第一篇:2.2直接证明与间接证明学案(含答案)
§2.2直接证明与间接证明学案
审核签名:编制:编制时间: 3月4日 完成所需时间: 40分钟班级姓名第小组 一.自主测试
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.2.若a>b>0,则a+b+
b
11a
.(用“>”,“<”,“=”填空)
3.要证明
3+
7<
25,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是(填序号).③综合法
2①反证法②分析法
4.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数
②假设a、b、c都不是偶数 ③假设a、b、c至多有一个偶数 ④假设a、b、c至多有两个偶数
5.设a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.二.典例分析
例1(1)设a,b,c>0,证明:
a
2b
b
2c
c
a
≥a+b+c.abc
(2)已知a,b,c为互不相等的非负数.求证:a2+b2+c2>
例2(1
1xy
1yx
(a
+
b
+
c)
(2)已知a>0,求证:
a
1a
≥a+
1a
-2.例3 若x,y都是正实数,且x+y>2, 求证:
<2与<2中至少有一个成立.三.巩固练习
1.用反证法证明“如果a>b,那么a
>b”假设内容应是2.已知a>b>0,且ab=1,若0<c<1,p=loga
cb,q=log
c
12
,则p,q的大小关系
a
b
是.3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列恒成立的等式的序号是.①(a*b)*a=a②[a*(b*a)]*(a*b)=a ③b*(b*b)=b
④(a*b)*[b*(a*b)]=b
4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是三角形,△A2B2C2是三角形.(用“锐角”、“钝角”或“直角”填空)5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示:在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.其中正确命题的序号是.6.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②对于任意实数a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c;
③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.(写出你认为正确的结论的所有序号)
7.(教材)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b, c且A,B,C成等差数列,a, b, c成等比数列,求证△ABC为等边三角形。
8.(教材)已知1tan3sin24cos22tan
1,求证
9.已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
14.参考答案
一,自主测试
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.答案充分
2.若a>b>0,则a+b+
b1
1a
.(用“>”,“<”,“=”填空)
答案> 3.要证明
+
7<
2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是(填序号).③综合法
①反证法答案②
②分析法
4.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数 ②假设a、b、c都不是偶数 ③假设a、b、c至多有一个偶数 ④假设a、b、c至多有两个偶数 答案②
5.设a、b、c∈(0,+∞),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.答案充要 二.典例分析
例1设a,b,c>0,证明:
a
b
b
c
c
a
≥a+b+c.证明∵a,b,c>0,根据基本不等式,有
a
b
+b≥2a,a
b
c
+c≥2b,b
c
a
+a≥2c.三式相加:即
a
bc
+
c
+
c
a
+a+b+c≥2(a+b+c).b
+
b
c
+
a
≥a+b+c.变.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证:a+b+c>
abc
(a
+
+
c).证明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c为互不相等的非负数,∴上面三个式子中都不能取“=”,22
2∴a+b+c>ab+bc+ac, ∵ab+bc≥2ab+ac≥2
abc,bc+ac≥2
abc,abc,又a,b,c为互不相等的非负数,∴ab+bc+ac>∴a2+b2+c2>
abc
(a
a
+
b
b
+
c
c),abc
(++).例2(1)略(2)已知a>0,求证: 证明要证只要证
a
a
1a
≥a+
1a
-2.a1a
1a
1a
≥a++
1a
-2,2分
+2≥a+.
∵a>0,故只要证
a
1a
2
≥(a+
1a
+),6分
即a2+
1a
+
4a
1a
+4
≥a2+2+
a
+2
1
2a+2,aa
1a
8分 10分
从而只要证2
只要证4a
1a
≥
1
2a,a
112
≥2(a+2+22aa),即a+
≥2,而该不等式显然成立,14分
故原不等式成立.例3若x,y都是正实数,且x+y>2, 求证:
1xy
<2与
1xy
1yx
<2中至少有一个成立.1yx
证明假设则有
1xy
<2和
1yx
<2都不成立,≥2和≥2同时成立,因为x>0且y>0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x,两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2,这与已知条件x+y>2相矛盾,因此
一、填空题
1.(2008·南通模拟)用反证法证明“如果a>b,那么答案a
a
1xy
<2与
1yx
<2中至少有一个成立.>b”假设内容应是=b或a
<b
2.已知a>b>0,且ab=1,若0<c<1,p=logc是.答案p<q
a
b
2,q=logc
1a
b,则p,q的大小关系
3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列恒成立的等式的序号是.①(a*b)*a=a②[a*(b*a)]*(a*b)=a ③b*(b*b)=b 答案②③④
4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是三角形,△A2B2C2是三角形.(用“锐角”、“钝角”或“直角”填空)答案锐角钝角
5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示:在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.其中正确命题的序号是
.④(a*b)*[b*(a*b)]=b
答案①
6.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c;
③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.(写出你认为正确的结论的所有序号)答案②③
二、解答题 7.略,8略
9.已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.41证明方法一假设三式同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,111
∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>
164
.1aa
又(1-a)a≤
2
=,同理(1-b)b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
164,这与假设矛盾,故原命题正确.方法二假设三式同时大于,41
∵0<a<1,∴1-a>0,(1a)b
≥
(1a)b
>
=,同理
(1b)c
>,232
(1c)a
>,三式相加得>,这是矛盾的,故假设错误,∴原命题正确.
第二篇:直接证明与间接证明-分析法学案(!)
2.2.2直接证明与间接证明—分析法
班级:姓名:
【学习目标】:
(1)结合教学实例,了解直接证明的两种基本方法之一:分析法(2)通过教学实例,了解综合法的思考过程、特点
(3)通过教学实例了解分析法的思考过程、特点;体会分析法和综合法的联系与区别【学习过程】:
变式练习1:求证7225
自主学习
1:从要证明的,逐步需寻求是它成立的,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、、、等),这种证明方法叫分析法。
2:分析法是一种…,它的特点是。
合作学习
1:综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
2:综合法与分析法的区别是什么?
课堂练习
例1:求证:372
例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证:AF⊥SC
变式训练2:已知a0,求证a21a2
2a1a2
【课后检测】:
1:校本教材P55页作业与测试。
第三篇:直接证明与间接证明学案(陈学俊整理)[推荐]
兴化市文正实验学校高二数学学案(选修2-2)第二章 推理与证明2013/3/
21§2.2.1直接证明
【学习目标】1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;
2.会用综合法、分析法证明问题;
【学习重点】会用综合法、分析法证明问题;
【学习难点】根据问题的特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.【学习过程】
一、复习回顾,新课引入:
合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明,本节我们将学习两类基本的证明方法。
1:两类基本的证明方法2:直接证明的两中方法:和.二、学习过程
问题1:已知四边形ABCD是平行四边形,求证:AB=CD,BC=DA
D
新知:一般地,利用
经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.练习:
1.已知a,b0, 求证:a(b2c2)b(c2a2)4abc.2.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.问题2.求证:
ab2ab(a>0,b>0)
新知:从出发,逐步,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫分析法.练习:1.求证372
52.求证:3265
小结:综合法与分析法从书写形式看,有何特点?
三、课堂练习:
1.已知,kcos2sin,2(kZ),且sin
sincossin2,2.课本P84练习:1,4四、课后作业:凤凰新学案练习本P41-4
422求证:1tan1tan21tan2(1tan2).§2.2.2间接证明
【学习目标】1.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;
2.了解反证法的思考过程、特点;
3.会用反证法证明问题.【学习重点】了解反证法的思考过程、特点
【学习难点】反证法的思考过程、特点
【学习过程】
一、复习回顾:
1:直接证明的两种方法2:综合法的特点:,分析法的特点:
二、学习新知
问题1:将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?
问题2:在一个三角形的3个内角中,至少有两个锐角,为什么?请说明理由。
新知:一般地,假设原命题,经过正确的推理,最后得出,因此说明假设,从而证明了原命题.这种证明方法叫.反证法证明的步骤:
三、例题讲解
例1.证明:2,3,5不可能成等差数列.练习:求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于60.例2.求证:正弦函数没有比2小的正周期。
练习:
1.若 求证:
都为实数,且中至少有一个大于0.,,2.设a3b32,求证ab2.例3.证明2不是有理数。
练习: 已知x,y0,且xy2.求证:
四、课堂练习:课本1x1y,yx中至少有一个小于2.P863,4,5P45-46
五、布置作业:凤凰新学案练习本
§2.3数学归纳法
【学习目标】1.了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的操作步骤;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【学习重点】能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
【学习难点】数学归纳法中递推思想的理解.【学习过程】
第四篇:直接证明与间接证明-反证法习题课学案
2.2.2直接证明与间接证明—反证法
班级:姓名:
【学习目标】:
(1)了解间接证明的一种方法—反证法及其思维过程,特点
(2)通过反证法的学习,体会直接证明与间接证明之间的辩证关系,掌握对立与统一的思想和方法(3)通过反证法的学习,培养慎密思维的习惯,开拓数学视野,认识数学的科学价值和人文价值。
【学习过程】:
1:反正法是的一种基本方法,假设原命题,经过正确的推理,最后的出,应此说明假设,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法。
2:用反证法证明命题的步骤,大体上分为:
(1)反证:假设原命题的结论,即假设结论的反面成立;(2)归谬:从出发,通过推理论证,得出矛盾;(3)结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确。课堂练习
例1:求证:两条相交直线有且只有一个交点例
:
已
知
a,b,c
是互不相等的实数,求证:
yax22bxc,ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有
两个不同的交点,变式训练:若下列三个方程:x24ax4a30,x2(a1)xa2=0,x22ax2a0
中至少有一个方程有实根,求a的范围。
例3:求证当x2bxc20有两个不相等的非零实根时bc0
变式训练:已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0,用反证法证明:关于x的方程x22x5p20无实根
【课后检测】: 校本教材P75课时作业
第五篇:2.2直接证明与间接证明(学生学案)
SCH数学题库(学生学案)班级座号姓名请到QQ群208434765或高二数学备课组百度文库下载答案
例
2.2直接证明与间接证明(学生学案)(1)2.2.1综合法和分析法(1)--综合法
1(课本P36例):已知a,b>0,求证
2a(b
c)
b(2c)a4abc
布置作业:
A组:
1、若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的个数是____(个)(写出所有正确的情况)
例2(课本P37例3):在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数111111
②1③ab2④2
ab2abab282、(课本P44习题2.2A组:NO:1)已知A,B都是锐
①
列,求证△ABC为等边三角形.例3:已知a,bR,求证aabbabba
.例
4、若实数x1,求证:
3(1x2x4)(1xx2)2.例5.设函数f(x)对任意x,yR,f(xy)f()x,且f(yx0时,f(x)0.(1)证明f(x)为奇函数;
(2)证明f(x)在R上为减函数.
角,且AB
,(1tanA)(1tanB)2,,求证:AB
.3、(课本P44习题2.2 A组:NO:2)
4、在△ABC中,已知(abc)(abc)3a,b且2cosAsiBnsCi.判断n△ABC的形状. 都有