9直接证明与间接证明教学设计

第一篇：9直接证明与间接证明教学设计

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

姓名：班级：使用时间：

课题：§9直接证明与间接证明主备人：审核人：

二、间接证明

反证法：假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

6、(2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且(1)求{an}的通项公式；

1an＋11

1－1.1－an＋11－an

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．

——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．

.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则()A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数 3．命题“对于任意角θ，cos4－sin4＝cos2”的证明：

“cos4－sin4＝(cos2－sinn2)(cos2+sinn2)＝cos2－sinn

2＝cos2”过程应用了()A．分析法B．综合法 C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法 4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞

3b”时，假设的内容是________． 5．如果a＋bb＞ab＋ba，则a、b

应满足的条件是________．

一、博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

(2)设bn＝

n，记Sn是数列{bn}的前n项和，证明：Sn<1.7、用分析法证明：若a>0，则

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.8、求证：2,3,5不可能成等差数列。

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

9、已知tansina，tansinb，求证(a2b2)216ab

达标检测

10．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b

11．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数 12.用分析法证明6722

5)

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学教学设计

姓名：班级：使用时间：

课题：§9直接证明与间接证明修订人：

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．

——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．

.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(B)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则(D)A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数 3．命题“对于任意角θ，cos4－sin4＝cos2”的证明：

“cos4－sin

4＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(B)A．分析法B．综合法 C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法 4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞

3b”时，假设的内容是

a．

5．如果a＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是a0,b0

且ab．

二、博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

二、间接证明

反证法：假设原命题即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

6、(2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且11－a－

11.n＋11－an

(1)求{an}的通项公式；

(2)设b1an＋1n＝n，记Sn是数列{bn}的前n项和，证明：Sn<1.解：(1)由题设

11－an－1

n

＝1，＋11－a得{11－an}是公差为1的等差数列． 又

1111－a1＝1，故1－an

＝n.所以an＝1－n(2)证明：由(1)得 b1－an＋1n＝

nn＋1－n11

n＋n＝nn＋1，n

n

Sn＝bk＝（1k－1k＋1)＝1－1

n＋1

k＝1

k＝17、用分析法证明：若a>0，则

a2＋1a

2≥ a＋

1a2.证明：要证 a

2＋11

a

－2≥a＋a2，只要证

a2＋1a

＋2≥a＋1

a2.∵a>0，故只要证

1

a2＋a22≥

a＋1a2

2，即a2＋1

a2＋1a

a

≥a2＋2＋1a＋221

a＋a＋2，从而只要证2

a2

＋1a≥ 2a＋1a

，只要证4a2＋1a≥2

a2＋2＋1a，即a2＋1

a

2.而不等式a2＋1

a

2显然成立，故原不等式成立．

8、求证：2,3,5不可能成等差数列。

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

9、已知tansina，tansinb，求证(a2b2)216ab

达标检测

10．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex

(x＜0)，则a与b大小关系为(A)

A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b

11．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(B A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数 12.用分析法证明6722)

博兴二中2010级高三文科数学作业纸

班级：姓名：训练内容：第9节直接证明与间接证明

预计用时30分钟实际用时_________分钟

审题仔细全面，计算简洁准确，解法多中择优，过程严谨完善，字迹清晰条理，作图工整规范。

1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、等价条件 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0b2－ac<3a”索的因应是()

A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0 3．若a

1aa1

4．设a32，b65，c76，则a,b,c的大小关系是（）A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、a>c>b

5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0(a≠0)有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()

A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数 6．设x、y、z>0，a＝x＋

1，b＝y＋1，c＝z＋1

yzx，则a、b、c三数()

博兴二中2013届高三一轮复习文科数学学案

第二篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第三篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab

第四篇：5直接证明与间接证明

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5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第五篇：2．2 直接证明与间接证明 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1．知识与技能

（1）了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点． 2.过程与方法

（1）通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

（2）通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

3.情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

2.教学重点/难点

重点：综合法和分析法的思维过程及特点。难点：综合法和分析法的应用。

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

1．和

是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．

2．综合法是从

出发，经过

，最后达到待证结论．

3．分析法是从

出发，一步一步寻求结论成立的________，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.答案：综合法分析法 已知条件 逐步的推理 待证结论 充分条件

【复习引入】

【师】证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明。今天我们先学习直接证明。

新知探究

一、综合法

1、引例探究

证明下列问题：已知a,b>0,求证： 问题1：其左右两边的结构有什么特点？

【生】右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.问题2：利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系？ 【生】基本不等式 问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明 因为：所以因为所以因此

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点

2、形成概念

1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

3、应用举例

例1在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列, a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.【问题启发】

1、本题中涉及到哪几块知识？

2、从这些已知条件，可以得到什么结论？

3、怎样把它们转化为三角形中边角关系？

【分析】本题注意三个问题：首先将文字语言转化为符号语言；同时注意边角关系的转化；同时注意挖掘题中的隐含条件（内角和为）【规范解答】

证明：由 A,B, C成等差数列，有 2B=A + C ．

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=

．

由①②，得B=.由a, b，c成等比数列，有由余弦定理及③，可得

.再由④，得，因此...从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=

所以△ABC为等边三角形． 【小结】综合法的证明步骤如下：

(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；

(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．

二、分析法

1、引例探究 证明下列问题：求证:

问题1：讨论：能用综合法证明吗？ 【生】不好处理

问题2：如果从结论出发，是否能寻找结论成立的充分条件？ 【生】可以

问题3：步骤上应该怎么处理？ 【解答过程】 证明：因为所以要证只需证展开得 只需证 只需证因为 显然成立

都是正数，所以

问题4：讨论上述证明形式有什么特点？

【生】（让充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法的特点。）

【师】在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。此时我们就可采用分析法。

2、形成概念

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法。

2.思维特点：执果索因,步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。

3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充分条件)

4.分析法的书写格式：

3、应用举例 例2在锐角【问题启发】

1、有直接可以化简的公式吗？ 中,求证:

2、可以运用什么思想处理正切？（切弦互化）

3、最终可以用哪个公式来处理此题？

【分析】本题中如果只站在切的角度很难处理，所以我们用到了切化弦，毕竟弦的公式涉及的也多一些，我们平常也跟熟悉一些。然后运用分析法结合我们所需要证的目标来达成。【规范解答】 证明:要证明只需证

为钝角

恒成立

因为A、B为锐角,所以只需证只需证因为C为锐角,所以所以【小结】分析法要注意怎样处理好书写的格式，一般是从结论入手“要证—只需证—而某某结论显然成立”这种格式。

三、综合法与分析法的综合应用

【师】问题1：请同学们总结一下综合法的特点？ 【生】

1、综合法证明是证明题中常用的方法。从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论。

2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题。

【师】问题2：请同学们总结一下分析法的特点？ 【生】

1、分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p1p2，直到所有的已知P都成立；

2、分析证明题时要同样注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。

3、分析法也常用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题

【师】问题3：请同学们思考如果既要对一个题目做到既要好分析，又要好写步骤应该怎样处理？ 【生】比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（可以用在草纸用分析法，在卷面上用综合法）例3.已知

【小结】 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：

课堂小结

1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.课后习题 1．下列表述：

①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有

()A．2个

B．3个C．4个

D．5个

板书