2014年高考数学重点知识点： 直接证明与间接证明（本站推荐）

第一篇：2014年高考数学重点知识点： 直接证明与间接证明（本站推荐）

一、选择题

1．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac<3a”索的因应是()

A．a－b>0

C．(a－b)(a－c)>0B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 b－ac<3a⇔b2－ac<3a

2⇔(a＋c)2－ac<3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇔－2a2＋ac＋c2<0

⇔2a2－ac－c2>0

⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C

2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()

A．2ab－1－ab≤0

a＋b2C.－1－a2b2≤0222a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D

3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()

A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数

D．假设a、b、c至多有两个偶数

解析：“至少有一个”的否定“都不是”．

答案：B

4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜b D．a≤b

解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A

5．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有

x＋xfx＋fxf()<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()2

2A．y＝log2x

C．y＝x2B．y＝x D．y＝x

3解析：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：

x1＋x2fx1＋fx2欲证f 22

x1＋x22x1＋x22即证<即证(x1＋x2)2<2x21＋2x2.22

即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证．

答案：C

二、填空题

6．(2012·肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

解析：由条件得cn＝an－bnn＋1－n＝

∴cn随n的增大而减小．

∴cn＋1

7．(2012·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)

12解析：若a＝，ba＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③

三、解答题

8．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若113，a＋bb＋ca＋b＋c1 n＋1＋n2

2试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解：A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵

∴

∴113＋ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＝3.a＋bb＋cca＋1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝＝，2ac2ac

2∵0°

9．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

2(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2

故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋„＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－21－2n

＋„＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＋＋nn2因为bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2

＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)＋＋＋＋

＝－2n<0，所以bn·bn＋2

解：f(a)＋f(c)>2f(b)．

证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋cac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)．

第二篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第三篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab

第四篇：5直接证明与间接证明

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5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第五篇：35 直接证明与间接证明

【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业35第五节 直接证明与间接证明

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山东卷)若对任意x>0a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋

1xx解析：若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因为x>0，设y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1当且仅当x＝ x

1所以a的取值范围是[∞)．

51答案：[)5

1113．设a、b、c都是正数，则ab＋，c＋三个数_______． bca

①都大于

2②至少有一个大于2 ③至少有一个不大于2

④至少有一个不小于2

111111解析：假设三个数都小于2，则a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，与假设矛盾．故④正确．

答案：④

1－x4．(2011年盐城质检)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易证f(x)＝是奇函数，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小关系为________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a＞2)上单调递增且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a③f＞f(－a)1＋aa＋12＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2当a＞2时，1－3a＜0，又f(x)为奇函数，1－3a＝－f3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f1＋a1＋a

3a－13a－1＜f(a)⇔3a－1＜a 且1，∴③即f1＋a1＋a1＋a

23a－1－a－1⇔a0，∴③成立； 1＋a1＋a

3a－1＜f(2)⇔3a－1－2a－3<0，对于④，有f1＋a1＋a1＋a

a－3由于a>2时a－3的符号不确定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b为常数，则________． x1－x

2a2b2b2x2a1－x解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通调研)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，试用分析法证明：||＜1.1－xy

证明：因为|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要证|＜1，1－xy

x－y2只需证|＜1.1－xy

⇐|x－y|2＜|1－xy|2

⇐x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

⇐x2＋y2－1－x2y2＜0

⇐(y2－1)(1－x2)＜0

⇐(1－y2)(1－x2)＞0，因为|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，从而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如图所示，已知△ABC是锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求证：H不可能是△SBC的垂心．

证明：假设H是△SBC的垂心，则BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.这与△ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能为△ABC的垂心．

11．(探究选做)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈<[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．

证明如下：

显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0；

也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．