高考数学知识梳理复习题1-直接证明与间接证明（推荐阅读）

第一篇：高考数学知识梳理复习题1-直接证明与间接证明

高考数学知识梳理复习题1_

1第2讲 直接证明与间接证明

★知识梳理★

三种证明方法的定义与步骤：

1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。

2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。

3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立

★重难点突破★

重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

1.从命题的特点、形式去选择证明方法

①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法

问题1：对于任意非零实数x,y(xy)，等式111总不成立 xyxy

点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明

2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。

★热点考点题型探析★

考点1综合法

题型：用综合法证明数学命题

[例1 ](东莞2007—2008学年度第一学期高三调研测试)

对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，总有f(x)0；②f(1)1；③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

x(2)判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；

x【解题思路】证明函数g(x)21（x[0,1]）满足三个条件

[解析]（1）取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0．

又由条件①f(0)0，故f(0)0．

x（2）显然g(x)21在[0，1]满足条件①g(x)0；

也满足条件②g(1)1．若x10，x20，x1x21，则

g(x1x2)[g(x1)g(x2)]2x1x21[(2x11)(2x21)]

2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件③，故g(x)理想函数．

【名师指引】紧扣定义，逐个验证

【新题导练】

1.(2008年佛山)证明:若a,b0,则lgablgalgb 2

2abab，2

ablgab，两边取对数，得lg2

lgablgalgb又lgab 22[解析]当a,b0时，当a,b0时lgablgalgb 22

2.在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC

[解析]ABC为锐角三角形，AB

2A

2B，ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB 22

同理可得sinBcosC，sinCcosA

sinAsinBsinCcosAcosBcosC

3..已知数列{an}中各项为：12、1122、111222、„„、111222„„,证明这个数列中的每一项都是两

个 个 nn个相邻整数的积.[解析]a

1n9(10n1)10n

29(10n1)

1n

9(10n1)(10n2)(101

3)(10n1

31)

10n

记：A =1

3 ,则A=333为整数

n

an= A(A+1)，得证个

考点2分析法

题型：用分析法证明数学命题

[例2 ] 已知ab0,求证aab

[解析]要证abab，只需证()2(ab)2

即ab2abab，只需证bab，即证ba

显然ba成立，因此abab成立

【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”

【新题导练】

4.若abcd0且adbc，求证：dabc

[解析]要证dabc，只需证(da)2(bc)2

即ad2adbc2，因adbc，只需证ad

即adbc，设adbct，则adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0

adbc成立，从而dac成立

5.已知a,bR,ab1，求证：(a2)2(b2)22

5[解析](a2)2(b2)225a2b24(ab)825a2b21

222

a2(1a)21

2(a1

2)20，(a1)20显然成立，故(a2)2(b2)225

22成立

考点2反证法

题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假

[例3 ] 已知f(x)axx2

x1(a1)，证明方程f(x)0没有负数根

【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾

[解析]假设xx

0是f(x)0的负数根，则x00且x0x02

01且ax

01

0ax0101x021，解得x02，这与x00矛盾，2x01

故方程f(x)0没有负数根

【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

【新题导练】

6.（08江西5校联考）某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立，现在已知当n5时该命题不成立，那么可推得

A.当n6时，该命题不成立B.当n6时，该命题成立

C.当n4时，该命题不成立D.当n4时，该命题成立

[解析]用反证法，可证当n4时，该命题不成立

7.设a、b、c都是正数，则a111、b、c三个数 bac

A.都大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个不小于

2111ac6，举反例可排除A、B、C，故选D bba

1118.已知a、b、c成等差数列且公差d0，求证：、、不可能成等差数列 abc

[解析] a、b、c成等差数列，2bac 111211122、假设成等差数列，则(ac)4ac(ac)0，ac从而d0与d0矛盾，abcbaca11、不可能成等差数列 bc[解析] a,b,c,0a

9.（广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试）

[解析]lg92lg3，所以3和9的对数值正确，若lg153abc1正确，则lg5ac

从而lg83(1lg5)，即lg833a3c，矛盾。

故15的对数值错误，应改正为lg153abc

★抢分频道★

基础巩固训练

1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于60”时，应假设（）

A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60

C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于60

[解析] B

2.已知p3q32，关于pq的取值范围的说法正确的是（）

A.不大于22B.不大于2C.不小于2D.不小于2

2[解析] B

3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

[解析] B

4.要证明不等式6722成立，只需证明：[解析](6)2(225)2 00000

2与22的大小关系是a22

2222（注意：不能取等号）[用平均值不等式] [解析] a22a2

6.(07年惠州第一问)已知数列an满足a15, a25，an1an6an1(n2)． 5.已知 a22

求证：an12an是等比数列；

[解析]由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)

∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝1

5故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列

综合提高训练

7.（金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

请你指出这两个错误．（答案写成如lg20≠a＋b－c的形式）

[解析]若lg32ab错误，则lg92(2ab)也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但lg1.5lg614a2blg9，lg32ab、lg92(2ab)且lg1.53abc，若lg5ac错误，则lg61lg3lg51abc也错误，lg5ac正确

lg61abc正确，lg83(lg6lg3)3(1ac)若lg61abc错误，也能导出lg5ac错误，正确，lg121a2b，综上lg1.53abc，lg121a2b

a2xa28.设函数f(x)为奇函数.2x1

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）用定义法判断f(x)在其定义域上为增函数

[解析]（Ⅰ）依题意，函数f(x)的定义域为R

∵f(x)是奇函数

∴f(x)f(x)

a2xa2a2xa2∴ xx2121

x∴2(a1)(21)0

a1

2x1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)x 21

设x1x2且x1,x2R，则

2x212x11222(2x22x1)1f(x2)f(x1)x20 1212x112x212x11(2x21)(2x11)

∴f(x2)f(x1)

∴f(x)在R上是增函数

9.已知f(x)lnx证明： f(1x)x(x1)

[解析]即证：ln(x1)x0

1x1设k(x)ln(x1)x,则k

(x).x1x1

当x∈（-1，0）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；

当x∈（0，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；

∴x=0为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(0)=0.即ln(x1)x0f(1x)

x

(x1)

11t)(x0)的最小值恰好是方程x3ax2bxc0的y(x2x

2三个根，其中0t1．求证：a2b3；

[解析]三个函数的最小值依次为1，10.已知函数y|x|1，y

由f(1)0，得cab1

∴f(x)x3ax2bxcx3ax2bx(ab1)(x1)[x2(a1)x(ab1)]，故方程x2(a1)x(ab1)

(a

1)ab1．

2(a1)2，即22(ab1)(1)a∴a22b3．

参考例题：

1.设,为非零向量，且,不平行，求证，不平行

[解析]假设()，则(1)(1)，,不平行，10

10，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立



2.已知为锐角，且tan21，函数f(x)x2tan2xsin(2

4)，数列{an}的首项a1

12,an1f(an).⑴ 求函数f(x)的表达式；

⑵ 求证：an1an；

⑶ 求证：11a2(n2,nN*)

11a21an

[解析] ⑴tan22tan2(21)

1tan21(21)21又∵为锐角

∴2

4∴sin(24)1f(x)x2x

⑵ a2a1

n1anan∵12∴a2,a3,an都大于0

∴a2

n0∴an1an

⑶11111

a2aan1annan(1an)n1an

∴111

1a

nanan1

∴1

1a1

1a1

a1111111121121na1a2a2a3anan1a1an1an1

∵a1213323

2(2)24, a3(4)41 ,又∵n2an1an

∴aa1

n131∴12a2

n1

∴11

1a112

11a21an5

第二篇：直接证明与间接证明

乡宁三中高中部“自主、互助、检测”大学堂学案数学选修2-22014 年3月4日 课题：直接证明与间接证明

主备人：安辉燕参与人：高二数学组1112.①已知a,b,cR，abc1，求证：9.abc

②已知a，b，m都是正数，并且ab.求证:ama.学习任务：

①了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法；并会用直接法证明一般的数

学问题

②了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点；会用反证

法证明一般的数学问题 3.求证725

自学导读：

阅读课本P85--P91，完成下列问题。

1．直接证明----综合法、分析法

(1)综合法定义：

框图表示：

问题反馈：

思维特点是：由因导果

(2)分析法定义：

框图表示：

思维特点：执果索因

2．间接证明----反证法

定义：

步骤：

思维特点：正难则反 拓展提升：

3.讨论并完成课本例1--例5 设a为实数，f(x)x2axa.求证：

自主检测：

1.如果3sinsin（2+），求证：tan()2tan.-bmbf(1)与f(2)中至少有一个不小于12.

第三篇：6.6 直接证明与间接证明修改版

高三导学案学科 数学 编号 6.6编写人 陈佑清审核人使用时间

班级：小组：姓名：小组评价：教师评价：课题：（直接证明与间接证明）

【学习目标】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点。

【重点难点】

重点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

难点 ：了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案

一、知识梳理

1． 直接证明

(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．

②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．

(2)分析法

①定义：从出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．

②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件.2． 间接证明

反证法：假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法．

二、基础自测

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法。其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.）

A．综合法

B．分析法C．反证法D

．归纳法

3.用反证法证明“如果a

b）

A



D4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．

5.下列条件：①ab0，②ab0，③a0,b0，④a0,b0，其中能使

是。ba2成立的条件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2abc。例

1、设a,b,c0，证明bca

例

2、已知函数f(x)tanx,x(0,xx21)，)。若x1,x2(0,)，且x1x2，[f(x1)f(x2)]f(1 222

2例

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列。

二、总结整理

训练案

一、课中训练与检测

1.设a，b为正实数．现有下列命题：

11①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则ba

|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

2.已知a

01a2。a

二、课后巩固促提升

已知a0,b0，且ab2，求证1b1a,中至少有一个小于2.ab

第四篇：5直接证明与间接证明

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5直接证明与间接证明

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

直接证明与间接证明贯穿在整张高考卷的始终，解题过程中处处离不开分析与综合.近年高考解答题的证明，主要考查直接证明，难度多为中档或中偏高档；有时以解答题的压轴题的形式呈现，此时难度为高档，分值约为4～8分.对于间接证明的考查，主要考查反证法，只在个别地区的高考卷中出现，难度一般为中档或中偏高档，分值约为4～6分.以数列、函数与导数、立体几何、解析几何等知识为背景的证明.（1）综合法解决问题的关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件.分析法解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找结论的充分条件.因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程，相得益彰.（2）对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，常考虑用反证法来证明.一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，从而说明假设错误，从反面证明原命题成立.

第五篇：35 直接证明与间接证明

【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业35第五节 直接证明与间接证明

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山东卷)若对任意x>0a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋

1xx解析：若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因为x>0，设y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1当且仅当x＝ x

1所以a的取值范围是[∞)．

51答案：[)5

1113．设a、b、c都是正数，则ab＋，c＋三个数_______． bca

①都大于

2②至少有一个大于2 ③至少有一个不大于2

④至少有一个不小于2

111111解析：假设三个数都小于2，则a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，与假设矛盾．故④正确．

答案：④

1－x4．(2011年盐城质检)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易证f(x)＝是奇函数，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小关系为________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a＞2)上单调递增且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a③f＞f(－a)1＋aa＋12＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f

解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2当a＞2时，1－3a＜0，又f(x)为奇函数，1－3a＝－f3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f1＋a1＋a

3a－13a－1＜f(a)⇔3a－1＜a 且1，∴③即f1＋a1＋a1＋a

23a－1－a－1⇔a0，∴③成立； 1＋a1＋a

3a－1＜f(2)⇔3a－1－2a－3<0，对于④，有f1＋a1＋a1＋a

a－3由于a>2时a－3的符号不确定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b为常数，则________． x1－x

2a2b2b2x2a1－x解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通调研)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，试用分析法证明：||＜1.1－xy

证明：因为|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要证|＜1，1－xy

x－y2只需证|＜1.1－xy

⇐|x－y|2＜|1－xy|2

⇐x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

⇐x2＋y2－1－x2y2＜0

⇐(y2－1)(1－x2)＜0

⇐(1－y2)(1－x2)＞0，因为|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，从而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如图所示，已知△ABC是锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求证：H不可能是△SBC的垂心．

证明：假设H是△SBC的垂心，则BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.这与△ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能为△ABC的垂心．

11．(探究选做)对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈<[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．

(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)⇒f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．

证明如下：

显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0；

也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．