直接证明和间接证明复习教案五篇范文

第一篇：直接证明和间接证明复习教案

高三数学教案

【课题】直接证明和间接证明能力要求:A

【学习目标】

知识与技能：了解直接证明的方法——综合法和分析法；了解间接证明的方法——反证法 过程与方法：通过师生互动，让学生掌握三种证明方法。

情感、态度与价值观：培养学生严谨的思维习惯。

【重点与难点】

能应用综合法和分析法解决一些简单的证明题。

一、知识回顾

1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法。其特点是由因导果

2、分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求推理过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）的方法。其特点是执果索因

3、反证法：其证明步骤是

（1）提出假设——假设命题的 结论不成立。

（2）推出矛盾——从 已知条件和事实出发，经过一系列正确的逻辑推理。得出 矛盾的结果。

（3）得出结论——由 矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立。

二、预习作业

1、比较大小：

2

2、下列表述：（1）综合法是执因导果法。（2）综合法是顺推法。（3）分析法是执因导果法。（4）分析法是间接证明法。（5）反证法是逆推法。正确的语句有 3个。

3、在用反证法证明命题时，“若x0,y0且xy2，则1y1x和中至少有一个xy

小于2”时，假设则1y1x和都不小于2xy4、已知ABC三个顶点的坐标分别为（5，-2），（1，2），（10，3），则ABC的形状是直角三角形

5、若ab0，则下列不等式中总成立的是

11bb1b（2）baaa

1112aba（3）ab（4）aba2bb（1）a

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，则满足xx0的最大整数解是

三、例题

例

1、在数列an中，a12,an14an3n1,nN*.(1)证明数列ann是等比数列。

(2)求数列an的前n项和sn

(3)证明不等式

例

2、ABC的三个内角A,B,C成等差数列，a,b,c为三个内角A,B,C的对边。求证：

sn14sn对任意nN*都成立。113 abbcabc

例

3、若a,b,c均为实数，且ax2y

证明：a,b,c中至少有一个大于0.23，by2z23,cz22x3，22变题：若下列三个方程：x4ax4a30，x(a1)xa0，2x22ax2a0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

四、学教小结

五、当堂反馈

1、“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是多有一个钝角。

ABC的外接圆的圆心为O，2、两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC), 则实数m的值是

1直接证明和间接证明作业卷

1、函数yf(x)是R上的偶函数，周期为2，当2

22、若函数f(x)的图像可由函数ylg(1x)的图像绕原点顺时针旋转90得到，则 0

f(x)x3、在RtABC中，A90，AB=1,则0

b1（2）ab0a2b2 a

ab（3）ab,cd,abcd0cd（1）ab0

4、给出下列命题：

（4）ab0,cd0adb其中真命题的序号是d5、若a,b,c,d,x,y是正实数，且P的大小关系为abcd，Qaxcybd，则P、Qxy6、p2x41,q2x3x2,xR，则p和q得大小关系是pq7、设等比数列an的公比为2，前n项的和为sn,sn1,sn,sn2成等差数列，则q的值为-

28、若ab0，求证：a

9、已知为a非零常数，f(xa)ab1f(x)(xR,f(x)1)，试判断f(x)是否1f(x)

为周期函数,证明你的结论。

（0，1）（1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于

10、已知a,b,c,求证1。4

第二篇：直接证明和间接证明(4个课时)教案

2．2直接证明与间接证明

教学目标：

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；

（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；

（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：

1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题证明方法的选择．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．

由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．

③求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．

（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）

（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．

有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）

④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知 结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的． 第一课时 不等式的证明（比较法）教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤． 教学重点:

比较法的意义和基本步骤.教学难点:

常见的变形技巧.教学方法； 启发引导法.教学过程：（－）导入新课

教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？

找学生回答问题．

（学生回答：，，）

［点评］要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．

目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

作差比较法

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

学生研究证明不等式，尝试完成问题． ［本问点评］

①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

③理论依据是：

④由 需证明，知：要证明

只需证

；这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

【例题示范，学会应用】

教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

例1． 求证

［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

证明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例点评］

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;

②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;

④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

例2.已知

都是正数，并且，求证：

［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．

证明：

＝

＝ ．

因为 所以

∴ 都是正数，且

． ．，即：

[本例点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是实数,且ab,求证ababab3322

证明:(ab)(abab)(aab)(abb)222233223223

2a(ab)b(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)

a,b0,ab0又ab(ab)0

2故(ab)(ab)0即(ab)(abab)0 23322ababab3322

[本例点评]

①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：

例1 已知a,b是正数,求证abab,当且仅当ab时,等号成立.abba证明:ababbabaaabbbaabab

根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)a不妨设ab0,则1,ab0,bb当且仅当ab时,等号成立.abab,当且仅当ab时,等号成立.abbaaab1小结：作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．

（最后是与1比较）

(三)课堂练习

教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．

练习：1．求证，求证

2．已知，，d都是正数，且

目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

（四）布置作业

2、已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求证：21x

14、求证：1qqq(q0)734

5、设a,bR

ab,求证：ab(ab)ab2

第二课时 综合法

●教学目标

(一)教学知识点 综合法证明不等式.(二)能力训练要求

1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点

1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)B1B2„BnB(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)ab2ab,对a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”号.abba(4)当a,b同号时有(5)abc333

3≥2,当且仅当a=b时取“=”号.3abc(a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.●教学难点

“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学过程 1.课题导入

［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)ab22ab,(a,b∈R),当且仅当a=b时取“=”号;2+(4)ab≤ab2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号;

(5)abb（6）aabc≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号；

3333abc,(a,b,c∈R),当且仅当a=b=c时取“=”号；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课

一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法有较顺利推证法或有引导果法。

下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教师引导学生，完成证明）

22证法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.证法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c为不全相等的正数.222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性质定理3的推论，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.总结：1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为Q: P1

Q1Q2 Q2Q3

…

QnQ

特点:“由因导果”

例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差数列可得什么?Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 由a,b,c成等比数列可得什么?

3、课堂练习

1、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，求证： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、课后作业

1．a

A．ab+

C．

1a1b

2（）

1

a2B．|a|>－b b22 D．b>a

2．a,b∈R，M=,Aab2,Gab,H11a21b，则M、A、G、H间的大小关系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a+b 2

2（）

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求证：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c为正实数，求证：bcaacbabcabc

第三课时 分析法

●教学目标

(一)教学知识点 分析法证明不等式.(二)能力训练要求

1.理解分析法证明不等式的原理和思路.2.理解分析法的实质——执果索因,熟练掌握分析法证明不等式.(三)德育渗透目标

分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.●教学重点

分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又„„只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:BB1B2„BnA.●教学难点

1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定„„成立”等.●教学过程

1.课题导入

［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的.今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法.2.讲授新课

证明不等式时,有时可以从求证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、定理或以证明的定理、性质等）从而得出要证的命题成立，.这种证明方法通常叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法

下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.例1 求证基本不等式ab2ab(a0,b0)

例2 求证2736 证明: 所以要证227和3726都是正数,6,6),23只需证(27)(3展开得92149218,只需证1418，只需证1418,1418成立,所以2 736成立.说明：证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“14<18”

入手.因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例2 已知，ksin+cos=2sin,sincossin 1tan1tan求证：221tan2(1tan)2222(kZ)且

3.课时小结

这节课,我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时,其叙述方式很重要,必须突出分析法的语言“特色”,如:“欲证„„成立,只需证„„”或采用符号“”或 “”.还要注意,用“分析法”证明不等式的一大优点是,当我们面对一个不等式的证明而一筹莫展,无法下手时,它给我们提供了一个方法,即从目标不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的过程中,会逐渐发现解题思路.因此,分析法从本质上说,只是对问题作尝试与探索的过程(即执果索因).在运用“分析法”时,典型的错误是把所证不等式当作已知条件,如证明命题“若A则B”,错误地写成:“因为B成立,则„„”.希望同学们很好掌握

4、课堂练习

课本89页 练习1,2,3.5、课后作业

1．622与57的大小关系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：2a12b122.3．若x,y是正实数，xy1，求证：(1)(1)9

xy114．已知

1tan2tan1，求证：3sin24cos2

第4课时

反证法

●教学目标

(一)教学知识点 1.反证法的概念.2.反证法证题的基本方法.(二)能力训练要求 1.初步掌握反证法的概念.2.理解反证法证题的基本方法.3.培养学生用反证法简单推理的技能.(三)德育渗透目标 培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.●教学重点 1.理解反证法的推理依据.2.掌握反证法证明命题的方法.3.反证法证题的步骤.●教学难点 理解反证法的推理依据及方法.●教学过程

1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.2.讲授新课

反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.例1 已知x,y0,且xy2,试证1x1y,中至少有一个小于2.yx

证明:假设1x1y1x1y,都不小于2,即2,且2,yxyxx,y0,1x2y, 1y2x,2xy2(xy)xy2,这与已知条件xy2矛盾.1xy与1yx中至少有一个小于2

1例

2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b,(1  b)c,(1  c)a,不可能同时大于4

证：设(1  a)b >4,(1  b)c >4,(1  c)a >4，1则三式相乘：ab <(1  a)b•(1  b)c•(1  c)a <64 ①

(1a)a0(1a)a2又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1b)b14(1c)c14214

同理：，1以上三式相乘：(1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤64 与

①矛盾

∴原式成立

例3如果a，b，且a//b，已知直线a，b和平面，a

求证： a//bp例

4、求证：2是无理数

3.课时小结

反证于以下两种情形

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语

是－－－不是

有－－－没有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有

都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个

至少有一个有（是）－－全部没有（不是）至少有一个不－－－－－全部都

4、课堂练习

课本 91页 练习1,2

5、作业布置

课本 91页 1,2,4

补充教案

放缩法

●教学目标

教学知识点

（一）1.放缩法的概念.2.放缩法证题的基本方法.(二)能力训练要求 1.初步掌握放缩法的概念.2.理解放缩法证题的基本方法.3.培养学生用放缩法简单推理的技能.(三)德育渗透目标：证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.●教学重点 1.理解放缩法的推理依据.2.掌握放缩法证明命题的方法.●教学难点 理解放缩法的推理依据及方法.●教学过程

1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.2.讲授新课

反

放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.例1 已知a,b,c,dR,求证1aabdbbcaccdbddac 2证明: a,b,c,d0,aabcdbabcdcabcddabcdaabdbbcaccdbddac

把以上四个不等式相加 得abcdabcd 即1aabd112aabdbbbcacccbddddac2ababcdcd.bca131n22cba1n2dac例

2、求证： ∴11212221证明：

131n11n1n21n(n1)1n1n11n

12213211122

2、.课时小结

放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:(1)舍掉(或加进)一些项;(2)在分式中放大或缩小分子或分母;(3)应用基本不等式进行放缩.如(a1k212)1234(a,1212);1,1k2kk1,2

k(k1)k2kk(k1)1kk1(以上k2且kN)

4、课后作业

1、设x > 0, y > 0,axy1xy, bx1xy1y，求证：a < b

111112、12nn1n22n(nN)



第三篇：5直接证明与间接证明

龙源期刊网 http://.cn

5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第四篇：推理与证明-13.2 直接证明与间接证明(教案)

响水二中高三数学（理）一轮复习

教案第十三编推理与证明主备人张灵芝总第67期

§13.2 直接证明与间接证明

基础自测

1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.答案充分 2.若a＞b＞0,则a+答案＞

3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.①反证法 答案②

4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.①假设a、b、c都是偶数；②假设a、b、c都不是偶数

③假设a、b、c至多有一个偶数；④假设a、b、c至多有两个偶数 答案②

5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.； 答案充要

②分析法

③综合法

1b

b+

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

例题精讲

例1设a,b,c＞0,证明：

a

2b



b

2c



c

a

≥a+b+c.a

证明∵a,b,c＞0，根据基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,c

c

a

+a≥2c.三式相加：

b

+

b

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).即

1a

b

+

b

c

1a

+

a

≥a+b+c.例2（14分）已知a＞0,求证： a2证明要证a2

1a

-2≥a+

1a

-2.1a

-2≥a+

1a

-2,只要证a2

+2≥a++2.2分

∵a＞0,故只要证



a



1a

12≥（a++a

2）,2

6分

427

即a+

1a

+4a2

1a

+4≥a+2+



1a

+22a





1

+2, a

8分

从而只要证2a2

只要证4a

1a

≥2a

1

,a

10分

1112

≥2（a+2+）,即a2+≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立.14分 222aaa

例3若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：证明假设

1xy

1xy

＜2与

1xy

1yx

＜2中至少有一个成立.1yx

＜2和

1yx

＜2都不成立，则有≥2和≥2同时成立，因为x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y＞2相矛盾，因此

1xy

＜2与

1yx

＜2中至少有一个成立

.巩固练习

1.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞abc(a+b+c).证明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c为互不相等的非负数，∴上面三个式子中都不能取“=”，∴a+b+c＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c为互不相等的非负数，∴ab+bc+ac＞abc(a+b+c),∴a2+b2+c2＞abc(a++c).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式a



2511

证明要证ab≥

4ab



2511

b≥

4ab

.,只需证ab+

a

bab



1≥

54，只需证4(ab)+4(a+b)-25ab+4≥0,只需证4(ab)+8ab-25ab+4≥0, 只需证4(ab)2-17ab+4≥0,即证ab≥4或ab≤而由1=a+b≥2ab,∴ab≤

14,只需证ab≤



14，成立.显然成立，所以原不等式a

2511

b≥

4ab

3.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明方法一假设三式同时大于，即(1-a)b＞

4,(1-b)c＞

14,(1-c)a＞

14,428

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞同理（1-b）b≤

41aa

.又(1-a)a≤642

=

14，(1-c)c≤

14,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,这与假设矛盾，故原命题正确.14

2方法二假设三式同时大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1a)b

≥(1a)b＞=,同理

(1b)c

＞

12,(1c)a

＞

12,三式相加得

＞

32,这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确

.回顾总结知识 方法

思想

课后作业

一、填空题

1.（2008·南通模拟）用反证法证明“如果a＞b,那么a＞b”假设内容应是.答案a=b或a＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

b

2,q=logc



1a



，则p,q的大小关系

3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序号是.①（a*b）*a=a ③b*(b*b)=b答案②③④

②［a*(b*a)］*(a*b)=a ④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）

429

答案锐角钝角

5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正确命题的序号是

.答案①

6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）

答案②③

二、解答题

7.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，„），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,„)，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=

an2

n

(n=1,2,„),求证：数列{cn}是等差数列；

（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.（1）证明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,„), 即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,„),∴bn+1=2bn.由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.430

（2）证明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n.∵cn=

an2

n

(n=1,2,„),∴cn+1-cn=

an12

n1

an2

n

=

an12an

n1

=

bn2

n1

.将bn=3·2n-1代入得

cn+1-cn=(n=1,2,„),由此可知，数列{cn}是公差为

a12

34的等差数列，它的首项c1==

12，故cn=

n-

(n=1,2,„).-2

（3）解∵cn=n-=

(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n(n=1,2,„)

当n≥2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也适合于此公式，所以{an}的前n项和公式为Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.证明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c为任意三角形三边长，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S ∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：（1）a2+b2+c2≥

;(2)3a2+ 3b2+3c2≤6.13

证明（1）方法一a2+b2+c2-13

=

(3a2+3b2+3c2-1)=

［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］

=(3a+3b+3c-a-b-c-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)+(b-c)+(c-a)］≥0∴a+b+c≥

.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥

1313

.方法三设a=∴a+b+c=（+,b=

+,c=

+.∵a+b+c=1,∴++=0

+）+（+）+（+）=

+

(++)+++

222

431

=

+2+2+2≥

∴a2+b2+c2≥

.=

3a32

(2)∵3a2=(3a2)1≤

3a21,同理3b2≤

3b32,3c2≤

3c32

∴3a2+3b2+3c2≤

x2x1

3(abc)9

=6∴原不等式成立.10.已知函数y=ax+(a＞1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；

（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,由于a＞1,∴ax2x1＞1且ax1＞0, ∴a∴

x2

-ax1=ax1(ax2x1-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,-x12x11

x22x21

=

(x22)(x11)(x12)(x21)

(x11)(x21)x22x21

=

3(x2x1)(x11)(x21)

＞0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x12x11

＞0,故函数f(x)在(-1,+∞）上为增函数.x02x01

（2）方法一假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则ax0=-∵a＞1,∴0＜ax0＜1,∴0＜-x02x01

.＜1,即

＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，则②若x0＜-1,则

x02x01

＜-2,ax0＜1,∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.x02x01

＞0,ax0＞0,∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.432

第五篇：直接证明与间接证明-分析法学案(!)

2.2.2直接证明与间接证明—分析法

班级：姓名：

【学习目标】：

（1）结合教学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：分析法（2）通过教学实例，了解综合法的思考过程、特点

（3）通过教学实例了解分析法的思考过程、特点；体会分析法和综合法的联系与区别【学习过程】：

变式练习1：求证7225

自主学习

1：从要证明的，逐步需寻求是它成立的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、、、等），这种证明方法叫分析法。

2：分析法是一种…，它的特点是。

合作学习

1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

2：综合法与分析法的区别是什么？

课堂练习

例1：求证：372

例2.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证：AF⊥SC

变式训练2：已知a0，求证a21a2

2a1a2

【课后检测】：

1：校本教材P55页作业与测试。