北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.4

第一篇：北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.4

习题1.4

1.直接用-说法证明下列各极限等式:(1)limxaxa(a0);(2)limxa;(3)limee;(4)limcosxcosa.xaxaxa22xa证(1)0,要使||xa|xa||x-a|xa,由于|x-a|xa|x-a|ax,a|,故lim只需,|xa|a.取a,则当|xa|时,|xa.axa(2)0,不妨设|xa|1.要使|x2a2||xa||xa|,由于|xa||xa||2a|1|2a|,只需(1|2a|)|xa|,|xa|当1|2a|.取min{1|2a|,1},则|xa|时,|x2a2|,故limx2a2.xa(3)0,设xa.要使|exea|ea(exa1),即0(exa1)ea,1exa1ea,0xalnmin{1,1},则当0xa时,|exeaa,取|e|2a|,1故limexea.类似证limexea.故limexea.xaxaxa(4)0,要使|cosxcosa|2sinxaa2sinxa22sinxa2sinx2|xa|,取,则当|xa|时,|cosxcosa|,故limcosxcosa.xa2.设limf(x)l,证明存在a的一个空心邻域(a,a)(a,a),使得函数uf(x)在xa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当 0|x-a|时,|f(x)l|1,从而|f(x)||f(x)ll||f(x)l||l|1|l|M.3.求下列极限:2(1)lim(1x)21lim2xxlim(1x1.x02xx02xx02)22sin2x(2)lim1cosx21sinx1x0x2limx0x22lim2121.x0x222(3)limxaaxxlim1(a0).x0x0x(xaa)2a(4)limx2x2x12x22x323.x2(5)limx22x02x22x33.1

201030(6)lim(2x3)(2x2)x(2x1)3022301.(7)lim1x1xlim2x1.x0xx0x(1x1x)(8)lim13x2x13x2x2x1x1x31limx1(x1)(x2x1)limx1(x1)(x2x1)lim(x1)(x2)(x2)3x1(x1)(x2x1)limx1(x2x1)31.(9)lim12x3lim(12x3)(x2)(12x3)x4x2x4(x2)(x2)(12x3)lim(2x8)(x2)24x4(x4)(12x3)643.n(n1)2nlimxn1n(10)1ny2yyx1lim(1y)x1y0ylimn.y0y(11)limx21x21lim20.xxx21x21mm1(12)lima0xa1xamamx0bnn10xbb(bn0)1xnb.n1a0/b0,mn(13)lima0xma1xmamxbnbn1b(ab000)0, nm0x1xn, mn.x4818/x4(14)limx111/x21.x2limx313x3(15)lim12xx0xx2(32213x333lim12x)(13x13x312x312x)x0xx2)(3213x313x312x32(12x)lim5xx0x(1x)(3213x3213x312x312x)

lim5225x0(1x)(313x313x312x312x)3.(16)a0,limxaxalimxa1xa0x2a2xa0x2a2xalim(xa)(xa)1xa0xaxa(xa)xa2

lim(xa)1xa0xaxa(xa)xa

limxa11.xa0xa(xa)xa2ax4.利用limsinx1及lim1xxx1xe求下列极限:(1)limsinxsinxx0tanxlimx0sinxlimcosxx0.sin(2x2)sin(2x2(2)lim)2x2x3xlim100x02x2limx03x(3)limtan3xsin2xlimtan3xsin2x21x0sin5xx0sin5xlimx0sin5x3555.(4)limxlimxx01cosxx02sinx2.2cosxaa(5)limsinxsina2sinx2cosa.xaxalimxaxa2kkxx(k)x(6)limlimkkkek.1xxx1kxlimx1x5(7)lim(15y)1/y1/(5y)5y0lim(15y)e.y0x100x10(8)lim110lim11e.xxx1xlimx1x5.给出limf(x)及limf(x)的严格定义.xaxlimf(x):对于任意给定的A0,存在0,使得当0|x-a|时f(x)A.xalimf(x):对于任意给定的A0,存在0,使得当x时f(x)A.x3

第二篇：北大版高等数学第一章 函数及极限答案习题1.6

习题1.6

1.证明:任一奇数次实系数多项式至少有一实根.证设P(x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则limP(x),x

limP(x),存在A,B,AB,P(A)0,P(B)0,P在[A,B]连续,根据连续函数

x的中间值定理,存在x0(A,B),使得P(x0)0.2.设01,证明对于任意一个y0R,方程y0xsinx有解,且解是唯一的.证令f(x)xsinx,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f(|y0|1)|y0|1|y0|y0,f在[|y0|1,|y0|1]连续,由中间值定理,存在x0[|y0|1,|y0|1],f(x0)y0.设x2x1,f(x2)f(x1)x2x1(sinx2sinx1)x2x1|x2x1|0,故解唯一.3.设f(x)在(a,b)连续,又设x1,x2(a,b),m10,m20,证明存在(a,b)使得f()

m1f(x1)m2f(x2)

m1m2

.证如果f(x1)f(x2),取x1即可.设f(x1)f(x2),则f(x1)

m1f(x1)m2f(x1)

m1m2



m1f(x1)m2f(x2)

m1m2



m1f(x2)m2f(x2)

m1m2

f(x2),在[x1,x2]上利用连续函数的中间值定理即可.4.设yf(x)在[0,1]上连续且0f(x)1,x[0,1].证明在存在一点t[0,1]使得f(t)t.证g(t)f(t)t,g(0)f(0)0,g(1)f(1)10.如果有一个等号成立,取t为0或1.如果等号都不成立,则由连续函数的中间值定理,存在t(0,1),使得g(t)0,即f(t)t.5.设yf(x)在[0,2]上连续,且f(0)f(2).证明在[0,2]存在两点x1与x2,使得|x1x2|1,且f(x1)f(x2).证令g(x)f(x1)f(x),x[0,1].g(0)f(1)f(0),g(1)f(2)f(1)f(0)f(1)g(0).如果g(0)0,则f(1)f(0),取x10,x21.如果g(0)0,则g(0),g(1)异号,由连续函数的中间值定理,存在(0,1)使得g()f(1)f()0,取x1,x21.

第三篇：北大版高等数学第一章 函数及极限答案习题1.2（范文）

习题1.2 1.求下列函数的定义域:(1)yln(x24);(2)yln1x5xx211x;(3)yln4;(4)y2x25x3.解(1)x240,|x|24,|x|2,D(,2)(2,).(2)1x1x0.1x0或1x01x01x0.1x1,D(1,1).(3)5xx241,x25x40.x25x40,(x1)(x4)0,x11,x24.D(1,4).(4)2x25x30.(2x1)(x3)0,x13,x21/2.D(,3)(1/2,).2.求下列函数的值域f(X),其中X为题中指定的定义域.(1)f(x)x21,X(0,3).f(X)(1,10).(2)f(x)ln(1sinx),X(/2,],f(X)(,ln2].(3)f(x)32xx2,X[1,3],32xx20,x22x30,(x1)(x3)0,x11,x23,f(X)[0,f(1)][0,4].(4)f(x)sinxcosx,X(,).f(x)2(sinxcos(/4)cosxsin(/3))2sin(x/4),f(X)[2,2].3.求函数值：设f(x)lnx2(1)ln10,求f(1),f(0.001),f(100);(2)设f(x)arcsinx1x2,求f(0),f(1),f(1);(3)设f(x)ln(1x),x0,x, 0x,求f(3),f(0),f(5).cosx,0x1,(4)设f(x)1/2, x1,求f(0),f(1),f(3/2),f(2).2x, 1x3解(1)f(x)logx2,f(1)log10,f(0.001)log(106)6,f(100)log104=4.(2)f(0)0,f(1)arcsin(1/2)/6,f(1)arcsin(1/2)/6.(3)f(3)ln4,f(0)0,f(5)5.(4)f(0)cos01,f(1)1/2,f(3/2)22,f(2)4.4.设函数f(x)2x2x,x2,求f(x),f(x1),f(x)1,f11x,f(x).解f(x)2x2x13x2x,x2;f(x1)2x11x,x1,x3, 2x4121/x2x11,x2;f,x0,x1/2,2x2xx21/x2x112x,x2.f(x)2xf(xx)f(x)5.设f(x)x3,求，其中x为一个不等于零的量.xf(xx)f(x)(xx)3x3x33x2x3xx2x3x3解3x23xx2.xxx6.设f(x)lnx,x0,g(x)x2,x,试求f(f(x)),g(g(x)),f(g(x)),g(f(x)).f(x)1解f(f(x))f(lnx)lnlnx,x1;g(g(x))g(x2)x4,x;f(g(x))f(x2)lnx2,x0;g(f(x))g(lnx)ln2x,x0.0, x0,x, x0;7.设f(x)g(x)求f(g(x)),g(f(x)).x,x0;1x,x0,解x,g(x)0,f(g(x))0.g(0), x0,0, x0,g(f(x))g(x),x0.x,x0.8.作下列函数的略图:(1)y[x],其中[x]为不超过x的最大整数;(2)y[x]x;1(3)ysinhx(exex)(x);21(4)ycoshx(exex)(x);2x2, 0x0,(5)yx1,1x0.（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

x29.设f(x),x0,求下列函数并且作它们的图形x, x0,:(1)yf(x2);(2)y|f(x)|;(3)yf(x);(4)yf(|x|).解(1)yx4,x.(2)y|f(x)|x2,x0，x, x0.(3)yf(x)x2,x0,x2,x0,x, x0x, x0.(4)yf(|x|)x2,x.3

求下列函数的反函数:(1)yx22x(0x);(2)ysinhx(x);(3)ycoshx(0x).解(1)x22xy,x22yx40,xyy24,yxx24(x).exex(2)y,zex,z22yz10,exzyy221,xln(yy21),yln(xx21),(x).(3)exex2y,zex,z22yz10,exzyy21,xln(yy21),yln(xx21),(x1).证明cosh2xsinh2x1.exex2exex2(e2x证coshxsinhxe2x2)(e2xe2x222)2241.下列函数在指定区间内是否是有界函数?(1)yex2,x(,);否(2)yex2x(0,1010);是(3)ylnx,x(0,1);否(4)ylnx,x(r,1),其中r0.是2(5)yex2sinxcos(2x),x(,);是|y|12112.4 10.11.12.(6)yx2sinx,x(,);否.(7)yx2cosx,x(1010,1010).是

13.证明函数y1xx在(1,)内是有界函数.证y1xx(1xx)(1xx)1xx11xx121(x1).13.研究函数yx6x4x21x6在(,)内是否有界.|x|1时,x6x4x2x6x4x23x6解1x63,|x|1时,1x6x63,|y|y3,x(,).5

第四篇：北大版高等数学第一章 函数及极限答案习题1.3

习题1.3

1.设xn

nn2

(n1,2,),证明limxn1,即对于任意0,求出正整数N,使得

n

当nN时有 |xn-1|,并填下表:

n

1|

2n2

,只需n

22,取

证0,不妨设1,要使|xn-1||N

n2

2

2,则当nN时,就有|xn-1|.

n

n

2.设limanl,证明lim|an||l|.证0,N,使得当nN时,|anl|,此时||an||l|||anl|,故lim|an||l|.n

3.设{an}有极限l,证明

(1)存在一个自然数N,nN|an||l|1;

(2){an}是一个有界数列,即存在一个常数M,使得|an|M(n12,).证(1)对于1,N,使得当nN时,|anl|1,此时|an||anll||anl||l||l|1.(2)令Mmax{|l|1,|a1|,,|aN|},则|an|M(n12,).4.用-N说法证明下列各极限式:

(1)lim

n

3n12n3



;(2)lim

n

n1

0;

(3)limnq0(|q|1);(4)lim

n

n

2n

n!n

n

0;

111(5)lim1;n1223(n1)n11(6)lim0.3/23/2n(n1)(2n)证(1)>0,不妨设<1,要使

3n12n3

32

112(2n3)

,只需n

112

3,取N

3n133n1311

3,当nN时,,故lim.2n2n32n322

(2)>0,要使

,由于



只需

,n



3,1

取N

3(3)|q||nq|

n

,当

nN时1

.1n

(0).n4



1n124n

n

n(n1)

(1)6n

n



n(n1)(n2)



}.

3n



(n1)(n2)n!n

n

,n1.

,Nmax{4,243

(4)

1n

,n

,N

111(5)1

(n1)n1223

111111111

1,n,N

n(n1)n1223



.

(6)

1(n1)

n

3/2



1(2n)

3/2



n(n1)

3/2



,n

,N

12.

5.设liman0,{bn}是有界数列,即存在常数M,使得|bn|M(n1,2,),证

明limanbn0.n

证0,正整数 N,使得

|an|故limanbn0.n



M,|anbn||an||bn|



M

M,6.证明lim

n

1.证0,要使1|n(1)

n

1,只需

n(1)

n

1.4n

而

1n

nn(n1)





(n1)



4n,只需1,n

,N

4

2.

7.求下列各极限的值:(1)limn

lim

n

0.22

(2)lim

n

n3n1004nn2(2n10)nn

lim

n

13/n100/n41/n2/n



.(3)lim

n

lim

n

(210/n)11/n

n

16.2

1

(4)lim1

nn

2n

1

lim1

nn

e.2

11

(5)lim1limn1

nnn11

11

n1n1

1

lim1nn11

(6)lim1

nn

n

n

n

n1



1

lim1nn1

n

n

1e

.111

lim1,取q(,1),N,当nN时,1qnnen

11

10,即lim1nnn

n

n

n

n

n

1nn

01q,limq0,lim

nnn

n

n

n

0.1111

(7)lim12lim1lim1e1.nnnnnne

8.利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:(1)xnxn1(2)xn

11112121



1n,xn1xn2

121

n

1(n1)

xn,

1(n1)n1

1n

2.xn单调增加有上界，故有极限.,xn1xn

n1



21



1

xn,1n

111111111.xn2n12n12222222211

2xn单调增加有上界，故有极限.(3)xn

1n1



1n2



1nn

.xn1xn

12n2



1n1



12n2

0,xn1xn,xn0,xn单调减少有下界，故有极限.(4)xn11

12!

1n!

.xn1xn

1(n1)!

0,111111

xn2133.223nn1nxn单调增加有上界，故有极限.11

9.证明e=lim11.n2!n!

11n(n1)1n(n1)(nk1)1

证11n2k

nn2!nk!n

n(n1)(nn1)1

n!

n

n

n

2

1111k111n1111112!nk!nnn!nn1

n

11111.elim1lim11.nn2!n!n2!n!对于固定的正整数k,由上式,当nk时,11111k112111,n2!nk!nn

11

令n得e11,2!k!

1111

elim11lim11n.k2!k!2!n!

10.设满足下列条件:|xn1|k|xn|,n1,2,,其中是小于1的正数.证明limxn0.n

n

n1

证由|xn1|k|xn|k|xn1|k|x1|0(n),得limxn0.n

第五篇：北大版高等数学第一章 函数及极限答案习题1.5

习题1.5 1.试用说法证明(1)1x在x0连续(2)sin5x在任意一点xa连续.证(1)0,要使|x,|x|221x210|2x22.由于22x22x,只需221x11x110|,故1x在x0连续.5(xa)2|.,取,则当|x|时有|1x5x5a2||sin(2)(1)0,要使|sin5xsin5a|2|cos由于2|cos取5x5a2||sin5(xa)2|5|xa|,只需5|xa|,|xa|5,5,则当|xa|时有|sin5xsin5a|,故sin5x在任意一点xa连续.2.设yf(x)在x0处连续且f(x0)0,证明存在0使得当|xx0|时f(x)0.证由于f(x)在x0处连续,对于f(x0)/2,存在存在0使得当|xx0|时f(x)f(x0)|f(x0)/2, 于是f(x)f(x0)f(x0)/2f(x0)/20.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取 x0(a,b),f在x0连续.任给0,存在0使得当|xx0|时|f(x)f(x0)|,此时||f(x)||f(x0)|||f(x)f(x0)|,故|f|在x0连续.其逆命题1,x是有理数不真,例如f(x)处处不连续,但是|f(x)|1处处连续.1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2ln(1x), x1,1x,x0,(1)f(x)(2)f(x)aarccosx,x1.ax x0;解(1)limf(x)limx0x0x1x11x21f(0),limf(x)f(0)a1.x0x1x1(2)limf(x)limln(1x)ln2f(1),limf(x)limaarccosxaf(1)ln2,aln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx1xx22xcoslimx1xxxcos01.(2)limxx2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex0sin3xelimx0e3.arctanlimx(4)limarctanxx8x124x8x124arctan14.1(5)limx(x13|x|x122x2)|x|2x2xx02lim(xx122x2)|x|limxxx03lim22x11/x12/xg(x)32.6.设limf(x)a0,limg(x)b,证明lim)f(x)xx0lim[(lnf(x))g(x)]a.a.bb证lim)f(x)xx0g(x)lim)exx0(lnf(x))g(x)exx0eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)cos(x[x]),间断点nZ,第一类间断点.(2)f(x)sgn(sinx),间断点n,nZ,第一类间断点.x,x1,(3)f(x)间断点x1,第一类间断点.1/2,x1.x1,0x1(4)f(x)间断点x1,第二类间断点.,1x2,sinx11,0x1,2x(5)f(x)x,1x2,间断点x2,第一类间断点.1,2x3.1x22

8.设yf(x)在R上是连续函数,而yg(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)f(x)g(x)及(x)f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)f(x)g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)(f(x)g(x))f(x)将在x0点连续,矛盾.而(x)f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)0,g(x)D(x).