高等数学习题-第78章_

第一篇：高等数学习题-第78章_

高等数学第七、八章练习题

1.指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).2.已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.3.在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.4.证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5、已知向量a=（0，3，1），b=（1，2，-1），则ab=______；

6、过点A（1，-2，1）且以a=（1，2，3）为法向量的平面方程是_____；

7、过点（1，-2，3）且与平面7x3yz60平行的平面方程是＿＿；

8．已知两点M1(4,2,1)与M2(3,0,2)，求M1M2，方向余弦，方向角．

9．试确定m于n的值，使向量a{2,3,n}与向量b{m,6,2}平行．

10、已知平面1：A1xB1yC1zD10与平面2：A2xB2yC2zD20，则1||2的充要条件是＿＿，而12的充要条件是＿＿；

11、平面3xy2z10的法向量为(3,1,2)＿＿；

12、过点（1，-2，2）且以向量a=（1，-2，3）为方程向量的直线方程是＿＿；

13、指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？

22(1)x－2y=1；(2)x+y=1；

222(3)2x+3y=1；(4)y=x.14、求下列旋转曲面的方程．

（1）将zOx面上的抛物线z5x绕x轴旋转一周； 2

x2y

21绕y轴旋转一周；（2）将xOy面上的椭圆9

4（3）将xOy面上的双曲线4x29y236分别绕x轴及y轴旋转一周；

（4）将xOy面上的直线y2x1绕x轴旋转一周．

15、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)zzln(xy)(3)z1(4)zln(xy1)ln(xy)

16.求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形：(1)zsin212；

(2)z

xy

122(3)f(x,y)xy)；

(4)f(x,y)17、函数zxy)的定义域为 。

arcsinx18、函数z的定义域为 。y

y

19、设函数f(x,y)x2y2xylnx，则f(kx,ky)= 。20、设函数f(x,y)xy

xy，则f(xy,xy)= 。

21、极限lim

sin(xy)

x0y

x

= 。

22、极限lim

ln(yex

2)x0。

y

1x2

= y23、求极限limxyex

x0

4。

y0

xy

24.计算下列极限：

limex(1)y

xy)

x0xy；

(2)lim

sin(;

(x,y)(0,3)xy

1sin(x3y3(3)lim)；

(4)

(x,y)(0,0)xy

(x,ylim)(0, 0)

.25.求下列极限：

(1)(x,limy)(0,0)(x2y2)sin1xy；

(2)(x,ylim)(0, 0).limx226.极限y

x0x4y

2=（）

y0

(A)等于0；(B)不存在；(C)等于

12；(D)存在且不等于0或12



27、设函数f(x,y)xsin1ysin

1xy0，则极限limyx

x0

f(x,y)=0

xy0

y0

(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于228.说明下列极限不存在：

(1)limxyx0；(2)limx3y

60

xyx0y0

xy

2.y

xy229、设函数f(x,y)

x2y

2x2y0，则f(x,y)

0x2y20

(A)处处连续；(B)处处有极限，但不连续；

(C)仅在（0,0）点连续；(D)除（0,0）点外处处连续30、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件

31.下列函数在何处间断？

（）

（）

（）

(1)z

1；

xy

2(2)z

32、设zsin(3xy)y，则

zx

x2y

1_________。

33.偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的()A 充分条件B 必要条件

C 充要条件D 即非充分也非必要条件

34.函数f(x,y)(0,0)处的偏导数存在的情况是().A fx(0,0)，fy(0,0)都存在B fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在C fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在D fx(0,0)，fy(0,0)都不存在35、设zyx

ln(xy)，求zz

x,y

。36.求下列函数偏导数：

(1)z=x

3+3xy+y3

；(2)zsiny

2x

;

(3)zln(x3y)；(4)zxylnxy(x0，y0,x1)

z(5)uxy；

(6)ucos(x2y2ez)

37.求下列函数在指定点处的偏导数：

(1)f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2)f(x,y)arctanx2y2

xy

;求fx(1,0)

(3)f(x,y)sin(x21)earctan(x2

;求fx(1,2)；

(4)f(x,y,z)ln(xyz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1).38

．设r 2

(1)rxryrz

1;(2)2r2r2rx2y2z

2r;(3)

2(lnr)2(lnrx2)2(lnr)

1y2z2r

2.39.求下列函数的二阶偏导数2z2z2

zx2,y2,yx

：(1)z4x33x2y3xy2xy；(2)zxln(xy).40.求下列函数的全微分：

(1)z=4xy3

+5x2y6；

(2)z(3)u=ln(x－yz)；(4)uxsin

y

eyz 41.计算函数z=xy

在点(3，1)处的全微分.42.求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.43.计算(1.04)2.02的近似值.44.设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.45.求下列函数的全导数：

3u+2v2

(1)设z=e，而u=t,v=cost,求导数dz；

dt3

(2)设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x,求导数dz;

dx

t

(3)设z=xy+sint,而x=e,y=cost,求导数dz.dt

46.求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：

(1)设z=uv－uv，而u=xsiny,v=xcosy，求z和z；

xy

224x+2y

(2)设z=(3x+y)，求z和z；

xyx+2y+3z2

(3)设u=f(x,y,z)=e,z=xcosy，求u和u；

xy

(4)设w=f(x，xy，xyz)，求w,w,w.xyz47、函数zz(x,y)由方程xyze

(xyz)

2z

所确定，则x

2z

。答：y48、设函数zz(x,y)由方程xy2zxyz所确定，求

z

49.已知sinxy－2z+e=0,求z和z..xy

50.求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：

2(3)z=f(xy,x－y).51.求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数z,z：

xy(1)x+y+z－4z=0；

(2)z－3xyz=1.22

52.设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求z,z2,z.xxxy

53.设函数f(x,y)1,则下列结论正确的是()

A 点(0,0)是f(x,y)的极小值点B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C 点(0,0)不是f(x,y)的驻点D f(0,0)不是f(x,y)的极值

54、函数fx,yxay

a0在0,0处（）

A、不取极值B、取极小值C、取极大值D、是否取极值依赖于a

55、设函数z1

x2y2，则点(0,0)是函数z的（）

（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；

（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。

56、设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有（）

fx(P0)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P0)0,fxy(P0)fyx(P0)2，则

（A）点P0是函数z的极大值点；（B）点P0是函数z的极小值点；（C）点P0非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。



57．设资本投入为K，劳动投入为L时，某产品的产出量为y，且yAKL

，其中A,,

为常数，则y对资本的偏弹性K，对劳动的偏弹性L58.求下列函数的极值：

3(1)f(x,y)=x+y－6xy+18x－39y+16；

(2)f(x,y)=3xy－x－y+1.59.求下列函数的条件极值：(1)z=xy，x+y=1；

2(2)u=x－2y+2z，x+y+z=1.60.要用铁板做成一个体积为8m的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 61.某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？ 62.某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，(1)若广告费用不设限，求最佳广告策略.(2)若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.63.某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：元)为

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.64.设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为

Q=400－2p+0.03y.求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.2

265.求函数f(x,y)=x(2+y)+ylny的极值.66、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是

4002x3y0.01(3xxy3y)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

67．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x、y，其成本函数为c(x,y)x22xy3y2。由市场调查得知，甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：P。1363x,P2405y试求甲、乙两种产品产量各为多少时总利润最大？并求出最大利润。

(元)。

第二篇：高等数学习题7-1

习题7-

11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）(x,y)x0,y0；

（2）(x,y)1x2y24；

（3）(x,y)yx2；

（4）(x,y)x2(y1)21且x2(y1)24.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(x,y)x0或y0}.（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为

{(x,y)xy1}{(x,y)xy4}.222

2（3）集合是开集，区域，无界集；边界为{(x,y)

（4）集合是闭集，有界集；边界为

{(x,y)x(y1)1}{(x,y)22yx}.2x(y1)4} 22

2.已知函数f(u,v)uv，试求f(xy,xy).解f(xy,xy)xy

3.设f(x,y)(xy).2xy，证明：

f(tx,ty)tf(x,y).2

解

f(tx,ty)2

2txyt22txyt222xy tf(x,y).y4.设f

xx(x0)，求f(x).y解

由于f



xx1，则fx.5.求下列各函数的定义域：

（1）zxy

xy2222；（2）zln(yx)arcsinyx；

（3）zln(xy)；（4）z；

（5）z（6）uarccos

.解（1）定义域为(x,y)yx；

（2）定义域为(x,y)xyx；

（3）定义域为(x,y)xy0，即第一、三象限（不含坐标轴）； 

（4）定义域为(x,y)



xa

2

1； 2by

（5）定义域为(x,y)x0,y0,x2y；

（6）定义域为(x,y,z)x2y2z20,x2y20.6.求下列各极限：（1）

lim

xxyy

xy

；（2）1xy

(x,y)(2,0)(x,y)(0,0)

lim

ln(xy1)sin(xy)y；

（3）

(x,y)(0,0)

lim(xy)sin

；（4）

(x,y)(2,0)

lim；

（5）

(x,y)(0,1)

lim(1xy)x；（6）

(x,y)(,)

lim(xy)e

22xy

.解：（1）

(x,y)(2,0)

lim

xxyy

xy

f(2,0)

2；

（2）

(x,y)(0,0)

lim

u

1limlim； u0u0ln(xy1)ln(1u)u2

1cos（3）因为

(x,y)(0,0)

limin(xy)0，且s

1xy

1有界，故

(x,y)(0,0)

lim(xy)sin

1xy

0；

（4）

(x,y)(2,0)

lim

sin(xy)y



(x,y)(2,0)

limx

sin(xy)xy

212；

（5）

(x,y)(0,1)

lim(1xy)

x

(x,y)(0,1)

lim(1xy)

xy

y

ee；

（6）当xN0，yN0时，有0

(xy)e

xy



(xy)e

xy，而

(x,y)(,)

lim

xy

e

xy

lim

ue

2u

u

lim

xy

2ue

u

u

lim

2e

u

u

0

按夹逼定理得

(x,y)(,)

lim(xy)e0.7.证明下列极限不存在：（1）

lim

xyxy；

(x,y)(0,0)

x2y,42

（2）设f(x,y)xy

0,xy0,xy0,22

(x,y)(0,0)

limf(x,y).证明（1）当(x,y)沿直线ykx趋于(0,0)时极限

xyxy

xkxxkx

1k1k

(x,y)(0,0)

limlim

x0ykx



与k有关，上述极限不存在.（2）当(x,y)沿直线yx和曲线yx2趋于(0,0)有

lim

xyxyxyxy

(x,y)(0,0)

lim

xxxxxx

4x0yx

lim

xx1x

x0yx

0，(x,y)(0,0)

limlim

x0

2yx

xx

lim

x0yx

2x



12，故函数f(x,y)在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：

（1）zln(xy)；（2）z

1y2x

.解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数zln(xy)的间断点；（2）函数在抛物线y2x上无定义，故y2x上的点均为函数z点.9.用二重极限定义证明：

1y2x的间断

(x,y)(0,0)

lim

20.证

0



2





其中P(x,y)，于是，0，20；当0时，|OP|，0成立，由二重极限定义知

(x,y)(0,0lim

0.10.设f(x,y)sinx，证明f(x,y)是R2上的连续函数.证设P0(x0,y0)R2.0，由于sinx在x0处连续，故0，当|xx0|时，有

|sinxsinx0|.以上述作P0的邻域U(P0,)，则当P(x,y)U(P0,)时，显然

|xx0|(P,P0)，从而

|f(x,y)f(x0,y0)||sinxsinx0|，sinx作为x、y的二元函数在R2即f(x,y)sinx在点P0(x0,y0)连续.由P0的任意性知，上连续.

第三篇：高等数学极限习题500道

当xx0时，设1＝o()，1o()且lim求证：lim xx0存在，11xx0limxx0．1 若当x0时，(x)(1ax)231与(x)cosx1是等价无穷小，则a 1313A．　B．　C．　D．．2222 答（）阶的是2当x0时，下述无穷小中最高A　x　B1　cosx　C　1x n21　D　xsinx（）n 答n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nsin(n2)．2e1x11求极限lim(n)ln(1)． lim3x0n2nxsinx x22的值_____________ 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnnan1an2 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn1sinx2xnxn1xnxn1，1，求limyn及limxn．nnxn求极限limx0(12x)cosxx2之值． 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)xx0v(x)A．B limln(1x)(x1)2x11A． B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(12x)x0sinxx A．1 B．e C．e D．2 2 答（）设u(x)1xsin求：lim212.f(u)ux及limu(x)之值，并讨论x0f(u)1u1u1limfu(x)1u(x)1 的结果．x0limx9xx6 xx32的值等于_____________ lime4exxxx3e2e 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2x)(3x)(6x)835x A.1　B.1　C.1232053　D.不存在答：（）lim(12x)(13x)(16x)321510x__________3__ limxee12xxxx0的值等于____________ 求极限lim x3x2xxx132 求lim．16x4x1x0x(x5)之值． 已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限lim5351结论是：54x03exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）设limxxf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是0xx0A.limf(x)xxg(x)00B.limg(x)xxf(x)0C.limxxf(x)g(x)0D.limf(xg(x)xx)0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanx1x0arctanxA.0 B.不存在.C.2　D.2 答（）limarctan(x2)xxA.0 B. C.1 D.2 答（）lim2x1xx23A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x)31，则f(0)___________ 2ex limarccot1x0xA.0 B. C.不存在.D.2 答（）limacosx0，则其中x0ln1xaA.0　　B.1　　C.2　　D.3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx0e3x的值等于__________1cosx2(1cos2x)xx__ limx0 A.2　　B.2　　C.不存在.D.0答：（）设f(x)pxqx5x52，其中p、q为常数． 问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5求极限limx(x2nn2)(x222nn2)22(x1)(x1)4． 求极限lim(3x2)(2x3)3232x． 已知limx3AB(x1)c(x1)(x1)22x10 试确定A、B、C之值． 已知f(x)试确定常数ax3bx22cxdxx2a，b，c，d之值．，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．xx1 已知lim(ab)xb3x1x3xx0x14，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？(x)为什么？ ＂若lim(x)0，则limxx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0 证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：用无穷大定义证明：limx12x1． 用无穷大定义证明：x1tanx 用无穷大定义证明：3x0 limlnx．limx02x10lim1x1． 用无穷大定义证明：用无穷大定义证明：x lim(x4x)．limlogxa x(其中0a1)． 若当xx0时，(x)、(x)都是无穷小，则当xx0时，下列表示式哪一个不一定是无穷小.(A)(x)(x)(B)(x)(x)(C)ln1(x)(x)(D)22 (x)(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂当xx0，(x)是无穷小量＂是＂当xx0时，(x)是无穷小量＂的(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（）＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limf(x)A＂的：xx0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．xx0xx0证明：lim　　　limf(x)g(x)xx0b的充分必要条件是0．n f(x)bg(x)g(x)xx0用数列极限的定义证明用数列极限的定义证明：liman 0，(其中0a1)． 1(0a1)．：liman1n用数列极限的定义证明lim1cos(sinx)2ln(1x)2：limn(n2)2n52n1． 2x0的值等于___________ 求极限lim(cosx)xsinx31之值． x0(1xsinx)求极限limx0x1x3之值． lim(cosxsinx)xx22x2x1x0__________ __ lim(12x)x(cosx)23x1x0_____________ lim(1sinx)1x0__________2sinx3limx0xx11x1求极限limx()1之值． ______________ xx10(x)u(x)(x)，且当xx0时，(x)~(x)． 设在x0的某去心邻域内试证明：当 xx0时　(x)~u(x)．设当xx0时，(x)0，(x)o(x)，1(x)~(x)．lim求证：lim(x)(x)u(x)A．xx0存在(A0)1(x)(x)u(x)572xx0求limx0(13x)(12x)(2x1)1之值． 设当xx0，(x)，1(x)，(x)，1(x)均为无穷小，且(x)~1(x)；(x)~1(x)，如果lim1(x)(x)1xx0A 试证明：lim1(x)(x)lim11(x)1(x)．xx0xx0 设当xx0，(x)，(x)都是无穷小，且(x)0，(x)0试证明：1(x) (x)~(x)(x)． 设当xx0时，(x)与1(x)均为无穷小，且试证明：lim(x)~1(x)；如果lim1．(x)(x)xx0A1(x)a(x)1xx0lim11(x)a(x)xx0(式中a是正常数)用数列极限的定义证明 limn10． n!设limxnA，且BAC．n试证必有正整数N存在，使当 BAACnN时恒有　xn成立．22 设有两个数列xn，yn满足(1)limxn0；n(2)ynM(M为定数)．试证明：lim(xnyn)0．n xsin设limf(x)A，求证：limf(x)A． 求极限limx0xx0xx021x sinxx1sin求极限limcosln(1x)coslnx 求极限limx0x1x． 1x求极限limx2x1x2arctan1x． 求极限lim1x(1e)xx 求极限limarctanxarcsinx 求极限limx0211x22x ． 求数列的极限lim(sinnn1sinn)设lim(x)u0，且(x)u0，又limf(u)Axx0uu0试证：limf(x)Axx0 设f(x)x1lnx试确定实数a，b之值，使得： 当xa时，f(x)为无穷小；当xb时，f(x)为无穷大。设f(x)xtanx2，问：当x趋于何值时，f(x)为无穷小。若limf(x)A，limg(x)B，且BAxx0xx0 证明：存在点 x0的某去心邻域，使得在该邻域内　g(x)f(x)．设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：xx0xx0limf(x)A． 若数列xn与yn同发散，试问数列xnyn是否也必发散？求f(x)lim x2n1x12n1nx2n的表达式 x设f(x)limnsinxcos(abx)22nx1(其中a、b为常数，0a2)，(1)求f(x)的表达式；(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1求f(x)lim211(lnx)22n1n的表达式 求f(x)lim2xn2nxn1nnxxn的表达式． 设(x)x3x3，fn(x)1(x)(x)(x)，求f(x)limfn(x)．nxxx求f(x)limx的表达式． 2222n1n1x(1x)(1x)求f(x)limxnnnn1x的表达式． 设Snk1k，其中bk(k1)!，求limSn． nbk22nnx(1x)x(1x)x(1x)求f(x)lim12nn222的表达式。求f(x)limx(1(1limx)nnnx1nn1的表达式，其中nx)13a2(b)n1 x0．求数列的极限n3a2(b)n．(其中ab0)． n求数列的极限limn533(2)32n． 求数列的极限lim(n1234532n12n)． 求数列的极限 lim(12q3qnqnn1)，其中q1．求数列的极限111lim na(a1)(a2)(a1)(a2)(a3)(an1)(an)(an1)其中a0．求数列的极限求数列的极限111lim n1335(2n1)(2n1)1111limn2334n(n1)12 ．求数列的极限求数列的极限liman23n1223(n1)(其中a0)22221nlim(123(n1) ．nn22求数列的极限limnn(n2n1)． 求数列的极限limnn4n5(n1)． n3n6(n1)(n1)n432求数列的极限limn． 求数列的极限求数列的极限limannn2a2 ．(其中a1)．lim(1n12)(1132)(11n2)． 求数列的极限lim10000nn12n． 求数列的极限limnn4n33n5n1nnn22． 求数列的极限lim(n1nn)． 求数列的极限limn123． 求数列的极限lim2nanb2n2n2n1n2n．(a0，b0且b2)3　求数列的极限limn(1nn2n1)． 求数列的极限limn(nn1n21)． 求极限lim． n12n1310210若在x0的某邻域内f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B．nxx0xx0210310试判定是否可得：若lim(x)0，limxx0xx0AB． 1b0，则lim(x)(x)0是否成立？为什么？xx0(x)确定a，b之值，使limx3x4x7(axb)0，2并在确定好a，b后求极限limxx3x4x7(axb)2 求极限lim(xxx1x12x)． 求极限limx2xcosx3xsinx2． 2求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(10x1)(10x1)(11x1)2 2求极限limxx2x2x5(x1)． 求极限lim(4x8x52x1)． x讨论极限limx2e3x3x3ee22x4e2x． 求极限lim22(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(2x3)(3x2)22232x． 求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(5x3)2(4x3)(3x2)(6x7)25234335x2x22． 求极限limx． 求极限limxa1a(a0，a1)． 求极限limtan2xtan(x4x)． 4确定a，b之值，使当x时，f(x)x4x5(axb)为无穷小． 2求极限limx1x3x2x4x35x1234． 求极限limx2x5x6x4x0223． 求极限limx23x22x2． 求极限limx22x53x42． 求极限lim52xx5253． 24求极限limx0(12x)(1x)3(14x)(13x)2(2xa)n4m 求极限limx0(1x)(1x)x2． 53求极限limanmxaxax2axax22(m，n为自然数)． 求极限lim(12x)(14x)x x0求极限limx0(13x)1． 设f(x)(a2)x12(a1)xax1问：(1)当a为何值时，limf(x)；(2)当a为何值时，limf(x)x1112；(3)当a为何值时，limf(x)0，并求出此极限值。x2求极限limx0cscxcotxx1tanxx3． 求极限limx01cosaxx2． 求极限limx0sinx1． 求极限limxtanxtan(0)x222cosxxx0求极限limx01sinxcosx1sinpxcospx(p为常数，p0)． 讨论极限lim． 求极限limx0ln(13x)1xsinxcosx． ． 求极限limx0xtanxxen12求数列的极限limnsin． lim(arctan)n1． nnn4nn2lim2sin． 求数列的极限limn(1cos)． n1nn2n求数列的极限求数列的极限 设f(x)是定义在x0(a，b)，则a，b上的单调增函数，(A)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(B)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(C)f(x00)，f(x00)都存在，而(D)limf(x)存在xx0xx0 limf(x)不一定存在 设x1a0，且xn1　答（）axn，证明：limxn存在，并求出此极限值n ．设x12，且xn12xn，证明limxn存在，并求出此极限值n。设x10，且xn112(xnaxn)(其中a0)，证明极限limxn存在，并求出此极限值．n 设x01，x11x01x0，，xn11xn1xn． 证明极限limxn存在，并求出此极限值。nn3n1111设xn2n，求证：limxn存在.n11313131设xn11221212，(n为正整数)求证：limxn存在． 设x112，x213241，，xn；135(2n1)246(2n)，(1)证明：xn2n1(2)求极限limxn．n求极限limx100x10x1x0.1x0.01x0.001xn1xn322． 设数列xn适合3r1,(r为定数）证明：limxn0． n求极限limxtanx3tanxcos(x6． 3)求数列的极限limn2nn!． n0．)．用极限存在的＂夹逼准求数列的极限lim(n则＂证明数列的极限1n12limn1n22212nnn3求数列的极限求数列的极限limnnsinn!． n122x111ln(23e)lim．． 222求极限lim3xnx(n1)(n2)(2n)ln(32e)63求极限limxln(x5x7)ln(x3x4)2． 求极限limxxxxxx． x，当x02设f(x)sin2x，g(x)x，当x0 2讨论limg(x)及limfg(x)．x0x0设lim(x)u0，limf(u)f(u0), 证明：limf(x)f(u0)。xx0uu0xx0无限循环小数0.9的值(A)不确定(B)小于1(C)等于1求极限limxmxnD)无限接近1x1xmxn2(m、n为正整数)．(答（若数列an适合an1anr(anan1)(0r1)求证：limaa2ra1．nn1rn设xn!其中, 求极限limxn＋1nanna0是常数，n为正整数 nx n求数列的极限lim(sec2nn)n． 设xx0时，(x)与(x)是等价无穷小且lim(x)f(x)A xx0证明：lim(x)f(x)Axx0 设lim0f(x)A，且A0，xx试证明必有x0的某个去心邻域存在，使得 在该邻域内1f(x)有界.下述结论：＂若当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，则当xx0时，ln1(x)与ln1(x)也 是等价无穷小＂是否正确？为什么？）应用等阶无穷小性质，15x2求极限lim13xarctan(1x)arctan(1x)x1x0． 1求极限limx0x2x1． 求极限lim(14x)2(16x)3xx0． 1求极限limx0(1ax)n1x(n为自然数)．a0． 求极限lim(52x)3x3x2x3． 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，且limf(x)xx0(x)xx0a1，limf(x)(x)g(x)f(x)(x)g(x)xx0A，证明：lim A．设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e (x)e(x)~(x)(x)．若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x)　　　与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是无穷小。试判定：(x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小吗？为什么？等价 确定A及n，使当x0时，f(x)ln(x21x)与g(x)Ax，2n是等价无穷小． 设f(x)sinx2sin3xsin5x，g(x)Ax，求A及n，使当x0时，f(x)~g(x)． n 设f(x)eg(x)Ax(ax)2e(ax)22ea2，(a为常数)n求A及n，使当x0时，f(x)~g(x).设f(x)　g(x)xx22Akx1x，确定k及A，使当x时，f(x)~g(x)． 设(x)x3x2，(x)c(x1)，确定c及n，使当x1时，(x)~(x)n3 证明不等式：ln(1求极限lim(axex0bx1n1)1n．(其中n为正整数)ax)x，(a，b为正的常数)求极限lim(x0bx1求极限limx1x1x1axan，(n为任意实数)． 求极限xlimx，(a0，a1)求极限lim3x2lnxlnx0xx0)x，(a0，b0)(x00)0求极限limxaaa3x1xax0x2x2(a0，a1)． e5x求极限limx0etanxexxsinx1xa1xb12x1． 求极限limx02eexx． 求极限lim1xx0． 求极限lim(x0)x(a0，b0且a1，b1，ab)1求极限limx(axaaxx1)(a0，a1)． 求极限limx0ln(secxtanx)sinx． 求极限limln(1ex求极限limxln(x0x)ln(x0x)2lnx0xcosxcos1)ln(1b)(a，b为常数，且a0).(x00)．xx02求极限lim(x)x(k2，kz)． 求极限limcosxx． 1求极限lim(12x)x 求极限lim(x02x12x1)3xx． 求极限lim(x12xx12xx122)． cotxx求极限lim(sinx)xtanx2 2求极限limtan(x)x求极限lim(sinxcosx)． x04x012x0． 1求极限lim(cosx0x)． 求极限lim(1xxx)x． 求极限lim(x2)ln(x2)2(x1)ln(x1)xlnxx 求极限limxx0lncosxx2． 求极限lim 求极限limln(1x)ln(x1)x．x－1lnxxx12． 11en).求数列的极限limnln(n1)lnn． 求数列的极限lim(nnnn求数列的极限limn(enanebn)，其中a，b为正整数． 求数列的极限limnn211ln(a)ln(a)2lna;其中a0是常数 nn求数列的极限lim(n2n1n121)． 求数列的极限limn(annn1)，其中a0． 求数列的极限(2limnenn1)nen(21)n22e． 求数列的极限lim(na2nb)，其中a0，b0． 求数列的极限lim(nn(n1)2n12n1)． n求数列的极限 3n22lim2n3n41x1x 计算极限：limsin(na)． n22设f(x)xsinsinx，limf(x)a，limf(x)b，则有x0x(A)a1，b1(B)a1，b2(C)a2，b1(D)a2，b2　　　　　　　　　　　　　　答（）计算极限limx01xlneex2xenxn 计算极限limln(1xx)ln(1xx)secxcosx1x1x222 x0求极限limx0tanmxsinnx(m，n为非零常数)计算极限limx0a21x1 计算极限limxa0xxa2计算极限在limx0xaln(ax)ln(ax)2lna(a0)计算极限limx01cosx1cosx2． 1(11tanx)xsinx422(a0)计算极限limx0xsinx计算极限limx0(e1)1x2(1cosx)ln(1x)limsinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx1x之值(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2x01(其中A、B、C、D是非0常数))则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1xn242)设limxn0及limnxn1xn22n2a存在，试证明：a1． 求lim(sin22cos1)x xxx计算极限limxax(a1)xaxa23(a0)计算极限limx2x3x3x2xx2232 计算极限limx0eexxcosx2xln(1x)计算极限xxxlimlim(coscos2cosn)x0222nr(0r1)，试证明liman0． n设有数列an满足an0及liman1annnn设有数列liman0． nan满足an0且limanr，(0r1)，试按极限定义证明：设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 试问：当x0时，(x)xx0xx0xsin21x，是不是无穷小？ x0的某去心邻域，使得设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在在该邻域为f(x)g(x)． 设f(x)xsin1x，试研究极限lim1f(x)x0 计算极限limx2ln(1332x2)． arcsin(3x4x4)n1(1)nn2设数列的通项为xnn，则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)1xlim0(1x)xe(B)xlim0(11x)xe1(C)limx(11x)xe1(D)limx(11x)x0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limxn． n eax1设f(x)x，当x0，且limf(x)Ab，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（）1cosax，当x02设f(x)，且limf(x)Axx0b，当x0则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数(B)a，b可取任意实数(C)a可取任意实数(D)a可取任意实数Aa22aA2a2 bAabA22 答（）设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)　适合limf(x)Ax1x1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数　　　　　　　　　　　　　　　答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a　　　　　当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数　　　　　　　　　　　答（）设(x)(1ax)213 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。求limxe2ex2sinxxxx3e4e． 设lim(xx2ax)8，则a__________xa __．__． lim(13x)x0__________ 当x0时，在下列无穷小中与x不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x(C)1x222 x1x(D)ee2x2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x)(B)1xxx221(C)tanxsinx(D)ee2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）计算极限limx01ex21xn12cosx limx3x54sin_____________________ 5x3x22计算极限limxxnx1xxn x1(x1)n1计算极限 lim(x1)(3x1)(nx1)x1计算极限 lim(cosx0x)x ．讨论极限limarctanx11x1的存在性。研究极限limarccotx01的存在性。x研究极限limxx2x3x12． 当x0时，下列变量中，为无(A)sinxx(B)lnx(C)arctan穷大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx1x1________________。“存在一正整数N，使当nN时，恒有设an0，且liman0，试判定下述结论nan1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出n极限liman存在的n结论。设有数列an满足ana0；n1r，0r1，试证明liman0 nan设limf(x)g(x)xx0存在，limg(x)存在，则xx0xx0limf(x)是否必存在？ limg(x)0．若limf(x)0，limxx0f(x)g(x)xx0A0，则是否必有xx0 当x0时，下列变量中为无穷(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x1)1(C)lnx(D)(1x)1x 1答（）xx0 设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明 limg(x)f(x)f(x)g(x)0．若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0A，则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。若limf(x)，limg(x)A，试判定limf(x)g(x)是否为无穷大？xx0xx0xx0 设xx0，f(x)，g(x)A，试证明limf(x)g(x)． xx0设当xx0时，f(x)，g(x)A(A0)，试证明limf(x)g(x)． xx0 设lnx1x，arcctgx，则当x时(A)~(B)与是同阶无穷小，但不是等价无穷小(C)是比高阶的无穷小(D)与不全是无穷小 答：（）f(x)1xsin1x(0x)(A)当x时为无穷小(B)当x0时为无穷大(C)当x(0，)时f(x)有界(D)当x0时f(x)不是无穷大，但无界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)x2x1axb，当x时为无穷小，则(A)a1，b1(B)a1，b1(C)a1，b1(D)a1，b1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x112n3x22)求lim()2 求lim(2nnx6xn1nn2nnnn2nlim()____ nn1 1n2n1nlimenenee2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(12nn 12(n1))____． x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大 答（）设f(x)1sin，试判断：xx;.(1)f(x)在(0，1)，内是否有界(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大 设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 试证明limcosx01x不存在。f(x)(x)，且lim(x)0，试证明limf(x)0 xx0xx0若在x0的某去心邻域内若在x0的某去心邻域内 f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B;试证明AB． xx0xx0sinlimx01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x等价无穷小;(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是(B)(x)与(x)是等价无穷小;;.(C)(x)是比(x)高阶的无穷小(D)(x)是比(x)高阶的无穷小 32 答（）设limx1xaxx4A，则必有x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.2 答（）1x1x1当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大 设当x0，(x)(1ax)23.）答（21和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。求a，b使lim(x23x2x12axb)1 设lim(3x4x7axb)0 , 试确定a，b之值。x设x11，xn1设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n2xn3(n1，2，)，求limxn． n1计算数列极限limtan() 计算极限limn(arctann4nn设当x0，(x)设(x)x2x)a3nn1arctannn)n11x31x33~Ax，试确定A及k． kx2x1，求A与K使limbx(x)xkxA(A0)极限lim(1x0(a0，b0)的值为 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）设limx0xa222212(a0)，试确定a，b之值。x(bcosx)设lim(3xxaxbx1)2，试确定a，b之值。2设limx1xaxxbx1x233，试确定a，b之值。计算极限lim(xxxx)计算极限lim 研究极限limx01xsinxcos2x xtanx22cosaxx(a0)的存在性。limxn．n计算极限limx04tanxetanx4sinxsinxex0设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列22xn收敛，并求极限n设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限 2 limxn．n设a1，b1是两个函数，令nnban1nanbn，bn1nanbn2，(n1，2，)试证明： liman存在，limbn存在，且limanlimbn计算极限limecosxe2x0x 计算极限 limxxxxxxx 计算极限lim(1x若limxnynn21x2)xx0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一nn式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，zn试判定：zn是否也必是无界数列。xnyn，如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1极限lim(cosx)xx02A．0；　B．　　C．1；　D．e12． 　　　　　　　　　　　　答（）极限limeexx2x0x(1x)的值为（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）极限limx01cos3x的值为（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列极限中不正确的是tan3xsin2x2A．limC．limx032cos；　B．limx12x1xx2； x1sin(x1)x12；D．limarctanxx0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）极限limln(1xx)ln(1xx)x222x0 A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1极限lim(cosx)xx01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量A．等价无穷小量；C．高阶无穷小量； 当x0时，无穷小量1－x是无穷小量12xB．同阶但非等价无穷小D．低阶无穷小量．x1的量； 答（n）m，n为常数，则数组2sinxsin2x与mx等价，其中m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1kx1xx0)e，则k的值为A．1；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x极限lim(112x2x)的值为A．e；　B．e1；　C．e4；　D．e14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(12xx)2xe2；　B．lim1xx(1x)2e2；1 C．lim(1x221x1xx)e；D．limx(1x)e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1极限limx0(12x)xA．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x14值为（）xx1)x的A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（2x1极限limx2x12x1的值是122A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列极限中存在的是A．limx1x2x；　B．lim11e1xx0；C．limxsinx1x；　D．lim121xx0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）极限limtanxsinxx1b3的值为12　D．． x0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）极限limxsinxx A．1；　B．0；　C．1；　D．．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limacosxxsinxx012，则a的值为 A．0；　B．1；　C．2；　D．1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x2)x03，则k的值为32；　C．6；　D．6． A．3；　B．　　　　　　　　　　　　　　　答（）x1设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组xx1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）2(a，b)为 4x3设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为 2A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）2极限limx6x8x28x12的值为x2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列极限计算正确的是A．limx2n；　n1x2n1B．xlimxsinxxsinx1；C．limxsinx　12x32n)n．x00；D．limn(1e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3极限lim(xx2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）数列极限lim(n2nn)的值为nA．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx3xcx1，则C的值为x11A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limxax61x的值为x15，则aA．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（））ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limx0f(x)xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，设f(x)xx0x1，则，x01e1xA．lim0f(x)0；xB．limf(x)limf(x)；x0x0C．limf(x)存在，limf(x)不存在； x0x0D．limf(x)不存在，limx0x0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limf(x)存在，则k的值为 xx3，x00A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim1)4；B．limx(x0；x3x0e1C．lim(1)x0；D．limsin(x1)0．x02x1x 答（）若limf(x)0，limg(x)c0(k0)．x0xkx0xk1 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小； C．f(x)为g(x)的同阶无穷小；D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小； 3C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn单调且有下界，则xn必收敛；yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则命题“b”，若数列xn、数列xn必收敛命题“a”，若数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若命题乙：若则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)xx0limf(x)、limg(x)都不存在，则xx0xx0limf(x)xx0g(x)必不存在；xx0limf(x)存在，而xx0limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx00；命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则xx0xx0xx0lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。xx9xx0 答（）xx0若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)A．必为无穷大量C．必为非零常数;B．必为无穷小量;D．极限值不能确定 答（n;．）设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则;相等;an，bn必都收敛，且极限相等A．an，bn必都收敛，但极限未必B．an收敛，而C．bn发散;an和bn可能都发散，也可能都D． 收敛．）答（下列叙述不正确的是A．无穷小量与无穷大量B．无穷小量与有界量的C．无穷大量与有界量的D．无穷大量与无穷大量 的商为无穷小量；积是无穷小量；积是无穷大量；的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是A．无穷大量的倒数是无B．无穷小量的倒数是无C．无穷小量与有界量的D．无穷大量与无穷大量 xx0xx0穷小量；穷大量；乘积是无穷小量；的乘积是无穷大量。答（）是 若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的A．limC．limxx0f(x)f(x)g(x)g(x);B．limxx0f(x)g(x)0;xx0c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0 答（）1设函数f(x)xcos，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； C．无穷小量； xx0B．无界，但非无穷大量D．无穷大量． 答（；）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷 设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量 f(x)在点x0处有定义是极限;小量 ． 答（）;D．无穷小量． 答（xx0）limf(x)存在的 A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条 答（件．）设正项数列an满足liman1ann0，则 A．liman0;B．limanC0;nnan的收放性不能确定．C．liman不存在;D．n 答（）若limanA(A0)，则当n充分大时，必有nA．anA； B．anA；C．aAn2； D．aAn2． 答（）数列an无界是数列发散的 A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非充分又非必要条 答（下列叙述正确的是 A．有界数列一定有极限；B．无界数列一定是无穷大量；C．无穷大数列必为无界数列； D．无界数列未必发散 　答（）件．）

第四篇：高等数学极限习题500道汇总

当xx0时，设1＝o()，1o()且limxx0存在， 1求证：limlim．xx0xx01 21若当x0时，(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小，则a1313A．　B．　C．　D．． 2222 答（）当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 答（）求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nnsin(n22)．nnn11)ln(1)． 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnn 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． x0x2 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)x11(x1)2 A． B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(12x)x0 A．1 B．e2 C．e D．2 答（）设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在233答：（）(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 ．xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值． x0x(x5)3已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）设limf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanxarctanx01x　D. 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答（）A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x) 32e1x，则f(0)___________ limarccotx01x 2 答（）A.0 B. C.不存在.D.limacosx0，则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答（）x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答：（）px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．已知limx1(ab)xb3x1x34，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？为什么？ (x)＂若lim(x)0，则limxx0xx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：limx1 2x1． 用无穷大定义证明：limlnx． x1x0用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：limx20x101． x1 ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limxxf(x)A＂的：0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件 答（）若limxxf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．0xx0证明：limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0．0g(x)1用数列极限的定义证明：liman0 用数列极限的定义证明：limann，(其中0a1)．n1用数列极限的定义证明：limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2． x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值．(0a1)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0xx0 f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散？若数列同发散，试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数，0a2)，设f(x)lim(1)求f(x)的表达式；x2n1sinxcos(abx)(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1应用等阶无穷小性质，求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x)． ． 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1． 求极限lim(n为自然数)．a0． x0x0xx(52x)x2． x3x3131213求极限lim 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)a1，limA，xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x)且lim 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答（）1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答（）已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答（）xn1设limx0及lima存在，试证明：a1． 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1)，试证明liman0． nannan满足an0且limnanr，设有数列(0r1)，试按极限定义证明：liman0． n设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2，n(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limxf(x)Ab，当x00则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（1cosax设f(x)x2，当x0，且limf(x)b，当x0x0A则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2(B)a，b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答（））设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数 答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a 当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数 答（）设(x)(1ax)213 ex2ex求lim． 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8，则a____________． lim(13x)x____________． xx0xa 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答（）计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx)．x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx11________________。lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论“存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0；设有数列r，0r1，试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0xx0g(x)f(x)A0，则是否必有limg(x)0．xx0g(x)若limf(x)0，limxx0xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答（）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明limxx0g(x)0．f(x)若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x)则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答（）x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.答（）x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答（）设当x0，(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。3x22求a，b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。xx1x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn． n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn，(n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）12 exex极限lim的值为（）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）极限lim1cos3x的值为（）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列极限中不正确的是 xtan3x32A．lim；　B．lim；x0sin2xx1x122 x21arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx 答（）cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量． 答（）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组（m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1kx)x0xe，则k的值为1A．1；　B．1；　C．；　D．2． 2 答（）1极限lim(1)2的值为x2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e1414x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1)2xe2；　B．lim(1)2xe2；xxxx 11C．lim(1)x2e2；D．lim(1)x1e2．xxxx 答（）1极限lim(12x)xx0A．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x1x4xx1)的值为（）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 答（）2x1极限lim2x1x2x1的值是A．1；　B．e；　C．e12；　D．e2． 答（）下列极限中存在的是A．limx2111xx；　B．limx01e1；C．limxsin；　xxx 答（）极限limtanxsinxx0x3的值为A．0；B．1b　C．12　D．． 答（）极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 答（）已知limacosxx0xsinx12，则a的值为A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 答（）已知limsinkxx0x(x2)3，则k的值为A．3；　B．32；　C．6；　D．6． 答（）D．lim1x02x1 x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2． 答（）极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 答（）数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（）ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limf(x)x0xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，x0设f(x)xx1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．xlim0f(x)xlim0f(x)；C．xlim0f(x)存在，xlim0f(x)不存在； D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim(x1xx3)4；B．xlim0e0；1C．limsin(x1)x0(12)x0；D．limx1x0． 答（）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn必收敛；命题“a”，若数列xn单调且有下界，则命题“b”，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛 数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0；g(x)命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。答（）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A．必为无穷大量;B．必为无穷小量;C．必为非零常数;D．极限值不能确定 ．设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则 n 答（）anA．，bn必都收敛，且极限相等;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等;an收敛，而bn发散;C．an和bn可能都发散，也可能都D．收敛． 答（）下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答（）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x);B．limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0g(x)答（）设函数f(x)xcos1，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； B．无界，但非无穷大量； C．无穷小量； D．无穷大量． 答（）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量;C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷小量 ． 答（）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;D．无穷小量． 答（）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条件． 答（）

第五篇：高等数学难点总结及课后习题解读

前面的话：

这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。

考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。可能以后也会有关于线代和概率的总结。

上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。下册

（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。下册

（二）是关于线面积分的，数一专题。

上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性„„应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：

一、这些多项式的系数如何求？

二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的。

下册

（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。

函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。

微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。

下册

（二）定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分，从物理意义上来理解是某个空间区域（直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域）的质量，其中被积元可看作区域的微小单元，被积函数则是该微小单元的密度

这些积分最终都是转化成定积分来计算

第二类曲线积分的物理意义是变力做功（或速度环量），第二类曲面积分的物理意义是流量

在研究上述七类积分的过程中，发现其实被积函数都是空间位置点的函数，于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数 场函数有标量场和向量场，一个向量场相当于三个标量场

场函数在一点的变化情况由方向导数给出，而方向导数最大的方向，称为梯度方向。梯度是一个向量，任何方向的方向导数，都是梯度在这个方向上的投影，所以梯度的模是方向导数的最大值

梯度方向是函数变化最快的方向，等位面方向是函数无变化的方向，这两者垂直

梯度实际上一个场函数不均匀性的量度

梯度运算把一个标量场变成向量场

一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系

物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度

散度运算把向量场变成标量场

散度为零的场称为无源场

高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来

无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充

物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为速度场的旋度

旋度运算把向量场变成向量场

旋度为零的场称为无旋场

斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。

无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

进一步考察无旋场的性质

旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零——即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零——即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关——相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数——所得的势函数的梯度正好就是原来的力场——因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分

简单的概括起来就是：无旋场——积分与路径无关——梯度场——有势场——全微分

要注意以上这些说法之间的等价性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

习题解读

基础阶段的复习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点（定义、定理、公式）并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。

很多人在学习中都容易忽视课本，觉得比起那些专门的参考资料，课本上的习题实际上是没什么值得关注的，但其实不然，一套经典的教材，它所配的习题很多都有值得我们去挖掘的地方。

那么接下来我就说说我对我们用的教材上课后习题的解读，希望能给同学们提示。因为高数的题目比较多，而我感觉每章的总习题有着更好的总结性，所以主要就说说总习题一到十二里我感觉值得注意的一些题目吧。

总习题一：

1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。

2是无穷小的阶的比较 3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可

7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了

8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了

9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可

10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可

11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可

12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握

13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要

综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题

总习题二：

1填空题，不多说了，重点

2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项（B）（C）设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导？而（B）（C）项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。而对（A）项来说只能保证右导数存在。只有（D）项是能确实的推出可导的

3物理应用现在基本不要求了

4按定义求导数，不难，应该掌握

5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可

6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可

7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容

8求二阶导数，同上题

9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可

10求隐函数的导数，重要，常考题型 11求参数方程的导数，同样是常考题型

12导数的几何应用，重要题型 13、14、15不作要求

综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路

总习题三

1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握

2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会

3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可

4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处

5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题 6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法

9非常见题型，了解即可

10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握

11不等式，一般可用导数推征，典型题 12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些 14、15、16不作要求

17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点

18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要

19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想

20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大

综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧„„

积分的题目是做不完的。

当然，如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势，最终把所有题目搞定了，这还是值得恭喜的，尽管可能这会花掉很多时间，但仍然是值得的„„因为这有效的锻炼了思维。

总习题五

1填空，重要，但第（2）、（3）问涉及广义积分，不作要求

2典型题，前3题用定积分定义求极限，需重点掌握，尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式，积分区间和被积函数如何定，这个是需要适当的练习才能把握好的，后2题涉及积分上限函数求导，也是常见题型

3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误，需细心体会，重要

4利用定积分的估值证明不等式，技巧性较强

5两个著名不等式的积分形式，不作强制要求，了解即可

6此题证明要用5题中的柯西不等式，不作要求

7计算定积分，典型题

8证明两个积分相等，可用一般方法，也可利用二重积分的交换积分次序，设计巧妙的重点题目

9同样是利用导数证明不等式，只不过对象变得比一般函数复杂，是积分上限函数，但本质和第三章的类似题目无区别，不难掌握

10分段求积分，典型题

11证明积分第一中值定理，要用到连续函数的介值定理，难度高于积分中值定理的证明，可作为提高和锻炼性质的练习

综上，总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10

定积分的应用一块的考察，现在更偏重的是几何应用

1物理应用，跳过

2所涉及到的图形较为复杂，是两个圆，其中第二个是旋转了一定角度的圆，不易看出，此题可作为一个提高性质的练习

3重点题，积分的几何应用和极值问题相结合，常考题型之一

4旋转体体积，需注意的是绕哪条线形成的旋转体，所绕的轴不同的话，结果不同

5求弧长，非典型题，了解即可 6、7、8均为物理应用，不作要求，有兴趣的不妨一试

综上，总习题六实际上就2、3、4题需要引起注意

第七章空间解析几何，只对数一的同学有要求，数二三四的就直接pass吧

总习题七

1填空，向量代数的基本练习，必不可少 2、3、4、5都是平面向量几何的题目，不太重要，不过适当练习可以培养起用向量的方式来思考问题的习惯 7、8、9、10、11都是与向量有关的运算，包括加（减），数乘、点积（相应的意义是一个向量在另一个向量的投影）、两向量的夹角、叉积（相应的意义是平行四边形的面积），要通过这些题目熟悉向量的各种运算，重要

12用证明题的形式来考察对混合积的掌握，需掌握

13按定义写点的轨迹方程，解析几何中的常见题，了解基本做法即可

14旋转曲面相关题目，非常重要，要搞清楚绕某一轴旋转后的旋转曲面写法 15、16求平面的方程，顺带可复习近平面方程的类型，这类问题的解决办法一般是先从立体几何中考虑，想到做法再翻译成解析几何的语言，重在思路的考察，需多加练习

17求直线方程，同上题

18解析几何与极值的混合问题，也是一类典型题 19、20考察投影曲线和投影面，这部分知识是多重积分计算的基础，要重点掌握

21画出曲面所围的立体图形，有一定难度，是对空间想象能力的锻炼，尽量都掌握

综上，总习题七需重点掌握的题目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下册的内容有很多数二数三数四不考，因此我在解读习题时尽量标注出是数一要求的，大家平时也多查查考纲或者翻翻计划，这样对于哪些考哪些不考就更清楚了。

总习题八：

1填空，很重要

2选择，着重考查一条说法，偏导数存在未必可微，这个是无论数几都需要的，还有就是偏导数的几何应用，这个只数一要求

3基本题，求二元函数的定义域和极限，因为是初等函数，直接用“代入法”求极限就可以了

4典型题，判断极限存在性，考察如果证明一个二元函数的极限是不存在的（常用方法是取两条路径）

5典型题，求偏导数，注意在连续区间内按求导法则求，在间断点处只能按定义求

6求高阶偏导数，到二阶的题目需要熟练掌握

7微分的概念，简单题目，直接按微分和增量的定义即可

8重点题型，对一个二元函数，考察其在某点的连续性、偏导存在情况和可微性，务必熟练此类题目 9、10、11、12复合函数求偏导的链式法则，重点题型，要多加练习的一类题目，复合函数中哪些自变量是独立的，哪些是不独立的，还有各自对应关系，判断好这些是解题的关键 13、14分别是极坐标和直角坐标情形下偏导数的几何应用，数一要求 15、16方向导数相关题目，该知识点与第十一章联系密切，重要，数一要求 17、18多元函数的极值问题，典型题，且通常都是结合条件极值来考，这类题目一定要熟练，其中08年真题中一道极值题目就是把17题中的柱面改成锥面，其它完全一样，由此可见对课本要重新重视。

综上，总习题八需要重点掌握的题目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（数一）、14（数一）、15（数一）、16（数一）、17、18

第九章的内容中，二重积分以外的内容是数二三四不要求的，就不在题号后一一写明了

总习题九

1选择题，实际是考察多重积分的对称性，属于典型题，在多重积分的情况下，对称性的应用比定积分要复杂，重要，第（1）小问是三重积分，只数一要求，第（2）小问是二重积分 2、3基本题型，计算二重积分或者是交换二重积分的顺序，需要熟练掌握

4利用交换积分次序证明等式，体会一下方法即可

5基本题型，利用极坐标计算二重积分，实际上在计算多重积分时本就要求根据不同的积分区域选择合适的坐标系，这是一个基本能力，重要

6确定三重积分的积分区域，比较锻炼空间想象能力的一类题，重要

7计算三重积分，基本题型，仍然要注意区域不同，所选坐标系不同

8重积分的几何应用，从二重积分的角度，或者从三重积分的角度都可以求解，此题要求数二三四考生也掌握 9、10、11是重积分的物理应用，不作要求

综上，总习题九需要重点掌握的题目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的内容全部针对数一

总习题十

1填空，相关知识点是两类线、面积分之间的联系，重要

2选择，考察的是第一类曲面积分的对称性，与重积分的对称性类同，重点题型。需要注意，第二类线、面积分与第一类会有所不同，因为第二类线、面积分的被积元也有符号，这是和第一类线、面积分的区别

3计算曲线积分，基本题型，需要多加练习，六个小题基本覆盖了曲线积分计算题的类型

4计算曲面积分，基本题型，要求同上题。注意在计算线、面积分时，方法很多，常用的有直接转化成定积分或二重积分，或用Green公式，Guass定理，在用这两个定理时又要注意其成立的条件是所围区域不能有奇点，甚至不是闭区域要先补线或者补面，此类题目一定要熟练掌握

5全微分的相关等价说法，典型题，顺带可回顾一下与全微分有关的一系列等价命题 6、7线面积分的物理应用，不作要求

8证明，涉及的知识点多，覆盖面广，通过此题的练习可回忆和巩固线面积分的几乎所有知识点（把梯度和方向导数包括进来了），推荐掌握

9从流量的角度出发理解第二类曲面积分，基本题型

10用Stokes定理积分空间曲线积分，基本题型，01年考过

综上，总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是级数，数二数四不要求，其中傅立叶级数对数三无要求

总习题十一

1填空，涉及级数敛散性的相关说法，重要

2判断正项级数的收敛性，典型题，综合应用比较、比值、根值三种方法，在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小，这样可让思路更清晰

3抽象级数的概念题，重点题型之一，要利用级数收敛的相关性质判断

4设置了陷阱的概念题，因为比较判别法只对正项级数成立，也是重点题型之一

5判断级数的绝对收敛和条件收敛，典型题，通过这些练习来加强对这类题目的熟练度

6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限，体会方法即可

7求幂级数的收敛域，典型题，要多加练习，注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别

8求幂级数的和函数，典型题，重要，一般求和函数都不用直接法而用间接法，即通过对通项作变形（逐项积分或求导等），再利用已知的常见函数的展开式得到结果，注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。

9利用构造幂级数来求数项级数的和，也是一类重要题型

10将函数展开为幂级数，与8是互为反问题，仍是多用间接展开法，方法上异曲同工，需要熟练掌握，同样注意不要忘记收敛域 11、12傅立叶级数的相关题目，基本题，此类题目记得相应的系数表达式就可解决，一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记，只能平时多加回顾，还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况（即狄利赫莱收敛定理）

综上，总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二阶以上的方程对数四不作要求，下面不再详细说明

总习题十二

1填空，涉及微分方程理论的若干说法，基本题，第（2）问只数一要求

2通过解的形式观察出相应的微分方程，典型题，其中第（2）问更重要 3、4求解不同类型的微分方程，通过这些题目的练习，基本对各种方程的解法有一定了解，同时也培养了一些解题思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求

5微分方程的几何应用，基本题

6微分方程的物理应用，不作要求

7由积分方程推导微分方程，典型题，要求掌握

8用变量代换化简微分方程，典型题，只对数一有要求，注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系

9涉及微分方程基本理论的题目，非常见题型，但可体会其出题思路

10欧拉方程的练习，数一要求