直接证明与间接证明（共5则）

第一篇：直接证明与间接证明

8．2 直接证明与间接证明

教学目标：

重点：综合法，分析法与反证法的运用．

难点：分析法和综合法的综合应用．

能力点：能用三种方法解决简单的证明问题及三种证明方法的综合应用．

教育点：体会数学证明的思考过程及特点，提升分析解决问题的能力．

自主探究点：主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时要综合运用数学知识进行推理论证，以及化归与转化的思想．

易错点：① 利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的；

② 不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；

③ 不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范．

学法与教具：

1．学法：自主探究、练习法2．教具：多媒体

一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1．直接证明

（1）综合法

①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ（其中P表示已知条件，Q表

示要证的结论）．

（2）分析法

①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法． ②框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件．

2． 间接证明 反证法：假设原命题__________（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出_____，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．

三、【范例导航】 例1已知xyz1，求证：x2y2z2

3．【分析】综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明． 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．由基本不等式x2y22xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用xyz1得(xyz)21从而可证．

【解答】法一：x2y22xy,y2z22yz,z2x22zx,(xy)(yz)(zx)2xy2yz2zx 3(xyz)xyz2xy2yz2zx,即3(x2y2z2)(xyz)21，xyz法二：xyz

1

322

213

．



(3x3y3z1)

222

[3x3y3z(xyz)] 13

[(xy)(yz)(zx)]0

(3x3y3zxyz2xy2xz2yz)

xyz

．

法三：证明：a1,a2,,anR,a1a2an1，则a1a2an

222

构造函数f(x)(xa1)(xa2)(xan)

1n

成立．

nx2(a1a2an)xa1a2annx2xa1a2an．

222

因为对于一切xR，都有f(x)0，所以44n(a1a2an)0,22222222

从而证得：a1a2an

222

1n

222，当n3时，即xyz

成立．

【点评】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确．其基本流程表述如下：

变式训练：设a0,b0,ab1,求证

1a



1b1a



1ab1b

8.1ab

abab

1ab

2ab

【解答】方法一：a0,b0,ab1,又ab1,ab

14,

2ab

2

1，8.方法二：

ab1,

ba

ab

abab

1a



1b



1ab



4aba



abb



abab

112ab

2248 ab2()2

例2（1）用分析法证明：acbd

11（2）已知a0,

1．

ba【分析】（1）由于a,b,c,dR,故要分acbd0或acbd0两种情况，然后用分析法证明．（2）

要证明知条件

1b1a

不等式两边都是整数，可通过同时平方，化为有理式运算，通过化简得出已

1，可得证．

【解答】证明（1）①若acbd0，结论显然成立； ②(ac

若

acbd0，2

要

b

证

ac

d

b成立c，d只需

证

b)2

)c

(adbc)0显

2abcdadbc，即证ac2abcdbdacadbcbd，2222222222

然成立，综上所述acbd（2）要

证

成立，只需证1a

abab

11b1b，只需证(1a)(1b)

1a

1b

1,(b1,即1a

1baab1，abab,只需证1，即1．由已知a0,1成立，

【点评】分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经

成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．在解答本题时有两点容易造成失分：（1）不去分类，而是直接平方作差判断．（2）在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分． 注意解题技巧： 1．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

2．在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用“分析-综合法”即两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证． 变式训练： 已知ABC三边a,b,c的倒数成等差数列，证明：B为锐角． 【解答】要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cosB

acb

2ac

20，即需证

acb0，由于acb2acb，要证acb0，只需证2acb0，a,b,c的倒数成等差数列，

1a



1c



2b,即2acb(ac)．要证2acb0，只需证b(ac)b0，即

b(acb)0．上述不等式显然成立．B 必为锐角．

2中至少有一个成立．

yx

【分析】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，分析可得本题适合用反证法，从题目中可以看出“至少”这样的存

1x1y

在量词，于是可设2与2结论的反面成立，即两个不等式都不成立．通过推理可得出

yx

2与

xy2的结论，与已知xy2矛盾，所以假设不成立，原命题正确．

例3若x,y都是正实数，且xy2，求证：

1x1y

【解答】假设

1xy

2与

1yx

则有2都不成立，1xy

2与

1yx

因为x0且y0，2同时成立，所以1x2y，且1y2x，两式相加得，2xy2x2y，所以xy2，这与已知xy2相矛盾，因此

1xy

2与

1yx

2中至少有一个成立．

【点评】用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设: 假定所要证的结论不成立，即结论的反面（否定命

题）成立；（否定结论）（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．（结论成立）． 注意：（1）当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．（3）反证法中常见词语的否定形式

变式训练：（2011．安徽）设直线l1:yk1x1，l2:yk2x1，其中实数k1,k2满足k

1k

220． 证明：l1与l2相交．

【解答】反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k1220，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交．

四、【解法小结】

1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知． 2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 4．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定q；

第三步：由p和q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真．

第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．

五、【布置作业】

必做题：

1．关于x的方程axa10在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是__________． 2．设ab0，m

n，则m,n的大小关系是__________．

3．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且（填写所有正确条件的代号）yz，则x∥y”为真命题的是________．①x为直线，y,z为平面；②x,y,z为平面；

③x,y为直线，z为平面；④x,y为平面，z为直线； ⑤x,y,z为直线．

．如果a,b应满足的条件是__________________． 5．（1）设x是正实数，求证：(x1)(x21)(x31)8x3；

（2）若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

必做题答案：1．(,1)2．mn 3．①③④4．a0,b0且ab

35．（1）证明 x是正实数，由基本不等式

知x1，1x2

2x，x1，故

(x1)(x1)x(1)

3x23． 8x（当且仅当x1时等号成立）

（2）解：若xR，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立．由（1）知，当x0时，不等式成立；当x0时，8x30，而(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)

(x1)(x1)[(x

2)

4]0，此时不等式仍然成立．

选做题：

1．若a,b,c为RtABC的三边，其中c为斜边，那么当n2，nN时，anbn与cn的大小关系为____________． 2．下面有3个命题：

x

①当x0时，2

x的最小值为2；



6②将函数ysin2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin(2x



6)的图象；

③在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，则

ABC的外接圆半径r

．类比到空

间，若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c则三棱锥

S

ABC的外接球的半径R

其中错误命题的序号为________． ．．

．

3．已知f(x)xaxb．（1）求：f(1)f(3)2f(2)；

（2）求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于选做题答案：

1．abc2．①②

3．解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2．（2）证明假设f(1),f(2),f(3)都小于

n

n

n

．

．则

f(1)

12,

f(2)

12,

f(3)

12,12f(2)1，1f(1)f(3)1．2f(1)f(3)2f(2)2．

这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾，假设错误，即所证结论成立．

第二篇：5直接证明与间接证明

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5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第三篇：直接证明与间接证明-分析法学案(!)

2.2.2直接证明与间接证明—分析法

班级：姓名：

【学习目标】：

（1）结合教学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：分析法（2）通过教学实例，了解综合法的思考过程、特点

（3）通过教学实例了解分析法的思考过程、特点；体会分析法和综合法的联系与区别【学习过程】：

变式练习1：求证7225

自主学习

1：从要证明的，逐步需寻求是它成立的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、、、等），这种证明方法叫分析法。

2：分析法是一种…，它的特点是。

合作学习

1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

2：综合法与分析法的区别是什么？

课堂练习

例1：求证：372

例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证：AF⊥SC

变式训练2：已知a0，求证a21a2

2a1a2

【课后检测】：

1：校本教材P55页作业与测试。

第四篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第五篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab