三点共线的证明方法

第一篇：三点共线的证明方法

三点共线的证明方法

袁竞成题目 已知点A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求证：A、B、C三点共线。方法1：利用定比分点坐标公式证明三点共线

设P（1。）分AC所成的比为，则=

方法2：利用向量平行的充分条件来证明三点共线，向量

方法3：其中一个点到另外两个点所在直线的距离为0

由两点式求得直线AB的方程为

方法4：的面积为0证明三点共线

方法5：直线夹角为0来证明三点共线

注意梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。”可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”。其实就是同一法。

方法七：证明其夹角为180°

方法八：设A B C，证明△ABC面积为0

方法九：帕普斯定理

注意帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

帕普斯定理

[

第二篇：三点共线与三线共点的证明方法

三点共线与三线共点的证明方法

公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面； 推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、K三点共线．

由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线．

D1M、例2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：M、N分别为AA1与AB的中点，DA、CN三线共点．

由M、N分别为AA1与AB的中点知MN//A1B且MN行且相等，所以MN//D1C且MN1A1B，又A1B与D1C平21D1C，根据推论3可知M、N、C、D1四点共面，2且D1M与CN相交，若D1M与CN的交点为K，则点K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以点K在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上，故D1M、DA、CN三线交于点K，即三线共点．

从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

第三篇：向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用

平面向量既具有数量特征，又具有图形特征,学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明.原题 已知OBλOAμOC，其中λμ1.求证：A、B、C三点共线

思路：通过向量共线(如ABkAC)得三点共线.证明：如图,由λμ1得λ1μ,则 OBλOAμOC(1μ)OAμOC

OBOAμ(OCOA)

ABμAC A、B、C三点共线.思考：1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法,点O具有灵活性；

2.反之也成立（证明略）：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满 足OBλOAμOC,且λμ1.揭示了三点贡献的又一个性质；

113.特别地，λμ时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，揭示了2

2中线OB的一个向量公式，应用广泛.应用举例

例1 如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN

用向量法证明：M、N、C三点共线.OAC 1BD.利

3C思路分析：选择点B，只须证明BNλBMμBC,且λμ1.A证明：由已知BDBABC，又点N在BD上，1BD，得 31111BNBD(BABC)BABC 3333

又点M是AB的中点，1

BMBA，即BA2BM 2且BNB

21BNBMBC 33

21而1 33

M、N、C三点共线.点评：证明过程比证明MNmMC简洁.BD例2如图，平行四边形OACB中，11OD与AB相交于E，BC，求证：.BEBA.3

4思路分析：可以借助向量知识，只须证明：

1BEBA，而BABOBC，又O、D、E三

4点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λμ1，使CBEλBOμBD，从而得到BE与BA的关系.O证明：由已知条件，BABOBC，又B、E、A三点共线，可设BEkBA，则

BEkBOkBC①

又O、E、D三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，使BEλBOμBD，且λμ1.1又BDBC 31BEλBOμBC

3根据①、②得 ②

1kkλ411λ，解得 kμ433λμ1μ41BEBA

41BEBA 4

点评：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.2

第四篇：证明方法

2.2直接证明与间接证明BCA案

主备人：史玉亮 审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1

1学习目标：

1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。了解间接证明的一种基本方法——反证法。

2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。

重点：

1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。应用反证法解决问题是本课考查的热点。

2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。

B案

一、直接证明

1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。

2.直接证明的方法：______________与________________。

二、综合法

1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。具体地说，综合法 从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。

 

 „ 

三、分析法

1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻

求结论成立的____________，最后达到

_________或__________。



  „ 

四、反证法的定义

由证明pq转向证明prt,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。

预习检测：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|xy||xy|≥2B.xyC.xy1xyD.|x||y|

ln2ln3ln5,b,c，则（）23

5A.abcB.cbaC.cabD.bac 2.若a

3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

4.abcd的必要不充分条件是（）

A.acB.bdC.ac且bdD.ac或bd

5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数

6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。

C案

一、综合法

例1求证：12

3log19log1919

253log2

2.已知n是大于1的自然数，求证：log(n1)log(n2)

n(n1)

二、分析法

例2．求证

2变式突破： 已知a,b,c表示三角形的三边，m0,求证：

三、反证法：

例3．（1）证明：2不是有理数。

变式突破：若a、b、c均为实数，且ax2y

求证：a、b、c中至少有一个大于0.2abc ambmcm2,by22z3,cz22x6.当堂检测：

1.“x

0”是“0”成立的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件

2.设alog54，b(log53)2，clog45，则（）

A.acbB.bcaC.abcD.bac

3.设x,y,zR，ax111,by,cz，则a,b,c三数（）yzx

A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x4ax4a30,x(a1)xa0，x2ax2a0至少有2

一个方程有实根，试求实数a的取值范围。

A案

1.A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinAsinB的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若向量a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的（）

A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项的和，若a2a32a1且a4与2a7的等差中项为5，则S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x,yR)，f(1)2，则f(2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的（）

A.充分条件B.必要条件C.重要条件D.既非充分条件又非必要条件

6.下面四个不等式：①abc≥abbcca；②a(1a)≤2221ba；③≥2； 4ab

④(a2b2)(c2d2)≥(acbd)2，其中恒成立有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.若x,y0且xy2，则1y1x1y1x和的值满足（）A.和的中至少xxyy

有一个小于2B.1y1x1y1x和都小于2C.和都大于2D.不确定 xxyy

8.已知、为实数，给出下列三个论断：

①0；②||

5；③|||个论断为结论，写出你认为正确的命题是______________。

9.设a0,b0,c0，若abc1，则

111≥______________。abc

第五篇：九年级数学下册不共线三点确定二次函数的表达式学案新湘教版

1.3 不共线三点确定二次函数的表达式

1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数表达式.2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数表达式,可使计算过程简便.阅读教材第21至22页,自学“例1”“例2”，掌握用待定系数法求二次函数的表达式.自学反馈 学生独立完成后集体订正 ①二次函数y=4x-mx+5，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大,则当x=1时，y的值为25.可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值.②抛物线y=-2x+2x+2的顶点坐标是（2

215,).222 ③如图所示的抛物线是二次函数y=ax-3x+a-1的图象，那么a的值是-1.可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.2 ④二次函数y=ax+bx+c的图象大致位置如图所示，下列判断错误的是(D)A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.b2a>0

第④题图 第⑤题图 ⑤如图，抛物线y=ax+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1，且经过点P(3，0)，则a-b+c的值为(A)A.0 B.-1 C.1 D.2

根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(-1，0)，将此点代入表达式，即可求出a-b+c的值.22 ⑥二次函数y=ax+x+a-1的图象可能是(B)

根据图形确定二次项系数的取值，再找其他特征，直至找到矛盾从而逐一排除.活动1 小组讨论

例1 已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，求函数的表达式和对称轴.9a3bc0,2 解:设函数表达式为y=ax+bx+c，因为二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，则有4a2bc3,c3.

a1,解得b2，c3. ∴函数的表达式为y=x-2x-3，其对称轴为直线x=1.已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程，解之即可求出待定系数.例2 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8).试求该抛物线的表达式及顶点坐标.解:设表达式为y=a(x+2)(x-1)，则有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函数的表达式为y=2x+2x-4，其顶点坐标为（--2

21，29）.2

因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.而顶点可根据顶点公式求出.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知一个二次函数的图象的顶点是(-1,2)，且过点（0, 解：表达式为y=-

3），求这个二次函数的表达式及与x轴交点的坐标.2123x-x+,与x轴交点坐标为(-3,0)、(1，0).22

2此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：y=a(x-h)+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数.在设表达式时注意h的符号.关于其图象与x的交点，即当y=0时，解关于x的一元二次方程.2.若二次函数y=ax+bx+c的图象过点(1，0)，且关于直线x= 3.如图，已知二次函数y=-2

1对称，那么它的图象还必定经过原点.212x+bx+c的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点.2 ①求这个二次函数的表达式； ②设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.解：①y=-

12x+4x-6； ②6.2

①求表达式一般都用待定系数法；②求底边落在坐标轴上的三角形的面积时第三点纵坐标的绝对值即为三角形的高.活动3 课堂小结

利用待定系数法求二次函数的表达式，需要根据已知点的情况设适当形式的表达式，可以使解题过程变得更简单.