第2讲 直接证明与间接证明

第一篇：第2讲 直接证明与间接证明

第2讲 直接证明与间接证明

【2013年高考会这样考】

1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．

2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．

【复习指导】

在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．

基础梳理

1．直接证明

(1)综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q

(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．

(2)分析法

①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→

得到一个明显成立的条件.2．间接证明

一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒„⇒t

.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

一个关系 综合法与分析法的关系

分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基

础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．

两个防范

题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．

证„”“就要证„”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)p＝＋，q＝ma＋nc正数)，则p、q的大小为()．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定

解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为mn

madabc＝ab＋cd＝p，当且仅当＝ nm

答案 B

2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()．

A．a＞b

C．a＝b

解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A

3．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()．

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

解析 ∵a，b，c恰有一个偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．

答案 D

4．(2012·广州调研)设a、b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．

A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0

解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a＜b D．a≤b

5．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．

例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．

答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP

考向一 综合法的应用

a2b2c2【例1】►设a，b，c＞0，证明：a＋b＋c.bca

[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．

证明 ∵a，b，c＞0，根据均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca

a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca

当且仅当a＝b＝c时取等号．

a2b2c2即＋a＋b＋c

.bca

综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．

11【训练1】 设a，b为互不相等的正数，且a＋b＝1，证明：＞4.ab

1111ba·证明 (a＋b)＝2＋2＋2＝4.ababab

11又a与b不相等．故＞4.ab

考向二 分析法的应用

a＋mb2≤a＋mb.【例2】►已知m＞0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m

[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式．

证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，2

2故原不等式得证．

逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

【训练2】 已知a，b，m都是正数，且a＜b.a＋ma求证：b＋mb

a＋ma证明 要证明，由于a，b，m都是正数，b＋mb

只需证a(b＋m)＜b(a＋m)，只需证am＜bm，由于m＞0，所以，只需证a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．

(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)

考向三 反证法的应用

【例3】►已知函数f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋

1(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)用反证法证明f(x)＝0没有负根．

[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x0＜0后，应推导出x0的范围与x0＜0矛盾即可．

证明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因为x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以

x2－2x1＋1－x1－2x2＋13x2－x1＝0，x2＋1x1＋1x2＋1x1＋1

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

法二 f′(x)＝axln a＋30，x＋1∴f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

x0－2x0－2(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1

11，即＜x0＜2，与x0＜0(x0≠－1)假设矛盾．故f(x0)＝0没有负根．

当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜

用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．

【训练3】 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行． 证明 假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，1－λ＝0，λ＝1，∴得 1＋λ＝0，λ＝－1，

所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．

规范解答24——怎样用反证法证明问题

【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】►(本题满分12分)(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；

(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．

第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．

[解答示范] 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)

代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分)

这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(6分)

y＝k1x＋1，(2)由方程组 y＝k2x－1，

解得交点P的坐标(x，y)为k＋ky＝k－k.21

212x＝，k2－k1(9分)

22k2＋k12从而2x＋y＝2k－k＋ 21k2－k122

2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．(12分)

用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)

必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．

【试一试】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

[尝试解答](1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，2

11所以{an}是首项为1，公比为an＝－.22

(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，111－－则，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．

第二篇：5直接证明与间接证明

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5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第三篇：直接证明与间接证明-分析法学案(!)

2.2.2直接证明与间接证明—分析法

班级：姓名：

【学习目标】：

（1）结合教学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：分析法（2）通过教学实例，了解综合法的思考过程、特点

（3）通过教学实例了解分析法的思考过程、特点；体会分析法和综合法的联系与区别【学习过程】：

变式练习1：求证7225

自主学习

1：从要证明的，逐步需寻求是它成立的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、、、等），这种证明方法叫分析法。

2：分析法是一种…，它的特点是。

合作学习

1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

2：综合法与分析法的区别是什么？

课堂练习

例1：求证：372

例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证：AF⊥SC

变式训练2：已知a0，求证a21a2

2a1a2

【课后检测】：

1：校本教材P55页作业与测试。

第四篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第五篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab