6-6第六节 直接证明与间接证明练习题(2015年高考总复习)

第一篇：6-6第六节 直接证明与间接证明练习题(2015年高考总复习)

第六节 直接证明与间接证明

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()

A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

解析 “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B.答案 B

2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()

A．2ab－1－a2b2≤0

a＋b2C.2－1－a2b2≤044a＋bB．a2＋b2－1－2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案 D

3．(2014·临沂模拟)若P＝aa＋7，Qa＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系()

A．P>Q

C．P

解析 假设P

答案 C

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()

A．恒为负值

C．恒为正值B．恒等于零 D．无法确定正负

解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()

A．成等比数列而非等差数列

B．成等差数列而非等比数列

C．既成等差数列又成等比数列

D．既非等差数列又非等比数列

a＋c＝2b，①2由已知条件，可得x＝ab，②

y2＝bc，③解析

2xa＝b，由②③得y2c＝b 代入①，x2y2得b＋b2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列，故选B.答案 B

yyzzxx6．(2014·济南模拟)设x，y，z>0，则三个数xzxyzy()

A．都大于2

C．至少有一个不小于2B．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2

yyz解析 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又x＋zx

zxxyxyzzx＋y＋zy＝x＋y＋zy＋x＋z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，故这

三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排除A、B.答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

cd7．已知三个不等式①ab>0；a>b③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．

解析 ①②⇒③，①③⇒②；②③⇒①.答案 3

8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5和b5的大小关系为________．

解析 方法1：设公比为q，公差为d，则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，故由a3＝b3，得2d＝a1(q2－1)．

又∵a1≠a3，∴q2≠1.∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)

＝a1q4－[a1＋2a1(q2－1)]

＝a1(q2－1)2＞0.∴a5＞b5.方法2：∵在等比数列{an}中，a1≠a3，∴公比不为1.∴a1≠a5.又∵a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q为公比)，b1＋b5a1＋a5b1＋a5∴b3＝2a3a1a5＜22.∴a5＞b5.答案 a5＞b5

9．已知点An(n，an)为函数y＝x＋1的图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________．

解析 an＝n＋1，bn＝n.方法1：cn＝n＋1－n＝

数，∴cn＋1＜cn.方法2：cn＋1n＋1＋1－(n＋1)，cn＝n＋1－n，n＋1－nn＋1＋1＋n＋1c∴＝＞1.cn＋1n＋1＋1－n＋1n＋1＋n

∴cn＞cn＋1.答案 cn＞cn＋1

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知a>0证明 221随n的增大而减小，为减函n＋1＋n11aa－2≥a＋a2.211a＋a2≥aa－2.1a＋a＋2≥a＋a2.212，a＋2a＋a2≥a2∵a>0，故只要证 

1即a2＋a从而只要证111a2＋a＋4≥a2＋2＋a＋22a＋a＋2，11a＋a2a＋a，2121212只要证4aa≥2a＋2＋a，即a＋a≥2，

而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.1(1)证明：af(x)的一个零点；

1(2)试用反证法证明ac.证明(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c11又x1x2＝ax2＝a(ac)，11∴af(x)＝0的一个根，即a是函数f(x)的一个零点．

11(2)假设ac，又a，由00，1知fa>0与11fa＝0矛盾，∴ac，

11又∵ac，∴a>c.12112．(1)求证：当a>1时，不等式a＋aa＋a成立； 3

(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请

放宽条件，并简述理由；若不能，请说明理由；

(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．

111解(1)证明：a3＋a－a2－a＝aa－1)(a5－1)，1∵a>1，∴a(a－1)(a5－1)>0，故原不等式成立．

(2)能将条件“a>1”适当放宽．理由如下：当a≠1时，(a－1)与(a5

1－1)同符号，所以(a－1)(a－1)>0，只需a>0且a≠1就能使a(a－1)(a55

－1)>0，故条件可以放宽为a>0且a≠1.(3)根据(1)(2)的结果，可推知：

1n1若a>0且a≠1，m>n>0，则有a＋a>a＋a.m

证明如下：

111am－an＋aaan(am－n－1)－a(am－n－1)

1m－n＝a(a－1)(am＋n－1)，若a>1，则由m>n>0得am－n－1>0，am＋n－1>0，知不等式成立，若0n>0得am＋n－1<0，am＋n－1<0知不等式成立．

第二篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第三篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab

第四篇：5直接证明与间接证明

龙源期刊网 http://.cn

5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第五篇：直接证明和间接证明复习教案

高三数学教案

【课题】直接证明和间接证明能力要求:A

【学习目标】

知识与技能：了解直接证明的方法——综合法和分析法；了解间接证明的方法——反证法 过程与方法：通过师生互动，让学生掌握三种证明方法。

情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。

【重点与难点】

能应用综合法和分析法解决一些简单的证明题。

一、知识回顾

1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法。其特点是由因导果

2、分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求推理过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）的方法。其特点是执果索因

3、反证法：其证明步骤是

（1）提出假设——假设命题的 结论不成立。

（2）推出矛盾——从 已知条件和事实出发，经过一系列正确的逻辑推理。得出 矛盾的结果。

（3）得出结论——由 矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立。

二、预习作业

1、比较大小：

2

2、下列表述：（1）综合法是执因导果法。（2）综合法是顺推法。（3）分析法是执因导果法。（4）分析法是间接证明法。（5）反证法是逆推法。正确的语句有 3个。

3、在用反证法证明命题时，“若x0,y0且xy2，则1y1x和中至少有一个xy

小于2”时，假设则1y1x和都不小于2xy4、已知ABC三个顶点的坐标分别为（5，-2），（1，2），（10，3），则ABC的形状是直角三角形

5、若ab0，则下列不等式中总成立的是

11bb1b（2）baaa

1112aba（3）ab（4）aba2bb（1）a

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，则满足xx0的最大整数解是

三、例题

例

1、在数列an中，a12,an14an3n1,nN*.(1)证明数列ann是等比数列。

(2)求数列an的前n项和sn

(3)证明不等式

例

2、ABC的三个内角A,B,C成等差数列，a,b,c为三个内角A,B,C的对边。求证：

sn14sn对任意nN*都成立。113 abbcabc

例

3、若a,b,c均为实数，且ax2y

证明：a,b,c中至少有一个大于0.23，by2z23,cz22x3，22变题：若下列三个方程：x4ax4a30，x(a1)xa0，2x22ax2a0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

四、学教小结

五、当堂反馈

1、“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是多有一个钝角。

ABC的外接圆的圆心为O，2、两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC), 则实数m的值是

1直接证明和间接证明作业卷

1、函数yf(x)是R上的偶函数，周期为2，当2

22、若函数f(x)的图像可由函数ylg(1x)的图像绕原点顺时针旋转90得到，则 0

f(x)x3、在RtABC中，A90，AB=1,则0

b1（2）ab0a2b2 a

ab（3）ab,cd,abcd0cd（1）ab0

4、给出下列命题：

（4）ab0,cd0adb其中真命题的序号是d5、若a,b,c,d,x,y是正实数，且P的大小关系为abcd，Qaxcybd，则P、Qxy6、p2x41,q2x3x2,xR，则p和q得大小关系是pq7、设等比数列an的公比为2，前n项的和为sn,sn1,sn,sn2成等差数列，则q的值为-

28、若ab0，求证：a

9、已知为a非零常数，f(xa)ab1f(x)(xR,f(x)1)，试判断f(x)是否1f(x)

为周期函数,证明你的结论。

（0，1）（1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于

10、已知a,b,c,求证1。4