执行项目。IT项目组合管理，属于战略层面，目的是要让IT项目的投资与业务发展相匹配，提升企业在IT方面的投入产出。

IT项目组合管理在企业内引进一个连贯统一的项目评估与选择机制，保证组织内所有项目的都经过风险和收益的分析、平衡。对项目的特性以及成本、资源、风险等项目要素(选择一项或多项因数)按照统一的计分评定标准进行优先级别评定，选择符合企业战略目标的项目。从风险和回报这个角度出发，它都要求每一个项目都有存在的价值。如果一个项目风险过大、或是回报太小，它就不能通过立项。“

IT项目组合管理是建立在对项目实施的有效监控基础上的。通过标准化企业的项目管理流程，实现项目实施过程的控制以及明确责任，提高项目管理的可见度。这可能是企业决

策者在以前的项目管理中碰到问题，对项目的管理只能依靠下层经理的的数据报告。实施组合管理后，决策层可以清楚地了解到组合内所有项目的状况，加强对项目的控制。

项目组合管理向上支持IT管控

有效的企业IT管控就是对企业IT应用的优先级别、管理过程和运行IT的人员进行整体优化。无论在执行战略项目还是日常运行中，以上三个方面有着密切的相互关联，对实现IT与业务目标紧密结合缺一不可。企业IT管控可以在降低日常运行费用的同时，更快速交付更多的战略性项目，增强企业的竞争力。

Gartner研究部主管Matt Light表示：”各IT组织已经开始转向集成程度更高的IT项目规划和控制应用领域，以及其他组合应用领域以支持IT管控功能，推动IT业的增长。“CIO制定执行IT管控的战略，把IT当作业务来运行(Run IT Like a Business)是企业CIO提升企业IT应用的方向。企业应用IT的过程由两部分组成：IT项目的建设和IT系统运营。IT项目组合管理优化企业IT项目的投资，IT服务管理提升IT系统运营的服务水平，是企业整个IT管控战略中的关键的组成部分。

项目组合管理软件

项目组合管理为IT管理者提供了一个工具，针对所建议的IT项目，分析所需要的资源，与预期的收益比较，同时发现并去除重复或者与业务优先级不匹配的项目。Gartner研究部主管Matt Light先生在项目管理组合管理的研究报告中指出：”由于客户希望着更好地进行IT组合管理，供应商们也正在行销集成程度不断提高的、适合IT程序和项目战略调整，并能控制应用组合管理成本的项目组合管理套件。“

企业要总体把握所有的项目，就需要对每个项目实时的风险、回报、进行状态、与其他项目之间关系有一个全局视图。在这样的核心思想的指导下，就产生了项目组合管理(Project Portfolio Management, 简称PPM)软件。以下是市场上领先的项目组合管理软件的简单介绍。

美科利(Mercury)公司的”IT管控中心“软件帮助企业实现IT对业务价值的最大化。其中项目组合管理把企业的IT应用方面的战略的、财务的、功能的和技术的审查和评估集成为一个的管控过程。让企业获得对IT项目组合的可视和控制：

对新的项目和正在执行的项目进行评估、确定优先级，进行平衡和批准执行

分析不同的”what-if“情景

确保与业务战略的一致性

优化IT资源的使用

IBM的项目组合管理的是要让IT项目的投资与业务发展相匹配，涉及到规划和管理单独的项目和项目产品组合，从而实现企业的目标。在项目产品组合生命周期过程中，”IBM Rational Portfolio Manager“能够让各个阶段实现自动化，从寻找机会到项目执行，再到项目结束，通过这些过程的自动化，最终实现您的业务战略。软件的功能特点如下：

让产品组合投资与业务目标相匹配;

获得实时可见性，从而快速做出英明决策;

利用内置模型和工作流来实现IT管理过程;

加强管理团队和交付团队之间的协作;

实施最佳实践并自动化产品组合过程;

对整个产品组合的风险、问题和财务状况进行监视和控制;

通过结合IBM应用程序生命周期管理工具，获得整个 IT和开发项目的全面视图。NIKU公司的”Clarity“企业项目组合管理系统使战略和战术相结合，即自上而下的项目组合规划和分析与自下而上的项目、项目群、财务和流程管理结合在一起，给企业的高管提供实时的企业投资、项目、资源的全景，并能够让管理者交付可控和可以预期的项目和项目群。

项目组合管理提供了结构化的方法，来构建项目组合的条件、盘点项目资产，编制项目计划和”what if“情景，并与主要干系人对战略性的决策进行沟通。

根据投资评估指标确定项目组合模型

对当前和所建议的投资组合进行评估

系统地收集和评估创意

提供分析和”what if“情景建立组合规划

沟通、执行和诊断

发展最佳实践来改进组合的绩效

企业IT项目组合管理的实施建议

一个好的IT项目组合管理工具能够告诉管理者，有多少项目正处于计划阶段;有多少项目已经在组织里运行，对资源的需求如何等等。项目组合管理的实施，不仅是预算和进度分析，而且赋予管理者洞察组织内项目与项目的关系，人员在项目中投入的精力如何能够得到

更好的利用，以及哪些项目不值得继续。IT项目组合管理聚焦企业的在IT应用方面的投入产出，增进了企业CIO与CFO的沟通和相互信任。但是专家指出，项目组合管理本身很专业，企业实施IT项目组合管理不仅仅是购买或开发软件的问题。

IT项目组合管理的实施的对象是IT相关部门，目标是把IT当作业务来运行，优化企业在IT上的投入产。其实施过程可以类比企业实施ERP系统，选择实施咨询服务是项目成功的关键。项目的实施周期一般需要三个月到半年，具体过程如下：

1.通过IT管控模型，诊断企业IT管控成熟度，确定IT管控的改进目标

2.企业高层确定企业IT项目组合管理的战略方向和实施目标

3.项目领导组选择恰当的项目组合管理软件、制定合理的实施计划、配置恰当的资源

4.执行并控制项目组合管理系统的实施，并完成项目

5.运行和维护项目组合管理系统

第四篇：导数在不等式证明中的应用

导数在不等式证明中的应用

引言

不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。

一、利用导数的定义证明不等式

定义 设函数ffx在点x0的某领域内有定义,若极限

fxfx0 存在 limxx0xx0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0 令 xx0x，yfx0xfx0，则上式可改写为

fx0xfx0ylimf'x0

x0xx0xlim所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比

y的极限。这个增量比称为函x数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数f'x0则为f在x0处关于x的变化率。

以下是导数的定义的两种等价形式：

1（1）f'x0limxx0fxfx0

xx0fxxfx0

x（2）f'x0limx0例1: 设fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，并且fxsinx，证明：r12r2nrn1

证明 fxr1sinxr2sin2xrnsinnx，可得出f00，因为 f'xr1cosx2r2cos2xnrncosnx, 则 f'0r12r2nrn 又由导数的定义可知

limx0fxf0fxfx limlimx0x0x0xxsinx1 xf'0limx0所以 f'01，即可得 r12r2nrn1.1221ylny，求证: y1,y2y2lny.232211分析 令hyy2y2lny，y(1,)，因为h10, 326例

2、已知函数fy要证当x1时，hx0,即hxh10,只需证明hy在(1,)上是增函数。证明 令hy22121yylny，则h'y2y2y，32y'2y3y21(y1)(2y2y1)因为 当y1时, hy0 ，yy所以hy在(1,)上是增函数，就有hyh11210,y3y2lny0，632 2 21即可得y1,y2y2lny.32注:证明方法为先找出x0，使得yf'x0恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。

二、利用微分中值定理证明不等式

证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商不等式，则可尝试利用中值公式

fbfaf'

bafbfafbfa或的bagbgafbfaf'或者 'gbgag并做适当的放缩到待证不等式中 1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 若函数满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点，使得

f'fbfa

ba例

3、证明对一切h1,h0成立不等式

hln1hh 1h证明 设fxln1x，则ln1hln1hln1当h0时，由01可推知

11h1h，h，01 1hhhh 1h1hhhh 1h1h当1h0时，由01可推得

11h1h0,从而得到所要证明的结论.注:利用拉格朗日中值定理的方法来证明不等式的关键是将所要证明的结论与已知条件归结为一个函数在某区间上的函数增量，然后利用中值定理转化为其导数的单调性等问题.2．使用柯西中值定理证明不等式 定理 设函数f和g满足(i)在[a,b]上都连续；(ii)在(a,b)内都可导；

(iii)f'x和g'x不同时为零；(iv)gagb，f'fbfa则存在(a,b)，使得' ggbga例

4、证明不等式

ln1yarctany(y0)1y分析 该不等式可化为

1yln1y1(y0)

arctany可设 fy1yln1y，gyarctany，fyf0注意到f0g00，故可考虑对使用柯西中值定理

gyg0证明 如上分析构造辅助函数fy和gy，则对任意y0，由柯西中值定理，存在(0,y)，使得

1yln1yfyf0f'1ln(1)

1arctanygyg0g'12[1ln(1)](12)1.4

三、利用函数的单调性证明不等式

证明思路 首先根据题设条件及所证不等式，构造适当的辅助函数fx，并确定区间[a,b]；然后利用导数确定fx在[a,b]上的单调性；最后根据fx的单调性导出所证的不等式.1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式

例5 证tany2siny3y，其中y[0,)

2分析 欲证f(y)f(a)(ayb)，只要证f(y)在[a,b]上单调递增，即证f'(y)0即可．

若f'(y)的符号不好直接判定，可借助于f''(y)，以至于f3(y)进一步判定.证明 令fytany2siny3y，则 f'ysec2y2cosy3，f''y2sinysec3y1

于是y[0,)时，f''y0，有f'y单调增加

2所以f'yf'00,有fy单调增加，可推得fyf00，即tany2siny3y.2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 例

6、已知b,cR,be，求证：bccb为(e自然对数的底)证明 设fxxlnbblnx(xbc)

b则 f'xlnb，就有 be，xb

xb因为 lnb1,1, x所以 f'x0，则f'x在(e,)上递增；

又因cb，所以fcfb，就有clnbblncblncblnc0 从而有clnbblnc，即bccb.注: 对于一些不易入手的不等式证明, 可以利用导数思想,先通过特征不等式构 造一个函数, 再判定其函数单调性来证明不等式成立,这就是利用函数的单调性证明不等式的思想。

构造辅助函数有以下几种方法: 1.用不等式的两边“求差”构造辅助函数；  2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数； 3.根据不等式两边结构构造“形似”辅助函数； 

4.如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.四、利用泰勒公式证明不等式

证题思路 若fx在(a,b)内具有(n+1)阶导数，x0(a,b)，则

fxfx0f'x0xx0

f''x02xx0 2!fnx0fn1nn1xx0xx0 n!n1!其中介于x0与x之间．

例

7、设fy在[0,1]上二阶可导，f010,且maxfy1，求证：存在y[0,1](0,1)，使得f''y8.证明 因fy在[0,1]上二阶可导，故在[0,1]上连续, 据最值定理，必c(0,1)使得fc为最大值，即fc=1，且有f'c0.而fy在y=1的一阶泰勒展式为

f''2 fyfcfcycxc，其中介于c与y间

2'分别在上式中令y0与y1得

f011''f1c20,1(0,c)，2 6

1''2f21c0,2(c,1).212故当c(0,]时，f''128，2cf1112当c(,1)时, f''28，221c所以存在(1或2)(0,1),使得f''y8.注: 用泰勒展式证明不等式的方法是将函数fx 在所给区间端点或一些特点(如区间的中点，零点)进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用,如当使用的不等式中含有积分号时,一般要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明;当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方便简捷。

五、利用函数的最值(极值)证明不等式

由连续函数在[a,b]上的性质,若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一定有最大、最小值，这就为我们求连续函数的最大,最小值提供了理论保证。

若函数f的最大(小)值点x0在区间(a,b)内,则x0必定是f的极大(小)点。又若f在x0可导,则x0还是一个稳定点。所以我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到f在[a,b]上的最大值与最小值。证明方法：先构造辅助函数，再求出fx在所设区间上的极值与最大、最小值，进而证明所求不等式。

例

8、已知: 0x1，证明当r1时，有

r1rrx1x1 r12证明 令fxxr1x，0x1，则f0f11

1，2111111则f()r(1)rrrr1

222222令fx0，求得x因为 f'xrxr1r1xr1，7 令 f'x0,求得驻点为x又因为当r1时，11, r121，2所以fx在[0,1]上的最小值为从而

1，最大值为1, 2r11rrx1x1，0x1，r>1.2r1例

9、证明：当y1时, ey证明 作辅助函数 1yfy1xey，则f'yyey,y0是fy在(,1)内的唯一驻点，且当y0时，f'(y)0 ；当0y1时，f'y0.故y0是fy的极大值点，f01是fy的极大值.因为当y由小变大时，fy由单调增变为单调减, 故f01同时也是fy的最大值, 所以，当y1时，fy1 , 即ey1.1y注:在对不等式的证明过程中，可以以不等式的特点为根据，以此来构造函数，从而运用导数来得出函数的最值，而此项作用也是导数的另一个功能，即可以被用作求函数的最值。例如，当此函数为最大或最小值的时候，不等式的成立都有效的，因此可以推出不等式是永远成立的，从而可以将证明不等式的问题转化到求函数最值的问题上来。

六、利用函数的凹凸性质证明不等式

证明思路 若f''x0(axb)，则函数yfx的图形为凹的，即对任意x1，x2(a,b)，有f(fx1fx2x1x2)，当且仅当x1x2时成立． 22 8 例

10、设r0，h0，证明rlnrhlnh(rh)ln成立．

分析 将欲证的不等式两边同除以2，变形为

rlnrhlnh(rh)rhln 222rh，且等号仅在rh 时2由上式看出，左边是函数fkklnk在r，h两点处的值的平均值，而右边是它在中点rh处的函数值．这时只需证f''k0即可． 2证明 构造辅助函数

fkklnk(k0)，那么就有：

f'k1lnk,f''k故由不等式:

10 成立.kfrfhrhf()

22rlnrhlnh(rh)rhln 222rh也即 rlnrhlnh(rh)ln

2可得

且等号仅在rh 时成立.例

11、已知: 0,0, 332，求证：2.证明 设fyy3,y(0,)，则 f'y3y2,f''y6y0 就有fyy3,y(0,)是凸函数

1，y1,y2，211)则f1y12y2f()f(222设12就有如下式子成立: f1y12y2f(2)1fy12fy211ff 22 9 而又因为有

83(2)3f(2)，ff33111 ff2222所以

83f(2)11ff1 成立 22故2.小结:通过对导数证明不等式的研究，我可以看出不等式的证明方法很多，但各种方法都不尽相同。我们要充分理解各种方法的应用原理，挖掘导数的各种性质。多做此类难题，不但有利于我们在学习和考试中轻松解决同类问题，更有利于培养我们的数学思维和推理论证能力。因而导数在不等式证明当中的应用很有研究价值。

第五篇：导数在不等式证明中的应用

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导数在不等式证明中的应用

作者：唐力 张欢

来源：《考试周刊》2013年第09期

摘要： 中学不等式证明，只能用原始的方法，很多证明需要较高技巧，且证明过程太难，应用高等数学中的导数方法来证明不等式，往往能使问题变得简单.关键词： 导数 拉格朗日中值定理 不等式证明

1.拉格朗日中值定理

定理1：如果函数y=f（x）满足：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有在一点ξ（a

F（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

由定理1，我们不难得到如下定理2.