中考数学专题
几何证明压轴题
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)
求证：DC=BC;
(2)
E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
(3)
在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.[解析]
（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC
所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以
所以.2、已知：如图，在□ABCD
中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形
BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
[解析]
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD
．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD
．
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF
．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形
AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC
．
∵AG∥BD，∴四边形
AGBD
是平行四边形．
∵四边形
BEDF
是菱形，∴DE＝BE
．
∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE
．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD是矩形
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图13－1
A（G)
B（E)
C
O
D（F)
[解析]（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴
∠ABD
=∠F
=45°，OB
=
OF．
又∵∠BOM=∠FON，∴
△OBM≌△OFN
．
∴
BM=FN．
（2）
BM=FN仍然成立．
（3）
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，∴
△OBM≌△OFN
．
∴
BM=FN．
4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。
（1）若，求CD的长；
（2）若
∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。
[解析]
（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5
所以∠ADB＝90°，AB＝10
在Rt△ABD中，又，所以，所以
因为∠ADB＝90°，AB⊥CD
所以
所以
所以
所以
（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD
所以
所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD
因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO
所以∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x
由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x
因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
所以
所以x＝10°
所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
所以∠AOC＝∠AOD＝100°
5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
[解析]
(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF
∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD
(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′
方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)
(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
可证得：FA＝FG，且AB＝BG
由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2
由、得：FG2-4FG-12=0
解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）
∴AB＝BG＝
∴⊙O半径为26、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．
（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；
（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]
解:
1点P的坐标是（2,3）或（6,3）
2作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
在中，又AP=12-4=8,∴
∴AC=≈1.94
∵1.94<2
∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，C
A
B
D
O
E
DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=∠OAC.[解析]
证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）
∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．
1求AO与BO的长；
2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．
[解析]
1中,∠O=,∠α=
∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.米.--------------
(3分)
2设在中,根据勾股定理:
∴
-------------
(5分)
∴
∵ ∴
∴
-------------
(7分)
AC=2x=
即梯子顶端A沿NO下滑了米.----
(8分)
3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点
∴，-------------
(9分)
∴-------
(10分)
∴
∴
∵
∴
-----------------------
(11分)
∴-----
(12分)
∴米.--------
(13分)
9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)
求直线AB的解析式；(2)
当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(3)
当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
由题意，得
解得
所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．
（2）由AO＝6，BO＝8
得AB＝10
所以AP＝t，AQ＝10－2t
1°
当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以 ＝
解得 t＝(秒)
2°
当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以 ＝
解得 t＝(秒)
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝
在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8
－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)
＝－＋4t＝
解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作
PE⊥AB．
10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．
（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．
（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．
解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．
在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．
∵ PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．
故，即
∴⊿PBC面积＝
又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝
即 y，x的取值范围是0＜x＜10．
（2）这个判断是正确的．
理由：
由（1）可得，⊿PAD面积＝
⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．
点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了.
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