2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1049三角函数的化简、求值与证明

第一篇：2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1049三角函数的化简、求值与证明

2012高考数学第一轮总复习100讲

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练

51、已知是第三象限角，且sin4cos4，那么sin2等于（）9A

B、C、D、 332、函数ysin2x2x的最小正周期（）A、2B、C、3D、4

3、tan70cos10201)等于（）

A、1B、2C、－1D、－

24m6(m4)，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿。

4、已知sin4m15、设0,sincos，则cos2＝＿＿＿＿＿。

2三、例题分析

12cos4x2cos2x.例

1、化简：

2tan(x)sin2(x)4

43177sin2x2sin2xx例

2、设cos(x),，求的值。451241tanx

sin(2)sin2cos().例

3、求证：sinsin



11例

4、已知sin()cos[sin(2)cos],0，求的值。2

2例

5、（05北京卷）已知tan=2，求

26sincos（I）tan()的值；（II）的值． 43sin2cos

例

6、（05全国卷Ⅲ）

已知函数f(x)2sin2xsin2x,x[0,2].求使f(x)为正值的x的集合.例

7、(05浙江卷)已知函数f(x)＝－sinx＋sinxcosx．

(Ⅰ)求f(225

1)的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f()＝－，求sin的值． 246

2四、作业同步练习g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

1

1、已知sin()，则cos()的值等于（）43

411 A

B、C、D、 33

2、已知tan、tan

是方程x240的两根，且、(,)，则等于（）2

2222 A、B、C、或D、或 33333

33cosxx3、化简(1sinx)[2tan()]为（）422cos2()

42A、sinxB、cosxC、tanxD、cotx

2sin2cos2

4、（全国卷Ⅲ）1cos2cos2

(A)tan(B)tan2(C)1(D)1

22sin(x),1x05、（山东卷）函数f(x)x1，若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为（）e,x0

（A）1（B）1,222（C）（D）1, 22

2sin3a13，则tan 2a =______________.sina56、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若

7、（北京卷）已知tan

4=2，则tanα，tan()3

42

8、已知tan()3，则sin22cos2的值为＿＿＿＿＿＿＿。

49、已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝＿＿.10、求证：

sin22sin2k()，试用k表示sincos的值。

11、已知1tan

4212、求值：

13、已知tantan，求(2cos2)(2cos2)的值。

3答案： 1sin12sin21tan1tan2.2基本训练、1、A2、B3、D4、[－1，7]

5、3128例题、例

1、cos2x例

2、例

3、略例4、27

52例

5、解：（I）∵ tan224;=2, ∴ tan14231tan

241tantan1tan1=所以tan()； 41tantan1tan17

432tan

46()146sincos6tan17（II）由(I), tanα=－, 所以==.433sin2cos3tan23()26

例

6、解：∵f(x)1cos2xsin2x„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

1x)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 4

f(x)02sinx

4)s0in(x24)„„„„6分 2

42k2x

452k„„„„„„„„„„8分

43k„„„„„„„„„„„„„„„„10分 4

37又x[0,2].∴x(0,)(,)„„„„„„„„„12分 44

例

7、解：(Ⅰ)sin251,cos25

f(25)225sin25cos250 kx6266666(Ⅱ)f(x)12x

sin2x

211f()sin22416sin24sin110解得sin

15 813 8(0,)sin0sina

作业、1—

5、DBBBB6、13、34317、-

8、9、

10、略1

112、 5742

第二篇：2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1039_不等式证明方法(二)

2012高考数学第一轮总复习100讲 g3.1039 不等式证明方法

（二）一、知识回顾

1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；

2、放缩法：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得，常用的放缩方式： BB1,B1B2...A（或AA1,A1A2...B）舍去或加上一些项；

12nnn1；12nn1n；111

1;n2n(n1)n2n(n1)

3、换元法：三角换元、代数换元；

4、判别式法

二、基本训练：

1、实数a、b、c不全为零的条件为（）

A)a、b、c全不为零

B)a、b、c中至多只有一个为零 C)a、b、c只有一个为零

D)a、b、c中至少有一个不为零

2、已知a、b、c、dR，sabcd，则有（）

abcabdcdacdbA)0sB)1s2

C)2s

3D)3s4

3、为已知x2y24，则2x3y的取值范围是________。

4、设x0、y0，Axyxy,B，则A、B大小关系为________。

1xy1x1y5、实数xxy，则x的取值范围是________。y13

3三、例题分析：

例

1、x＞0，y＞0，求证：xy(xy)

例

2、函数f(x)1x2(ab)，求证：|f(a)f(b)||ab|

例

3、已知:a2b21,x2y21,求证:1axby1（三角换元法）

2232012高考数学第一轮总复习100讲

例

4、求证：1

例

5、若a,b,c都是小于1的正数，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可能同时大于

例

6、求证：1

例

7、设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR且a0)，若函数yf(x)的图象与直线yx和yx均无公共点。x11（判别式法）

x2x131.4（反证法）

1112(nN)（放缩法）2232n2（1）求证：4acb21

（2）求证：对于一切实数x恒有|ax2bxc|

四、课堂小结：

1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.4|a|2012高考数学第一轮总复习100讲

五、同步练习g3.1039 不等式证明方法

（二）1、若x2xyy21且x、yR，则nx2y2的取值范围是（）

A)0n

1B)2nC)nD)2n2 32、已知a、bR，则下列各式中成立的是（）

A)acosbsin22ab

B)acosbsin22ab

C)cos2lgasin2lgblg(ab)

D)cos2lgasin2lgblga(b)

3、设,y∈R,且x2+y2=4,则A)2-

24、若f(n)=

2xy的最大值为（）

xy2B)2+2 C)-2 D)4 3n21-n,g(n)=n-n21,φ(n)=

1,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为2n____________.5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.6、a、b、c∈R-，a≠b，求证：|ab|a2abb2a2b

2111 abbcac（提示：换元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）

111112221

8、若nN，且n2，求证：2n123n7、a＞b＞c，求证：

2012高考数学第一轮总复习100讲

9、已知f(x)x2pxq，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于

10、已知i、m、n是整数且1imn，试证明：

ii（1）niAm； miAn1。2（2）(1m)n(1n)m.答案：DCB

4、g(n)>ф(n)> f(n)

5、③

第三篇：三角函数的求值、化简与证明(教案)

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.

第四篇：2012年高考数学第一轮复习讲与练(59)

2010年高考数学第一轮复习讲与练（59）

直接证明与间接证明

知识要点 1．直接证明

（1）综合法：从题设的出发，运用一系列有关作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由

到.（2）分析法：分析法的推理方向是由到，论证中步步寻求使其成立的，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为，分析法的证题步骤用符号表示为.2．间接证明

（1）反证法的解题步骤：――推演过程中引出矛盾――。

（2）反证法的理论依据是：原命题为真，则它的为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的成立。

（3）一般情况下，有如下几种情况的证题常常采用反证法

第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立； 第二，命题是以否定命题的形式叙述的； 第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；

第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的。典型例题

题型一：直接证明的应用

【1】在ABC中，已知(a2

b2)sin(AB)(a2

b2)sin(AB)，求证：ABC为等腰三角形或直角三角形。

【2】已知数列{an}中sn是它的前n项和，并且sn14an2，a11（1）设bnan12an，求证{bn}是等差数列；（2）设cnan

n，求证{cn}是等比数列;（3）求{an}的通项公式及前n项和。

题型二：间接证明的应用 【3】（1）用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是（）

A、假设三内角都不大于60度；B、假设三内角都大于60度；

C、假设三内角至多有一个大于60度；D、假设三内角至多有两个大于60度。（2）已知：a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a中至少有一个不大于

课后作业

1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为

2.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定是。3.若两平行直线a,b之一与平面M相交，则另一条也与平面M相交。

4.分别用综合法和分析法证明：已知a>0,b>0，求证：abb



a

ab

5.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．（１）求证：{Sn}不是等比数列；（２）数列{Sn}能是等差数列吗？

第五篇：2012年高考数学第一轮复习讲与练(like4)

2010年高考数学第一轮复习讲与练(理科4)

数 学 归 纳 法 知识要点

1.用数学归纳法证题的两个步骤的作用：步骤一是要作为起始值进行验证，步骤二推证当成立时，必须要用到当时命题成立这个归纳假设，否则推理无法进行或无效。题型四：用数学归纳法证明整除问题

【4】是否存在正整数m，使f(n)(2n7)3n9对任意自然数n，都能被m整除。若存在，求出满足题意的最大的m，并证明；不存在，说明理由。

完成的以上两个步骤，最后应完整地写出结论。

2.数学归纳法的功能：用来证明

例题解析

题型一：用数学归纳法证明等式问题 【1】（1）利用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1),nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是

（2）证明(122232)(342452).....[(2n1)(2n)22n(2n1)2]n(n1)(4n3)

题型二：用数学归纳法证明不等式问题 【2】（1）用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn2”，则验证不等式所取的第一个值为；（2）用数学归纳法证明：1

112314

12n

1

n；

题型三：用数学归纳法证明几何问题

【3】设有n个平面过一点，且其中任意三个或三个以上的平面不共直线，证明由这些平面把空间分成n2

n2个部分

课后作业

1、用数学归纳法证明1aa2

an1



1a

n1a

(a1,nN)，n1时，等式左边的项是

2、用数学归纳法证明1

112



1*

2n

1n(nN,n1)时，第一步应验证不等式

3、利用数学归纳法证明不等式111213

2n

1

f(n)(n2,nN*)的过程，由nk到

nk1时，左边增加了个项数

4、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立.现已知当n7时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立

C．当n=8时该命题不成立

D．当n=8时该命题成立

5、平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交与同一点，用数学归纳法证明则这n个圆将平面分成n2

n2个部分。

6、用数学归纳法证明：1-112314......

12n1

12n

=

1n1



1n2

......

12n