专题一三角函数的化简、及证明

第一篇：专题一三角函数的化简、及证明

三角函数专题

专题一三角函数的化简、求值及证明

一、知识网络建构

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1

⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S180弧度，1弧度(180)5718' 11lRR2。2

22．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P(x,y),设|OP|r 则：

sinyxy,cos,tan rrx

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

sinx5．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;tanx cosx

6．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin； tan()tantan.1tantan

222

2②sin()sin()sinsin；cos()cos()cossin.③asin

bcos)(其中,辅助角所在象限由点(a,b)所在的象

限决定,tanb).a

27．二倍角公式：①sin22sincos.(sincos)12sincos1sin2

②cos2cossin2cos112sin（升幂公式）.2222

cos21cos21cos2（降幂公式）.,sin222

二、考纲要求及考试方向

1、了解任意角的概念、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

2、理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，理解同角三角函数的基本关系。3、能利用单位圆中的三角函数线推导出

4、两角和与差的三角函数公式

(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

5．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)的正弦、余弦、正切的诱导公式

考试方向： 三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点.它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力．

三、基本概念检测

1、课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，25y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.52、（2010福建理数）计算sin43cos13-sin13cos43的值等于（）

3、若,(0,)，cos71,tan，求α+2β=.350

4、（2010全国卷1理数）(14)已知为第三象限的角，cos23,则

5π120，5、课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈且sinα＋cos2α＝，则tanα的值等于()246、（江苏泰兴市重点中学2011届）（14分）已知a1,cosx,b,sinx,x0,

（1）若//，求tan(2).413sinxcosx的值； sinxcosx

（2）若，求sinxcosx的值。

7、（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）．已知函数f(x)x3bx的图象在点

A(1,f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)3sin2xbcos2x的最大值是（）

ππ－，则α＋β＝()

8、已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，α，β∈2222A.B．－ 3

31212C.或－ D.π或 33330＜＜9（浙江理6）若1cos()-＜

＜0cos()

42，则2，243，cos(

2)

A．

B．

C．D．

10、（2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k,那么tan100

四、典型例题分析

例

1、（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）

在ABC中，ACcosB。ABcosC

（Ⅰ）证明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-

例

2、（2009湖南卷文）（每小题满分12分）1，求sin4B的值。33

已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).（Ⅰ）若a//b，求tan的值； （Ⅱ）若|a||b|,0,求的值。

例

3、(1)求值：

（2）、化简logcos40°＋sin50°1＋3tan10°1＋cos40°2sin 3π7π＋log2sin________． 88（3）、（2010上海文数）19.（本题满分1

2分）

已知0x

2，化简：

xlg(cosxtanx12sin2)x)]lg(1sin2x).22

例4 [2011·广东卷]

1π已知函数f(x)＝2sin3x－6，x∈R.(1)求f(0)的值；

ππ1060，f3α＋＝f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．(2)设α，β∈2132

5例5.（湖南理17）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；



sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

例

6、在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）设

Tn，再令anlgTn,n≥1.{an}的通项公式； 求数列bntanantanan1,{bn}的前n项和Sn.五、反馈训练

1、（2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题： p1：xR, sin2p3: x0,

其中假命题的是 x12x+cos=p2: x,yR, sin(xy)sinxsiny 222sinxp4: sinxcosyxy

2（A）p1，p4（B）p2，p4（3）p1，p3（4）p2，p32、（2009上海卷文）函数f(x)2cosxsin2x的最小值是

3.（2010江苏卷）

10、定义在区间0,2

上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点2

为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为

4、课标文数5.C8[2011·浙江卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()

5、（2009上海卷文）已知函数f(x)sinxtanx。项数为27的等差数列{a

n}满足

则当d0,若f(a1)f(a2)...f(a27)0，f(ak)0.。

6、（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧

连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不

在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则

cos

13cos2

33sin1

3sin23

3____________.7、（2010福建文数）16.观察下列等式：

① cos2a=2cosa-1;

② cos4a=8cosa-8cosa+ 1;

③ cos6a=32cosa-48cosa+ 18cosa-1;

④ cos8a=128cosa-256cosa+ 160cosa-32cosa+ 1;864264242

2⑤ cos10a= mcosa-1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa-1． 可以推测，m – n + p =． 108642

f(x)tan(2x),4

8、已知函数

（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期； 

（II）设0,4f()2cos2,，若2求的大小． 

11，9、已知0，为f(x)cos2x的最小正周期，atan，4

2cos2sin2()b(cos，2)，且abm．求的值． cossin

10、设  [0, 

2],且 cos2+2msin-2m-2<0 恒成立,求 m 的取值范围.3π41π，，tanβ＝－β∈π，求cos(α＋β)．(2)已知cosα＝－，α∈22

5311、[2010·四川文数](1)①证明两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； ②由Sα＋β推导两角和的正弦公式Sa＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.六、自我反思与总结

1、反思自己的问题：

2、存在的疑惑有哪些

第二篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第三篇：2012.2.1(1.2化简与证明)

高一三角函数（化简与证明）

选择题

1、已知cosα= － 12，α∈（π，2π），则tanα的值是（）1

355125AB．C．D．±13125123、若是第二象限角，则tan11化简的结果是（）sin2

A．1B．－1C．tan2αD．－tan2α



6、若为二象限角，且cossin2sincos，那么是（）2222

2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

17、若tanx2, 则的值为（）sinx3cosxcosxsinxA．3B．5C．3D．

512tanx

8、函数fx值域中元素的个数是（）21cosxtanx12cosx

A．1个B．2个C．3个D．4个

填空题

1、化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β=．

2、化简

2sin40cos40sin40sin402=．

sinsin = －2 tanα，则角的取值范围是． 1sin1sin

79、已知是三角形的内角，且sincos，则tan 134、若

10、已知sin+cos=，那么角是第______象限的角.解答题

1、化简：tanα（cosα－sinα）＋

sin(sintan)． 1cos152、求证：12sincostan1． sin2cos2tan

14、已知cosB = cosθsinA , cosC = sinθsinA，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C = 2．

5、已知sinsin21，求3cos2cos42sin1的值．

cossin

8、若tan，求值：①sin,cos； ② ； ③ 2sin2sincoscos2；cossin

④sincos。

11、已知x是锐角，求函数y(43sinx)(43cosx)的最小值。

m21解：y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx，令sinx+cosx=m则m∈（12]，并且有sinxcosx=,27947从而有y=(m)2，易得ymin=。2232

参考答案

一、选择题

BABBDCDD

二、填空题1、1；

2、-1；

3、1tan；

32k,kZ

4、2k2

2三、解答题

1、sin

2sin2cos22sincossincos

2、左边 2222sincossincos

sincostan1右边．sincostan

13、∵tancotsin2tancos2cot1sin2tan1cos2cot cos2tansin2cotcossinsincos2sincos ∴sin2tancos2cot2sincostancot．

4、∵cos2Bcos2sin2A，cos2Csin2sin2A，∴cos2Bcos2Ccos2sin2sin2A，即：1sin2B1sin2Csin2A，∴sin2Asin2Bsin2C2． 

第四篇：函数的证明方法

一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数

第五篇：构造函数证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1.设：a、b、c∈R，证明：a2acc23b(abc)0成立，并指出等号何时成立。

解析：令f(a)a2(3bc)ac23b23bc

⊿＝(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)0，∴a2acc23b(abc)0恒成立。

当⊿＝0时，bc0，此时，f(a)a2acc23ab(ac)20，∴abc时，不等式取等号。

4例2.已知：a,b,cR且abc2,a2b2c22，求证： a,b,c0,。

3abc222解析：2 消去c得：此方程恒成立，a(b2)ab2b10，22abc2∴⊿＝(b2)24(b22b1)3b24b0，即：0b4同理可求得a,c0,

34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式

对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

由f(x)0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3.设a,b,c,dR且abcd1，求证：4a14b14c14d1﹤6。解析：构造函数：

f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)

2＝8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1，求解析：构造函数f(x)(＝(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2

1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0（当且仅当a,b,c时取等号），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0

abc111149

∴当a,b,c时，()min36 632abc

构造函数证明不等式

1、利用函数的单调性

+例

5、巳知a、b、c∈R，且a bmb[分析]本题可以用比较法、分析法等多种方法证明。若采用函数思想，构造出与所证不等式密切相关的函数，利用函数的单调性来比较函数值而证之，思路则更为清新。

ax+，其中x∈R，0

bxbx证明：令 f（x）= ∵b-a>0 ba+ 在R上为减函数 bxba+从而f（x）= 在R上为增函数

bx∴y= ∵m>0 ∴f（m）> f（0）

∴ama> bmb例

6、求证：ab1ab≤

ab1ab（a、b∈R）

[分析]本题若直接运用比较法或放缩法，很难寻其线索。若考虑构造函数，运用函数的单调性证明，问题将迎刃而解。

[证明]令 f（x）=

x，可证得f（x）在[0，∞)上是增函数（证略）1x 而 0<∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）

即： ab1ab≤

ab1ab

[说明]要证明函数f(x)是增函数还是减函数，若用定义来证明，则证明过程是用比较法证明f(x1)与f(x2)的大小关系；反过来，证明不等式又可以利用函数的单调性。

2、利用函数的值域

例

7、若x为任意实数，求证：—

x11≤≤ 221x2[分析]本题可以直接使用分析法或比较法证明，但过程较繁。联想到函数的值域，于是构造函数f（x）= x11，从而只需证明f(x)的值域为[—，]即可。

1x222x2证明：设 y=，则yx-x+y=0 21x ∵x为任意实数 ∴上式中Δ≥0，即（-1）-4y≥0 1 411得：—≤y≤

22x11 ∴—≤≤

21x22 ∴y≤2[说明]应用判别式说明不等式，应特别注意函数的定义域。

另证：类比万能公式中的正弦公式构造三角函数更简单。

例

8、求证：必存在常数a，使得Lg（xy）≤ Lga.lg2xlg2y

对大于1的任意x与y恒成立。

[分析]此例即证a的存在性，可先分离参数，视参数为变元的函数，然后根据变元函数的值域来求解a，从而说明常数a的存在性。若s≥f(t)恒成立，则s的最小值为f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，则s的最大值为f(t)的最小值。

22证明：∵lgxlgy > 0(x>1,y>1)∴原不等式可变形为：Lga≥

lgxlgylgxlgy22

2（lgxlgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1222222lgxlgylgxlgylgxlgylgxlgy 而 lgx>0,lgy>0, ∴lgx+lgy ≥ 2lgxlgy > 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgxlgy ∴ 1

从而要使原不等式对于大于1的任意x与y恒成立，只需Lga≥2即 a≥10

2即可。

故必存在常数a，使原不等式对大于1的任意x、y恒成立。

3、运用函数的奇偶性

xx<(x≠0)12x2xx 证明：设f（x）=-(x≠0)x122 例

9、证明不等式：

xxx2xx ∵f（-x）=-= x+ x122212xxx

[1-(1-2)]+ 12x2xx =-x+= f(x)x122 = ∴f(x)的图象关于y轴对称

x ∵当x>0时，1-2<0，故f(x)<0 当x<0时，根据图象的对称性知f(x)<0 故当 x≠0时,恒有f(x)<0 即：xx<(x≠0)x122 [小结]本题运用了比较法，实质是根据函数的奇偶性来证明的，本题也可以运用分类讨论思想。但利用偶函数的轴对称性和奇函数的中心对称性，常能使所求解的问题避免复杂的讨论。