2014年中考数学第一轮复习专题训练十七图形与证明【含答案】

第一篇：2014年中考数学第一轮复习专题训练十七图形与证明【含答案】

学…校…：…＿…＿…＿…＿…＿…＿…班…级密：…＿…＿…＿…＿…＿…姓…名…：封＿…＿…＿…＿…＿…＿…座…号…：装＿…＿…＿…＿ …

…………订………………… 2014年中考数学第一轮复习专题训练(十七)（图形与证明）

一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、命题“互余的两个角一定是锐角”是＿＿＿＿命题（填“真”或“假”）。２、命题：“相等的角是对顶角”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿。３、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。４、用反证法证明：“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，则∠C＝＿＿＿＿。６、等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，则其周长为＿＿＿＿。1 2D ７、如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，且∠1＝50°，则∠B＝＿＿＿＿。８、在 □ ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，则∠B＝＿＿＿＿。B ９、矩形的面积为 48cm2，其中一边长为 6cm，则对角线长为＿＿＿＿。

10、梯形中位线长 10，一对角线把它分成 2∶3，则梯形较长的底边为 ＿＿＿＿。120α

11、如图，已知AB∥CD，则∠α＝＿＿＿＿。E

12、如图，已知∠1＝∠2，若再加一个条件就能使结论“AB·DE＝ 25° D FE·BC”成立，则这个条件可以是＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）2 E １、若 ∠1 和 ∠2 是同旁内角，是 ∠1＝30°，则 ∠2 为（）C D A、30° B、150° C、30°或 150° D、无法确定 ２、下列命题中，是其命题的有（）A、两锐角之和是锐角 B、钝角减去锐角得锐角 C、钝角大于它的补角 D、锐角小于它的余角 ３、下列判断正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形 B、四边都相等的四边形是正方形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分的四边形是平行四边形 ４、直角三角形中，两条直角边长分别是 5 和 12，则斜边上的中线长是（）A、26 B、6.5 C、8.5 D、13 ５、一个菱形的两条对角线长分别是 6cm、8cm，则它的面积是（）A、48cm2 B、38cm2 C、24cm2 D、12cm2 ６、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8cm，则它的高为（）A、4cm B、8C、4D、8cm

三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、已知：AB∥CD，∠A＝∠1，∠C＝100°，求：∠2的度数。C1 2B 九年级数学17－1（共4页）５、在△

２、如图，已知：EF平分∠BEG，GF平分∠EGD，且EF⊥FG

求证：AB∥CD。

G

３、已知：AB∥CD，BF∥ED，是AE＝CF，求证：△ABF≌△CDE。

B F

D

４、求证：在一个三角形中，至多有两个内角大于 60°。

５、已知：□ ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求证：AF＝CE。

D ┘

E C

６、在矩形ABCD中，F是DC边上一点，且AB＝AF，BE⊥AF于E。

求证：BE＝AD。C

B

九年级数学17－2（共4页）

四、（10分）如图，DE是 □ ABCD 的∠ADC 的平分线，EF∥AD，交DC于F，求证：四边形AEFD是菱形。

五、（12分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，① 若AD＝5，BC＝11，梯形的高是 4，求梯形的周长。② 若AD＝3，BC＝7，BD＝5AC⊥BD。

C

六、（12分）已知：□ ABCD中，E是对角线AC上一点。

① 在AC 上找出一点 F，当满足条件＿＿＿＿时，△ABE≌△CDF② 请加以证明。

C

九年级数学17－3（共4页）

答案 ：

（十七）一、1、真

2、两个角相等 这两个角是对顶角

3、两个角相等的三角形是等腰三角形

4、两个锐角之和不等于90°5、90°6、170cm7、50°8、80°9、10cm10、1211、85°

12、∠A＝∠F

二、1、D2、C3、D4、B5、C6、D1、三、∵∠A＝∠1∴AB∥EF又∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠2＋∠C＝180°∴∠2＝80°

2、略

3、∵AB∥CD∴∠A＝∠C∵BF∥ED∴∠BFA＝∠DEC又∵AF＝CE∴△ABF≌△CDE4、已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中至多有两个角大于60° 证明：设∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则：∠A＋∠B＋∠C＞180°与内角和定理矛盾∴假设错误∴至多有两个角大于60°

5、证：△ABE≌△CDF可得：BE＝DF∴AF＝CE6、证△ADF≌△BEA可得：BE＝AD

四、共证 □ ADFE，再证AD＝AE

11－

5五、解：①作AE⊥BC，DF⊥BC，则BE＝CF＝＝3又∵AE＝4∴AB＝5∴周长＝26

②过D作DH∥AC交BC的延长线于H，则：在△BDH中，BD＝5DH＝AC－5BH＝7＋3＝10

由勾股定理逆定理可得AC⊥BD。

六、略

九年级数学17－4（共4页）

第二篇：中考数学专题复习----图形与证明复习题

图形与证明复习题（3）

一、基础练习

1、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

2、一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积为()

A.48cm2B.24cm2C.12cm2D.18cm23、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为()

A.4cm

C.8cm4、如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线

EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（）

A．9B．10.5C．12D．1

5５、已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为角线的长为__________．

６、如图，有一底角为350的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则

四边形中，最大角的度数是__________.二、例题精讲

例１、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

（1）求证：BEDG；

（2）若B60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论． D

B C E F

例２、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AC6．过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求△BDE的周长；

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q． 求证：BPDQ．

F C C E

例３、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.△PMN的形状是否发生改变？若不变，①当点N在线段AD上时（如图2），求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.D D D

FF F B

图

1CB

M C B

图

2D F C

（备用）

B

（备用）M 图

3D F C C

B

第一章图形与证明复习题（4）

1、已知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较长的对角线是_____cm.2、若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段, 这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是()

A.3, 4.5B.6, 9C.12, 18D.2，33、如图6所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于

APDF,则PE+PF的值为()A.1251

3B.2C.D.52

5C4、四边形ABCD的对角线交于O点，能判定四边形是正方形的条件是（B）A、AC=BD，AB=CD，AB∥CDB、AD∥BC，∠A=∠C

C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC5、若菱形的周长为16cm，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（）

A、3 cmB、83 cmC、163 cmD、203 cm6、如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．

7、矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为单位．

8、已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为则另一条对角线的长为

9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4,E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,求EF的长.10、如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，求△ADE的面积。





E

A

B11、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 ．能拼成一个矩形（非正方形）． ．．．．．

（1）画出拼成的矩形的简图；

x

（2）求的值．

y

x

y12、若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，BM，AMB90°，则点M为直角点．（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；

（2）若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB

上的直角点，且AB4，BC求MN的长．

第三篇：2012中考第一轮复习·语文综合实践活动(十七)

2012中考第一轮复习·语文综合实践活动（十七）

语文综合实践活动

（二）（本试卷总分60分，测试时间：45分钟）

姓名班级学号得分（2010·云南昆明）

一、在精彩的语文世界里漫步，你的收获一定不少。现在，请你来参加“语文伴我成长”的综合实践活动，尽情地展示你的语文能力吧！（10分）

1．在视听活动中，小名声情并茂地朗读了两个语段，并提出两个问题。请你回答。（选自《水浒传》）

【语段二】包莉姨妈吃惊地站了一会儿，然后轻轻地笑出声来：“这该死小子，我怎么老是上他的当？他跟我玩这把戏也不是头一遭了，可我还是提防不住。„„天哪！他的鬼把戏从来就不重样，谁能摸得清他的鬼主意呢？„„我这个外甥啊，我那早死妹妹的儿呀，我怎么能狠得下心来抓他呢。”（选自《汤姆·索亚历险记》）问题一：听了【语段一】，请结合原著，说说鲁提辖准备去做哪两件事。（要求：对每件事的概括不超过10个字）（2分）问题二：听了【语段二】，请说说你从包莉姨妈的话中了解到汤姆哪些性格特点。（2分）

2．在互批作文活动中，小玲作文《感谢您，老师》的结尾被小刚修改了两处。请你认真比较原稿和修改稿，说说小刚作了哪两处修改。他为什么要在这两处进行修改？（2分）

【原稿】敬爱的老师，您默默奉献却不图回报。在前进的路上，您做过我们的铺路石；您扶我们登高看风景；我们持之以恒，坚定地朝着一个目标而努力；您为我们些许的成功而高兴。敬爱的老师，您把智慧给了我们，把母亲般的爱给了我们。请相信，我们一定不辜负您的期望，一定成为将来祖国的栋梁。让我们深情地对您说一声：“谢谢！”

【修改稿】敬爱的老师，您默默奉献却不图回报。在前进的路上，您做过我们的铺路石；您扶我们登高看风景；您为我们些许的成功而高兴。

敬爱的老师，您把智慧给了我们，把母亲般的爱给了我们。请相信，我们一定不辜负您的期望，将来一定成为祖国的栋梁。让我们深情地对您说一声：“谢谢！”

3．在阅读方法交流活动中，小朵向同学们介绍了三位名人的阅读方法，请你选择其中的一种方法进行评价。（4分）

【莫言“耳朵”阅读法】作家莫言从小就喜欢听村里的老人讲故事，他还经常去听充满浓郁生活气息的民间戏曲，还仔细聆听大自然的声音，诸如植物生长、动物名叫„„

【华罗庚“默想”阅读法】数学家华罗庚拿到一篇数学论文时，往往先看题目，然后默想自己来写这篇文章，应该先写什么，再写什么，最后怎样收尾，想清楚后再读文章。当看到文章的内容和自己的想法一致时，每每发出会心的微笑，然后浏览而过；当看到新颖的见解时，便细细阅读。

【毛泽东“四多”阅读法】伟人毛泽东读书主张“四多”——多读、多写、多想、多问。多读指读书的面要广，重要的书要多读几遍；多写就是摘抄妙语佳句，圈点眉批，写读书笔记；多想即反复思考书本知识在生活中如何应用；多问就是有了问题就要问。【语段一】鲁提辖问道：“你怕甚么？在那个客店里歇？那个镇关西郑大官人在那里住？”

（2010·中考改题）

二、语文综合运用（10分）

旱情告急！灾情告急！炽热的骄阳舔舐着美丽红河的每一寸土地。全国人民用爱心凝聚

了一份救助的力量，华夏儿女用坚强筑起了一道坚固的长城。危难彰显人格，患难最见真情。抗旱救灾，带给我们很多的感动、思考和希望„„

⑴一位男孩怯生生地向前来采访的记者要了半瓶矿泉水，男孩一口没喝先递给旁边3岁的妹

妹；一位女孩把学校里老师发的矿泉水留下来给父母喝。天灾肆虐人间之时，印证人性的光

辉！请你就此发表一句感言。（2分）⑵面对一幕幕干涸的景象，一双双期盼的眼睛，平时不起眼的一滴水，此时蕴含的是一个生

命，一份希望，一种寄托。针对“关爱生命，节约用水”这个主题，请拟写一条标语。（至

少使用一种修辞手法）（4分）⑶多难兴邦！玉树地震、云南旱灾、南方涝灾、舟曲特大泥石流„„灾难让我们失去很多，也收获很多。请用“坚强、团结、智慧”三个词串联成一段话，讴歌在抗击自然灾难中表现

出来的民族精神。（50字以内）（4分）（2010·天津）

三、综合性学习（8分）

在“我所了解的孔子和孟子”综合性学习活动中，同学们搜集到相关的材料。请你按要求完

成后面的问题。

1.下面是《孟子》中关于治国的语录，阅读后用一个词语概括孟子的治国思想。（2分）

【材料一】得道者多助，失道者寡助。

译文：能施行仁政的君主，支持他的人就多；不施行仁政的君主，支持他的人就少。

【材料二】国君好仁，天下无敌焉。

译文：一国的君主如果喜爱仁德，整个天下便不会有敌手。

【材料三】君仁，莫不仁；君义，莫不义；君正，莫不正。

译文：君主仁，没有人不仁；君主义，没有人不义；君主正，没有人不正。

孟子的治国思想：

2.请从下面的材料中任选一句孔子的名言，说说它体现了怎样的中华传统美德，具有怎样的现实意义。（6分）

北京奥运会开幕式上，2008名演员击缶而歌“有朋自远方来，不亦乐乎”；在古琴声中，身穿古袍，手持竹简的孔门弟子，齐声诵读“三人行，必有我师焉”“礼之用，和为贵”等

儒家经典名句，在全世界面前展现了辉煌灿烂的中华文明。

我选择的名言：

传统美德：

现实意义：

（2010·荆州）

四、综合性学习（14分）

荆州是驰名于世的三国鏖兵之地，有着深厚的三国文化积淀。下面以“说不尽的三国风

云”为主题开展综合性学习。

1.吟三国华章。阅读下面语段，按编号填写诗文。（8分）

昔魏武吟鞭：“日月之行，若出其中；①，”，其志宏阔如宇；武

侯临表：“受任于败军之际，②”，其情沛然如注；孙权劝学，蒙曰：“③，即更刮目相待”，其事芳流千古。太守出猎，狂书“④，亲射虎，看孙郎”，托古以言志；英雄梦回，忽作“马作的卢飞快，⑤”，用典以抒怀；书生论史，偏说“⑥，铜雀春深锁二乔”，借题以讽今。诗仙饯别，且吟“⑦，中间小谢又清发”，激赏建安文风；稼轩登临，笑谈“天下英雄谁敌手？曹刘。⑧”，总论三国人物。滚滚长江东逝水，三国多少事，都在诗文中！

2.（2分）说三国俗语。三国人物和故事早已融入我们的生活，形成了众多的口头俗语，如“说曹操，曹操到。”“周瑜打黄盖—个愿打，一个愿挨。”你能再说出一个吗？

3.（4分）品三国人物。在荆州这个群雄角逐的大舞台上，各路豪杰俊秀充分展现了他们的文韬武略、胆识才智和思想品格，一个个鲜活的面容深深铭刻在我们的脑海中。现在荆州举办“三国文化节”，要选择一位三国人物作为“形象大使”，你认为选谁最合适？说出你的理由。（30字左右）（2010·福建龙岩）

五、某校准备进行一次综合实践活动的汇报展览。主题是：今天你“低碳”了吗？（12分）

【活动背景】哥本哈根世界气候大会，被冠以“有史以来最重要的会议”、“改变地球命运的会议”等各种重量级头衔。这次会议让很多人对人类当前的生产和生活方式开始了深刻的反思：追求健康生活，不仅要“低脂”、“低盐”、“低糖”，也要“低碳”！低碳生活是指生活作息时所耗用的能量要尽力减少，从而减低二氧化碳的排放量。

【成果展示】成果展示分为三大板块。

（1）第一板块：引领潮流的名词：“低碳”。请用简洁的语言介绍什么是“低碳”。（2分）

（2）第二板块：人类的悲剧：大自然的报复。请描述一个人类遭受自然界无情报复的画面。（4分）

（3）第三板块：冷静而理智的行动：“低碳生活”。请写出两个“低碳生活”的良好生活习惯。（4分）（2010·陕西）

六、请参加“我来说生肖”为题的综合性学习活动。

【活动一：亮生肖】请写出你的生肖或你喜欢的一种生肖，并在下列诗句找出与其对应的诗

句，写在横线上。（2分）

十二生肖诗

鼷鼠饮河河不干，牛女长年相见难。

赤手南山缚猛虎，月中取兔天漫漫。

骊龙有珠常不睡，画蛇添足适为累。

老马何曾有角生，羝羊触藩徒忿嚏。

莫笑楚人冠沐猴，祝鸡空自老林邱。

舞阳屠狗沛中市，平津放豕海东头。

——胡俨

答案实例： 生肖鼠诗句

生肖诗句

【活动二：连接生肖 】请你写出与你的生肖有关的一个成语、俗语或歇后语。（2分）

【活动三：妙解生肖 】十二生肖在传统的文化中都有一定的寓意，并有固定的搭配，这反映了中国人对人生的认识。请你选择你的生肖所在一组搭配，仿照示例阐述。（2分）备选组：a.鼠和牛b.虎和兔c.龙和蛇d.马和羊 e猴和鸡f.狗和猪

示例：龙和蛇 龙代表刚猛，蛇代表柔韧。刚猛柔韧一定要紧密的结合在一起。如果只有刚，不柔韧，那就变成了暴戾；而只是柔韧不刚猛，那就变成了软弱。

【活动四：推荐生肖 】请写一段话借文学作品或影视作品中的动物形象推荐你的生肖。（2分）

第四篇：中考第一轮复习：简单的几何证明(四边形)

2012年初三数学中考备考复习资料

5几何证明（四边形2）专题

学校：___________姓名：______________评价：_________________ 【知识归纳】

观察下图，回答下列问题

直角梯形

菱形

思考1——特殊四边形性质的角度

1、对角线互相平分的特殊四边形有______________________________________________

2、对角线相等特殊四边形的有__________________________________________________

3、对角线互相垂直的特殊四边形有______________________________________________

【巩固训练】

1、如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：△ABF≌△DCE；

A

D

B E F C/

42、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

3、如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合），G，F，H

分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明四边形EGFH是平行四边形；

（2）在（1）的条件下，若EFBC，且EF1BC，证明平行四边形EGFH 是正方形．

B

E

H

D

F4、已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.求梯形两腰AB、CD的长.2 /

4B

C

【基础检测】

一、选择题（每小题5分，共25分）

1、下列事件中是必然事件的是（）A.打开电视机，正在播广告.B.从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球.C.从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上.D.今年10月1日，厦门市的天气一定是晴天.2、如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝（）343

4D.55433、“比a的1的数”用代数式表示是（）

53＋1B.a＋1C.aD.－

123224、已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（）ADAEAEAD

B.＝

ABACBCBDDEAEDEAD

C.＝D.＝

BCABBCAB5、已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是（）A.6B.2 m－8C.2 mD.－2 m

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

6、－3的相反数是.7、分解因式：5x＋5y＝.8、如图3，已知：DE∥BC，∠ABC＝50°,则∠ADE＝度.9、2÷2＝.10、某班有49位学生，其中有23位女生.在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀.如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条，那么抽到写有女生名字纸条的概率是.11、如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则OD＝厘米.12、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大.1113、一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：图

4B

图

1C

ADB

EC

图

3uv

f

若f＝6厘米，v＝8厘米，则物距u＝厘米.14、已知函数y－3x－1－2，则x的取值范围是.若x是整数，则此函数的最小值是./

415、已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A（），B1(，).1，三、解答题

16、先化简，再求值：1212x1，其中x

1x1x1x2x

17、我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．15

(1)判断直线y＝＋与正方形OABC是否相交，并说明理由；

(2)设d是点O到直线y3x＋b的距离，若直线y3x＋b与正方形OABC相交，求

d的取值范围．/ 4

第五篇：高考第一轮复习数学：不等式的证明

不等式的证明

（一）●知识梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（ab2）2（a、b∈R+），当且仅当a=b时取等号.2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1a＞b.特别提示

1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若●点击双基

1.若a、b是正数，则

ab2ab＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.、ab、2abab、a2b22这四个数的大小顺序是

A.ab≤ab22≤2abab≤

a2b22

B.a2b2≤ab≤

ab2≤

2abab2

C.2abab≤ab≤ab22≤

a2b2

D.ab≤ab2≤

ab22≤

2abab

解析：可设a=1，b=2，则ab2=43232，ab=2，2ababa2=，14252b2===2.5.答案：C

2.设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11x中最大的一个是 C.c

D.不能确定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比较1+x与∵1+x－∴1+x＜11x11x11x2的大小.=－

x2=.1x11x1x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故选A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符号不确定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确； ④a∈R时，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正确.5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间

t=sv2v+sv2v=v2v22v2s2v22，平均速度v1=22st2=

vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 设a＞0，b＞0，求证：（a21b）2（b111a）2≥a2+b2.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝

（a）（b）ab（ab）（aabb）ab（ab）（a2abb）（aab（ab）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（abab）2≥0.ab∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，左边右边＝（ab）（aab（aabb）b）＝

aabbab≥

2ababab＝1.∴原不等式成立.评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求证：xxa+

1a＞

1b，x＞y.＞yyb.剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合.证法一：（作差比较法）

∵又xxa1a－1byyb（xa）（yb）=

bxay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bxay（xa）（yb）＞0，即

xxa＞

yyb.证法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要证+

xxa＞

yyb，只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.思考讨论

该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axxa，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而

xxa＞

yyb.mmx，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mma∴g（a）＞g（b），即＞

mmb，命题得证.xy解法二：原不等式即为

axa1＞

byb1，为此构造函数f（x）=

xx1，x∈（0，+∞）.xa易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而xy＞

yb，∴axa1＞byb1，即

xxa＞

yyb.【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少?（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6（x－1）+„+6×2+6×1］=9x（x+1）.设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x9x+10809 =10989.当且仅当9x=900x，即x=10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，则 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2x1）（100x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，当x≥35时为增函数.∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件.●闯关训练 夯实基础

1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

xy2xy2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.设a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，则a1b2的最大值是____________.12b2b22=1a+

=

32.a2∴a1b2=2·a·答案：32412b2212332=2·2=.≤2·

ab24.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b=，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是____________.解析：∵a※b=ab2ba2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

证明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.证明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a）lga2322223－lg（a2）lg（a）

=lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lgalg（a2）2lg（a）22）］2a）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a）lgalg（a2）lgalg（a）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培养能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mxy恒成立，求实数m的最小值.分析：∵x+y≤mxy恒成立，xxyxxyyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mxy恒成立，xxyy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴xy≥（x2xx2yyy）2=

x2y.∴xxyy≤=2.∴m的最小值为2.评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段.8.有点难度哟！

求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb.证明：设S表示△ABC的面积，则 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究创新

9.设二次函数f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1a2.（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜证明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.综上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由题意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab1a.=.ax1ax212a=a（x1x2）12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小结

1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差（商）→变形→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.2.对于公式a+b≥2ab，ab≤（ab2）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.拓展题例

【例1】设a、b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的实根为α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求证：｜α｜＜1，｜β｜＜1.证法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.证法二：设f（x）=x＋ax＋b，则有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的两实根在（－1，1）内，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（－1，1）内.【例2】 是否存在常数C，使得不等式数x、y恒成立?试证明你的结论.解：当x=y时，可由不等式得出C=下面分两个方面证明.先证≥2xy.再证xx2yx2xy23x2xy+

yx2y≤C≤

xx2y+

y2xy对任意正

.+yx2y≤

23，此不等式3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）x2+y2+y2xy≥

23，22此不等式3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）2xy≤x+y.综上，可知存在常数C=

23，使对任何正数x、y不等式恒成立.6.3 不等式的证明

（二）●知识梳理

1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件 的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示

不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+数a的取值范围是

A.［－2，C.［－3，3232n

（1）nn1对任意n∈N恒成立，则实

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：当n为正偶数时，a＜2－1n，2－121n为增函数，∴a＜2－=32.1n当n为正奇数时，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.为增函数，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市质检题）若＜

a11b＜0，则下列结论不正确的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正确.答案：A 3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 A.充分条件

C.充要条件

答案：A

B.必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.（理）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，则am与bm的大小关系是____________.解析：若d=0或q=1，则am=bm.若d≠0，画出an=a1+（n－1）d与bn=b1·q

y n－

1的图象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，„），则an+1与bn+1的大小关系是____________.解析：an+1=a1a2n121ab1ab≥a1a2n1=b1b2n1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，则

+

1bc1bc_______

3ac.（填“＞”“=”“＜”）

1ab解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1bc）［（a－b）+（b－c）］

≥2（ab）（bc）1·2（ab）（bc）=4.3ac∴ab+1bc≥

4ac＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.求证：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.xy证明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2axy＝2axx.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决

+

xy

问题.证明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要证原不等式成立，即证［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是证［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（ab）（bc）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（bc）（ca）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（ca）（ab）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：na－1＜a1n+

.a1n证法一：要证na－1＜即证a＜（a1n，+1）.n令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+„+Cnn（tn）n=1+C1na1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证即证xnx1n＞x－1，n－11x1n－1＞n.联想到等比数列前n项和1+x+„+xn－

2=

xn1x1，① ② 倒序x+x+„+1=nxn1x1.①+②得2·x1x1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+„+（xn－1+1）

＞2xn1+2xn1+„+2xn1＞2n.∴xn1x1＞n.思考讨论

本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.●闯关训练 夯实基础

1.已知a、b是不相等的正数，x=

a2b，y=ab，则x、y的关系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能确定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.对实数a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要条件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵当x≠2a≠0时，有（x－2a）2+5a2＞0.由题意故只需x－a＞0即x＞a，以上过程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求证：b2ac＜3a.22证明：要证b2ac＜3a，只需证b－ac＜3a，22

3即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a－b）（2a+b）＞0，即证（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展开得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.证法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即证122222

a2b2c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培养能力

5.设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求证：－＜c＜0.31证明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的两个根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，则

Δ011ccc032f（c）0.222222

6.已知2b2ca=1，求证：方程ax2+bx+c=0有实数根.a2c2证明：由2b2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有实数根.7.设a、b、c均为实数，求证：证明：∵a、b、c均为实数，∴12121212a+

12b+

12c≥

1bc+

1ca+

1ab.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11ab，当a=b时等号成立；

（（＋＋）≥）≥

bc1ca，当b=c时等号成立； ． ≥

1bc12a12ca三个不等式相加即得探究创新

12a+

12b+

12c+

1ca+

1ab，当且仅当a=b=c时等号成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.这与ac+bd＞1矛盾.所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数.●思悟小结

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心 教学点睛

1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例

【例1】 已知a、b为正数，求证：

（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

xx1xx1＞b成立；

＞b成立，则a+1＞b.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+xx1=a（x－1）+

1x1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx1xx1＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+

1x1xx1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a当且仅当a（x－1）=故［ax+xx1x1，即x=1+＞1时取等号.］min=（a+1）2.则（a+1）2＞b，即a+1＞b.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【例2】 求证：|ab|1|ab|≤

|a|1|a|+

|b|1|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=证明：令f（x）=

x1x1x（x≥0）的单调性.（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|ab|1|ab|≤|a||b|1|a||b|=

|a|1|a||b||b|1|a||b|≤

|a|1|a||b|1|b|.思考讨论

1.本题用分析法直接去证可以吗? 2.本题当|a+b|=0时，不等式成立； 当|a+b|≠0时，原不等式即为

111|ab|≤

|a|1|a||b|1|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放缩能证吗?读者可以尝试一下!