高中数学三角函数的证明与求值练习题及答案

第一篇：高中数学三角函数的证明与求值练习题及答案

第五单元三角函数的证明与求值

一.选择题

(1)若为第三象限，则A．3(2)以cossin

2

2sincos

2的值为（）

D．－1 能成B．－

3下

各

C．1 式

中立的是

（）

A．sincos

B．cos

且tan2 C．sin

132且tan3D．tan2且cot

(3)sin7°cos37°－sin83°cos53°值A．

B．132 C．2 D．－2

(4)若函数f(x)=sin12x, x∈[0, 

3], 则函数f(x)的最大值是(A 12B 2

C 22D 2

(5)条件甲sina，条件乙sin

cos



a，那么（A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的充要条件

C．甲是乙的必要不充分条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

(6)、为锐角a=sin()，b=sincos，则a、b之间关系为（）A．a＞bB．b＞a C．a=bD．不确定(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的()

A-2B2C1D-1(8)为第二象限的角，（）A．tan

2＞cot



2B．tan

＜cot

C．sin







＞cos



D．sin

＜cos

(9)在△ABC中，sinA=45，cosB=1213，则cosC等于A．5665B．1656

163365 C．6

5或65 D．65

(10)若a>b>1, P=algb, Q=

12(lga+lgb)，R=lg ab

2, 则（A．R

二.填空题

(11)若tan=2，则2sin2－3sincos

（）

值

则必（）））

是有

1）

(12)若sin－cos7，∈（0，π），则tan。(13)sincos，则cossin范围。(14)下列命题正确的有_________。

①若－2＜＜＜2，则范围为（－π，π）；②若在第一象限，则2

在一、三象限； ③若sin=m342m3m5，cosm5，则m∈（3，9）；④sin2=5，cos

42=

5，则在一象限。

三.解答题

(15)已知sin(＋)=－35，cos()=1213，且

＜＜＜34，求sin2.(16)（已知42a)1

242a)4,a(4,2),求2sinatanacota1的值.(17)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.(18)设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.参考答案

一选择题:1.B

[解析]：∵为第三象限，∴sin0,cos0

则

cos2sin

sin2



coscos2

|cos|2sin

|sin|12

32.C

[解析]： 若sin

12且tan3则2k



6(kZ)

3.A

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°-37°)

4.D

[解析]：函数f(x)=sin12x, ∵x∈[0, 1

13],∴2x∈[0, 6

],∴sin2x

25.D

[解析]：sin(sin





2cos2)2|sin2cos2

|, 故选D

6.B

[解析]：∵、为锐角∴0sin1,0cos

1又sin()=sincoscossin

∴ab

7.B

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+tan250tan200tan250tan200

1tan(250200)(1tan250tan200)tan250tan20011tan250tan200tan250



28.A

[解析]：∵为第二象限的角

∴

2角的终边在如图区域内∴tan

2＞cot2

9.A

[解析]：∵ cosB=

3，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A 10.B

[解析]：∵a>b>1,∴lga>0,lgb>0,且lgalgb

∴lgalgb<

lgalgb1ab

22lg(ab)lgablg

故选B 二填空题:11．

[解析]：2sin2

－3sincos=2sin23sincos2sin2cos2tan23tan

tan2

1

12．

43或3

[解析]： ∵sin－cos75>1，且∈（0，π）∴∈（，π）∴(sin－cos)2

(75)2∴2sincos=242

5∴sin+cos1

∴sin=433

45cos=5或sin=5cos=5

tan=43

3或4

13．



12,1

2[解析]：∵sincoscossin=sin()∴cossin=sin()1

∴



312cossin2

又sincoscossin=sin()

∴cossin=1

sin()∴13

2cossin2

故11

2cossin2

14．②④

[解析]：∵若－

2＜＜＜，则范围为（－π，0）∴①错 ∵若sin=m342m5，cosm

m5，则m∈（3，9）

又由sin2cos2

1得m=0或 m=8

∴m=8 故③错

三解答题:(15)解:∵



＜＜＜34∴32,04

∵sin(＋)=－35，cos()=124

513∴cos(＋)=5

sin()=13

∴sin2sin[()()]=

.(16)解: 由sin（

42a)42a)= 42a)42a)=1224a)12cos4a14, 得cos4a12.又a(5

4,2),所以a12

.于是

2sin2

tancot1cos2sin2cos22cos2

sincoscos2

sin2

==(cos55

362cot6)=(22)52(17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=2，∴cos(A－45°)= 1

.又0°

11=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

24

.∴S1263ABC=2AC²AbsinA=1

2·2²3²4=4(2+6).(18)解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(13

2sinx+2cosx)=2 sin(x+3),∴方程化为sin(x+)=-a2.∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,∴sin(x+33)≠sin

3=2

.又sin(x+

)≠±1(∵当等于2和±1时仅有一解),∴|-a2|<1.且-a

≠2.即|a|<2 且a≠-3.∴a的取值范围是(-2,-)∪(-3, 2).)∵α、β是方程的相异解,∴sinα+cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.①-②得(sinα-sinβ)+(cosα-cosβ)=0.∴ 2sin

cos



-23sin





sin

2

=0, 又sin



≠0,∴tan



=

.2tan



∴tan(α+β)=

2tan

2

=.(Ⅱ

第二篇：高中数学三角函数及数列练习题

一、选择题（每题5分，共35分）1．若sin θcos θ＞0，则θ在（）．

A．第一、二象限

C．第一、四象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是（）A、奇函数 B、非奇非偶函数 C、偶函数 D、不能确定

3.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为（）A．2 B．

3 C． D． 225.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝（）A.－2 B.－C.D.2 226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（）A.－3，1

B.－2，2

C.－3，32 D.－2，7．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的 A．y＝sin2x － ，x∈R

C．y＝sin2x ＋ ，x∈R π3π3π个单位，再把所得图332

1倍(纵坐标不变)，得到函数图象是（）． 2

262πD．y＝sin2x ＋ ，x∈R

3xπB．y＝sin ＋ ，x∈R

二、填空题（每题5分，共10分）

8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________ 9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示, 则 ＝

三、计算题（共55分）10．求函数f(x)＝lgsin x＋

11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.（10分）

2（5分）2cosx1的定义域．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函数y＝sin2x － 的图象的对称中心和对称轴方程．（5分）

13．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.，求通项；（10分）

14.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.15.设数列an满足a12,an1an322n1（15分）

（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

π6

第三篇：三角函数的求值、化简与证明(教案)

高一（1）部数学备课小组2013年6月4日

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin，tantantan 1tantan

2tan 1ta2n2

2、二倍角公式：sin22sincos，tan

cos2cos2sin22cos2112sin2

1sin2

21cos21cos222sin，cos 22公式变形：sincos

3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少，②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

2222例1：化简 ： sinsincoscos1cos2cos2

2分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

xx 44

解：原式

=x 12

2sin2cos22．（全国卷2）（B）1cos2cos2

1A.tanB.tan2C.1D.2

题型二：三角函数式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，是第二象限角，且tan()1，则tan的值是（）

533A.-7B.7C.D.44 例3：已知sin

演练反馈：

1．tan15cot15（C）

A.2

B.2C.4D.cot20cos10tan702cos40443.y=cosxsinx的最小正周期（）2.3.已知sin2cos2=a,则cos4=

（4.已知3sin2a4）ABABcos22，osAcos0B）求tanAtanB的值。（c22

1解： 2

5．设cos(

12)，sin(),且29232

239 729，0，求 2()cos解：

6.已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1,则

cos(AB)

（）。

27．若sinAB，且A,B均为钝角，求A+B的值。

解：A+B= 7

48.已知cos()0,tan0,则下列不等式关系式中必定成立的是：（c）2

A、tancos B、tancos C、sincos D、sincos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x10的两个实数根，则ΔABC是（钝角三角形）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

证明略

演练反馈： 1cosxsinx sinx1cosx

1cosxcos

求证: xsinx 1cosxsinxsin

2三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.

第四篇：高中数学推理与证明练习题

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高中数学推理与证明练习题

一.选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定

3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

Ａ．假设a，b，c都是偶数

Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数

Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

4．在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是（）

Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定

5．在证明命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的过程：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”中应用了 Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法

二.证明题

6．设a,b,c都是正数，求证

12a12b12c1ab1bc1ca

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7．已知：sin230sin290sin2150

sin2323

25sin265sin1252

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明

8．ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：1

ab1

bc3

abc

第五篇：三角函数公式及证明

三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得：

sinatana（02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定）sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincossincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，证明见下文)(其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径)定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

本证明选自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html