2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座二：几何综合题问题

第一篇：2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座二：几何综合题问题

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2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座二

几何综合题

(浙江省象山天天培训学校方德懿)

【知识纵横】

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主 要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键。

解几何综合题，还应注意以下几点：

⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形。

⑵ 掌握常规的证题方法和思路。

⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法、数形结合、分类讨论等。

【选择填空】

1．（浙江宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【】

A．90B．100C．110D．1

212.（浙江湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色

菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若的边长是

m47，则△ABCn2

53.（浙江宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB，D是线段BC

上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长

度的最小值为．

【典型试题】

1、.（福建厦门）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分 别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．

（1）如图，若PE3，EO＝1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋

32－4，求BC的长．

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。

（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

2.（浙江义乌）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。

（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。

3.（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE，MN

（1）求∠COB的度数；

（2）求⊙O的半径R；

（3）点F在⊙O上（FME是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似

变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形

共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出

这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。

（2）利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定

理、勾股定理列出关于R的方程。

（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与

点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。

顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所

求。

利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由（2）求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。

4.（广东佛山）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？

（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．

【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四

边形，即可得出答案；

（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出

x，根据三角形的面积公式求出即可。

5.（浙江嘉兴）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

（1）如图①，对△ABC作变换[60°

得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=BC与直线B′C′所夹的锐角为度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

（4）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．

【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含30角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方。

【分析】（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，0

AB∴S△AB′C′：S△ABC

==AB223，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。

（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案。

【自主训练】

1.（广东汕头）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

2.（湖北宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E

为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．

（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？

（2）求证：△ABG∽△BFE；

（3）设AD=a，AB=b，BC=c

①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；

②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．

3.（广东珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；

（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

4.（湖北天门）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的5.（四川乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF；

②当AB=4，AD

时，求线段BG的长．

1时，求线段EF的长． 4

第二篇：2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题

外国语中学中考数学压轴题专集

1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．

（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；

1（3）若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

3B C P B C P B C

图

1图2（备用）图3（备用）

3．已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

P

5．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．

（1）若c＝a1，求证：a＝kc；

（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；

（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．

A

c

1C B1C11

6．如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平．．分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”．

（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”；

（2）在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；

（3）如图2，若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．

C图2 图1

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）若点P以3cm/s的速度运动

4①当PQ∥AB时，求t的值；

②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．

（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB

相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

A

备用B

8．如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4．

求证：AE ＋BF ＝EF ；

（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE ＋BF ＝EF 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请

说明理由；

D A B A D

图2 图3 图

1A D B A F

图4 图

5（3）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． D ；

F

C

9．（河南省）222222B B

（1）操作发现·

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求

（3）类比探究

保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求

AD的值． ABAD的值； AB

第三篇：中考数学几何证明压轴题

AB1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证

明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测

量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长

线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜

想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)图13－1 图13－

2图13－

31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3

2.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

第四篇：中考数学压轴题整理

【运用相似三角形特性解题，注意分清不同情况下的函数会发生变法，要懂得分情况讨论问题】

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________；

（3）求第n行各数之和．

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________．

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________．

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解；如设点A为（x,y）或设点A为（0，m），多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少，周长为多少的三角形四边形等时，注意坐标点可能在正半轴或负半轴，注意加绝对值符号，计算多边形面积可采用割补法

第五篇：七年级数学压轴题(动点,几何)

1． 已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴ P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵ ⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

⑶⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别

为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？（参考答

案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）