教材中一些定理的补充证明

第一篇：教材中一些定理的补充证明

人大龙永红编的教材中有一些推导省略了，为便于同学的学习，现补充如下：

一、超几何分布用二项分布做近似计算的证明：

M!

PXkCMCNM

CNnknkk!MNM!k!nk!NMnk!.N!

n!Nn!

n!

k!nk!N.N1.Nk1

k.M.M1.Mk1.NMNM1NMnk1NNk.Nk1Nn1CnM.M1.Mk1N.N1.Nk1

knk.NMM1NMnk1Nk.Nk1Nn1Cnpk1p

M

N，M.M1.Mk1N.N1.Nk1

1pnk这里p且M和N相对于n和k很大时,p,kNMNM1NMnk1

M!Nk.Nk1Nn1

注：第二个分式即M

Nk!N!，展开为n项的乘积，k！

N

第三个分式即M!k！

n！，展开为nk项的乘积。NMnk!NN

k二．泊松定理的证明 bk,n,pnCnpnk1

pnpnnknkn!k!(nk)!pnk1

nn1nk1npn

nkknpn1nnpn1nnk!k

n,npn,k固定，nn1nk1

n

kkk1nnpn

k!npn,1e（高数中重要极限k!nnpn1,11e）1,从而得证.xnxk

第二篇：老教材定理与证明

----------[初中数学]---------

初中数学 经典教材系列 老人教版

定理与证明

教学目标

1使学生理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别

2使学生理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一——推理论证，有初步的认识，从而初步培养学生思维的条理性和逻辑性

教学重点和难点

重点是命题证明的一般步骤，难点是探索命题证明的思路以及思维方向

教学过程设计

一、复习命题，引入公理和定理

教师提问：学生思考后回答

1什么叫命题?请你说出一个数学命题

2什么叫真命题?什么叫假命题?请你分别举出两个实例

3在前面学过的真命题中，还有什么名称?

当学生回答完第三个问题后，教师再问

4公理和定理有什么区别?

先由学生随意回答，互相补充，然后教师与学生一起归纳总结

公理：它的正确性是人们长期实践中总结出来并作为判定其它命题真假的根据 定理：它是正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理

用幻灯投影命题与公理等关系

命题

真命题假命题(只需举一个反例)

公理(正确性由实践总结)

定理(正确性由推理证实)

二、证明的意义、过程和步骤

1证明的意义

请证明以下命题：三个连续奇数的和是3的整数倍

问：请学生们思考，怎样证明?

当三个连续奇数为3，5，7时，它们的和为3+5+7=15是3的整数倍，当三个数为7，8，9时，7+8+9=24，也对那么，我们能否这样试下去，能不能通过试具体数的方法，证明这个命题是真命题不能，如何证明呢?

设n为整数,三个连续奇数为2n+1,2n+3,2n+5,它们的积为(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因为n是整数,所以2n+3为整数,3(2 n+3)是3的整数倍。

这就是推理的过程

要判断一个命题的真假，必须要有推理论证的过程，也叫证明只有证明，才能区分命题的真假，否则就会得出错误的结论证明的意义就在于此

再问：“两个连续整数的平方差是一个奇数，这个命题是真还是假?怎样证明，学生分组讨论，选做出结果的同学板演或讲解 证明：设n为整数，n+1，n为两个连续整数

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因为2n+1为奇数，所以得证

2命题证明的一般步骤

例求证：同角的余角相等

已知：如图2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求证：∠2＝∠3

证明：因为∠2与∠1互为余角，(已知)

∠3与∠1互为余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定义)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代换)

则∠2＝∠3(等量减等量差相等)

同学总结步骤：

1审题：分清命题的“题设”和“结论”

2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证

3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法

4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明

三、命题证明的练习

1证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直” 教师指导学生，按证明命题的四步，边讲边请学生回答如下问题：

(1)命题的“题设”和“结论”各是什么?学生回答后，教师板书：

已知：如图2—88，a∥b，a⊥c，求证：b⊥c

(2)以上译题时应注意：图形尽量准确，图中字母与译文要一致，不能随意添加或丢失条件或结论

(3)思维的逻辑路线是什么?

要证垂直，就是要证两条直线相交成90°的角，由第一条直线a与c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a与c的交角也为90°，所以b⊥c

(4)证明过程中有几对因果关系?(两对)

请学生写出证明过程，最好请两名证明顺序有所不同的学生到黑板上证，两种顺序如下证法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定义)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代换)

∵b⊥c(垂直定义)

证法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定义)

∴∠2=90°，(等量代换)

∴b⊥c(垂直定义)

2证明：“垂直于同一直线的两条直线平行”

教师给出命题后，让学生每人都在笔记本上自己做，然后找妯两个或三个学生，让他们在黑板上写出证明的过程在学生板演的过程中，教师提问：

(1)将此命题写成“如果„„，那么„„”的形式“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”

(2)已知，求证，及图形的画法，由学生分别写出和画出，并与板演的学生对照 已知：a⊥c，b⊥c，如图2—89，求证：a∥b

(3)师生共同探索证题的思考过程，然后找一位学生板演

证明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定义)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定义)

∴∠1＝∠2，(等量代换)

∴a∥b(同位角相等，两条直线平行)

以上过程也可以简写为：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、总结

教师以提问形式，学生回答，教师纠正。

1命题，定理之间的关系是什么?(关系图)

2公理的正确性怎样判定?定理的正确性怎样判定?

3假命题应怎样判定?

4证明命题的一般步骤是什么?(审题、译题、想题、证题)

五、作业

1将第一章的定理、公理整理出来，将第二章的定理、公理、整理出来。2复习证明命题的一般步骤。

3如图2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求证：∠C=∠2。

4如图2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥b，c∥d。

5(选作题)

证明：

(1)13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。

(2)初一年级共有400人，必有2个或2个以上的同学的生日是同一天。

(注：以上证明可用抽屉原则。详细答案见“设计说明”。)

板书设计

定理与证明

一、公理与定理

三、证明练习

1公理例

12定理例

23关系图

四、总结

二、证明命题

五、作业

1意义例：

2一般步骤

课堂教学设计说明

1本教案的教学时间为1课时45分钟。

2关于真命题与定理的关系，可以告诉学生，在数学中经过推理论证是正确的真命题都可以作为定理。

2在前面的教学中，实际已经渗入了不少有关推理证明的问题，学生也已经熟悉。在这一节课中，对证明的过程再加以系统的总结和归纳，使学生在将来的证明中，书写和思考更加规范和合理。

3本节的例题内容和作业内容都比较简单。有些基础较好的学校和班级还可以适当补充难度大一些的题目。如抽屉原则的习题和某些代数证明题。以下几题可供参考：

(1)求证：对任意整数n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化简后原式=6(n+1))

(2)求证：任意两个连续整数的平方差是一个奇数。

(3)求证：无论a取何值，代数式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永远为0。4选作题答案：

(1)将12个月作为12个抽屉，13个学生当做13个苹果，根据抽屉原则：把多于n个苹果放到n个抽屉里，至少有一个抽屉有两个或两个以上的苹果，则13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。

(2)一年365天看作365个抽屉，400个同学为400个苹果。

由抽屉原则可得到答案。

第三篇：正弦定理教材分析

《正弦定理》教材分析

一、内容结构

（1）正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章第一节第一部分的内容。本节旨在基于高二已学的三角知识，通过对三角形边

角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间数量关

系，引出正弦定理。

（2）一个三角形，有六个元素：三个角三条边。知道其中的几个元

素求其它元素的过程，即为解三角形。由于三角形内角和为180

度，故而只需建立二边二角的关系，就能解决所有解三角形的问题。而其中二边二角的关系即为正弦定理。这个过程是对三

角知识的应用；也是对初中解直角三角形内容的直接延伸。

（3）教材证明正弦定理时，应用了前面所学“正弦函数定义”的知

识，很好的解决了“已知两角一边或两边一角求其他边角”的问题。教材的编排循序渐进，有效的把所学知识融会贯通，使

学生更容易接收。

（4）正弦定理本身的应用十分广泛，同学们在下一节中即将学习领

悟到。因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中

正余弦定理的探索、发现和证明，感受“类比--猜想--证明”的科学研究问题方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数

学思想，对于下一节内容的学习有极大的帮助。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

（2）掌握简单运用正弦定理解三角形、初步解决与测量与几何计算

有关的实际问题的方法。

2.过程与方法目标：

（1）通过对正弦定理的探究，培养学生发现数学规律的思维能力；

（2）通过对正弦定理的证明和应用，培养学生运用数形结合思想方

法的能力；

（3）通过对实际问题的探索，培养学生从数学角度观察问题、提出

问题、分析问题、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观目标：

（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培

养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

（2）通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值。

三、地位与作用

《新课程标准》要求通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并

能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计

算有关的生活实际问题。

利用正弦定理解三角形，可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，避免了许多繁杂的运算，从而使许多复杂的问题得以解决。

四、教学建议

1.创造性使用教材。

数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课的教学，应该从问题情境做引入，通过对数学实验的操作，使学生领悟证明方法。教师可以对教材作一定程度的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。

2.深刻挖掘教材。

深刻挖掘教材中体现的数学思想。作为教师，首先一定要清楚正弦定理在解三角形思维体系中的地位与作用，引导学生发现三角形的6个元素知三求三的所有情况；使学生理解需要已知哪些量，就可以解决所有关于三角形的所有问题。

这样做的好处是：

（1）使学生知道建立正弦定理的必要性、合理性和重要性，帮助学

生建构数学知识；

（2）提炼数学思想，提高学生解决问题的能力；

（3）在解决三角形的实际问题时，让学生知道要测量出什么量，才

能计算出所的要求的量实际问题。

3.从学生的角度出发设计课堂。

从学生的角度出发设计课堂，从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，课堂设计要紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

第四篇：正弦定理证明

新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议

江苏省锡山高级中学杨志文

新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。这些内容都是高中数学中的传统内容。其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。

一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较

1．课程内容安排上的变化

“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。

2．教学要求的变化

原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。

（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。《标准》对“解三角形”的教学要求是：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、课程关注点的变化

原《大纲》中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

4、内容处理上的变化

原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教学中应注意的几个问题及教学建议

原《大纲》中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。而《标准》将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。因此在教学中应注意以下几个问题。

1．要重视探究和推理

《标准》要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。从中体会发现和探索数学知识的思想方法。

参考案例：正弦定理的探索、发现与证明

教学建议：建议按如下步骤设计教学过程：

(1)从特殊三角形入手进行发现

让学生观察并测量一个三角板的边长。

提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？

例如，量得三角板三内角300，600，900所对的三边长分别约为5cm，8.6cm，10cm，58.610，101010 000

sin30sin60sin90

abc

对于特殊三角形，我们发现规律：。

sinAsinBsinC

则有：

提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？(2)实验，探索规律

二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。（其中，角精确到分，忽略测量误差，通过实验，对任意三角形，有结论：

abc，即在一个三角形中，

sinAsinBsinC

各边和它所对的角的正弦的比相等。

提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。那么怎样证明呢？

(4)研究定理证明的方法方法一：（向量法）①若△ABC为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。②若△ABC为锐角三角形，过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与向量的夹角为900-A，向

量j

与向量CB的夹角为900-C，（如图1），且有：ACCBAB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展开|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。

sinAsinC

cbabc

同理，过点C做单位向量j垂直于,可得：，故有。

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC为钝角三角形，不妨设角A>900（如图2），过点A做单位向量j垂直于AC，则向量j与

则得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夹角为A-900，向量j与向量的夹角为900-C，且有：，同样可证得：

abc

。

sinAsinB

提出问题：你还能利用其他方法证明吗？

方法二：请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将△ABC中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。

2．要重视综合应用

《标准》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。如可设计下面的问题进行教学：

参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用 C 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=60，BCD=135.求BC的长.教学建议：

引导学生进行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵BCD=135，BDC=30，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引导学生将

A B

四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD，再由正弦定理

例2图 求BC。

3．要重视实际应用

《标准》要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。

参考案例：解三角形在实际中的应用

参考案例1．航海中甲船在A处发现乙船在北偏东45，与A的距离为10海里的C处正以20海里/h的速度向南偏东75的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，问甲船沿什么方向，用多少时间才能与

乙船相遇？

教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。若设甲船与乙船经过t小时在B处相遇，构建ACB，容易计算出AB20海里,BC20海里，根据余弦定理建立关于t的方程，求出t，问题就解决了。

答: 甲船沿北偏东75的方向，经过0.5小时与乙船相遇.参考案例2．为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选 择了A，B，C三点，使ABBC60m，在A，B，C三点







例1图 DA 观察塔的最高点，测得仰角分别为45，54.2，60，若测量 E

者的身高为1.5m，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).F 教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为

解三角形问题。要求电视塔的高度。只要求出DE的长。将问题中的已

知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。在例2图 ACE中和BCE中应用余弦定理，使问题获得解决.答: 电视塔的高度约为158.3m.4．要重视研究性学习

解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。参考案例：研究性学习

课外研究题：将一块圆心角为120，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法，使裁得矩形的面积最大?并说明理由．

教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。

参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB

平行。从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将

这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论．

NBB

PO图（2）

QM

O图（1）

按图（1）的裁法:矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设MOA，则：

时，Smax200．

4按图（2）的裁法: 矩形一边PQ与弦AB平行，设MOQ，在MOQ中，OQM9030120，由正弦定理，得：

sin120

又MN2OMsin(60)40sin(60)，MQ

20sin



3sin． 3

MP20sin,OP20cos，从而S400sincos200sin2．即当



∴SMQMN

sinsin(60)cos(260)cos60． 33



∴当30时，Smax由于

400． 3

400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33

也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。

参考文献：

①全日制普通高中级学《数学教学大纲》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中数学课程标准（实验））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中数学课程标准（实验）解读》。严士健 张奠宙王尚志等主编。江苏教育出版社。2004年4月。

第五篇：原创正弦定理证明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=absinCacsinBbcsinA

两边同除以abc即得：

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aaCD2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC

由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB 则•+•=•

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴ac= sinAsinC

cbabc同理，若过C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况

:

⑴若A为锐角时: absinA无解absinA一解(直角)

bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解⑵若A为直角或钝角时: ab一解(锐角)