第一篇:高等数学极限习题500道
当xx0时,设1=o(),1o()且lim求证:lim xx0存在,11xx0limxx0.1 若当x0时,(x)(1ax)231与(x)cosx1是等价无穷小,则a 1313A. B. C. D..2222 答()阶的是2当x0时,下述无穷小中最高A x B1 cosx C 1x n21 D xsinx()n 答n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值. 求极限lim(1)nsin(n2).2e1x11求极限lim(n)ln(1). lim3x0n2nxsinx x22的值_____________ 设有数列a1a,a2b(ba),an2求证:limynlim(an1an)及liman.nnnan1an2 设x1a,x2b.(ba0)xn2记:yn1xn1sinx2xnxn1xnxn1,1,求limyn及limxn.nnxn求极限limx0(12x)cosxx2之值. 设limu(x)A,A0;且limv(x)Bxx0xx0试证明:limu(x)xx0v(x)A.B limln(1x)(x1)2x11A. B.1 C.0 D.ln2 答()lim(12x)x0sinxx A.1 B.e C.e D.2 2 答()设u(x)1xsin求:lim212.f(u)ux及limu(x)之值,并讨论x0f(u)1u1u1limfu(x)1u(x)1 的结果.x0limx9xx6 xx32的值等于_____________ lime4exxxx3e2e 1A. B.2 C.1 D.不存在3答:()lim(2x)(3x)(6x)835x A.1 B.1 C.1232053 D.不存在答:()lim(12x)(13x)(16x)321510x__________3__ limxee12xxxx0的值等于____________ 求极限lim x3x2xxx132 求lim.16x4x1x0x(x5)之值. 已知:limu(x),limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)?为什么?xx0 关于极限lim5351结论是:54x03exA B 0 C D 不存在 答()设limxxf(x)A,limg(x),则极限式成立的是0xx0A.limf(x)xxg(x)00B.limg(x)xxf(x)0C.limxxf(x)g(x)0D.limf(xg(x)xx)0 答()f(x)excosx,问当x时,f(x)是不是无穷大量. limtanx1x0arctanxA.0 B.不存在.C.2 D.2 答()limarctan(x2)xxA.0 B. C.1 D.2 答()lim2x1xx23A.2 B.2 C.2 D.不存在 答()设f(x)31,则f(0)___________ 2ex limarccot1x0xA.0 B. C.不存在.D.2 答()limacosx0,则其中x0ln1xaA.0 B.1 C.2 D.3 答()lime 2xx0e3x的值等于__________1cosx2(1cos2x)xx__ limx0 A.2 B.2 C.不存在.D.0答:()设f(x)pxqx5x52,其中p、q为常数. 问:(1)p、q各取何值时,limf(x)1;x(2)p、q各取何值时,limf(x)0;x(3)p、q各取何值时,limf(x)1.x5求极限limx(x2nn2)(x222nn2)22(x1)(x1)4. 求极限lim(3x2)(2x3)3232x. 已知limx3AB(x1)c(x1)(x1)22x10 试确定A、B、C之值. 已知f(x)试确定常数ax3bx22cxdxx2a,b,c,d之值.,满足(1)limf(x)1,(2)limf(x)0.xx1 已知lim(ab)xb3x1x3xx0x14,试确定a,b之值. 1"上述说法是否正确?(x)为什么? "若lim(x)0,则limxx0 当xx0时,f(x)是无穷大,且limg(x)A,xx0 证明:当xx0时,f(x)g(x)也为无穷大.用无穷大定义证明:用无穷大定义证明:limx12x1. 用无穷大定义证明:x1tanx 用无穷大定义证明:3x0 limlnx.limx02x10lim1x1. 用无穷大定义证明:用无穷大定义证明:x lim(x4x).limlogxa x(其中0a1). 若当xx0时,(x)、(x)都是无穷小,则当xx0时,下列表示式哪一个不一定是无穷小.(A)(x)(x)(B)(x)(x)(C)ln1(x)(x)(D)22 (x)(x)2 答()"当xx0,(x)是无穷小量"是"当xx0时,(x)是无穷小量"的(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件,亦非必要条件 答()"当xx0时,f(x)A是无穷小"是"limf(x)A"的:xx0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件,亦非必要条件 答()若limf(x)0,limg(x)0,但g(x)0.xx0xx0证明:lim limf(x)g(x)xx0b的充分必要条件是0.n f(x)bg(x)g(x)xx0用数列极限的定义证明用数列极限的定义证明:liman 0,(其中0a1). 1(0a1).:liman1n用数列极限的定义证明lim1cos(sinx)2ln(1x)2:limn(n2)2n52n1. 2x0的值等于___________ 求极限lim(cosx)xsinx31之值. x0(1xsinx)求极限limx0x1x3之值. lim(cosxsinx)xx22x2x1x0__________ __ lim(12x)x(cosx)23x1x0_____________ lim(1sinx)1x0__________2sinx3limx0xx11x1求极限limx()1之值. ______________ xx10(x)u(x)(x),且当xx0时,(x)~(x). 设在x0的某去心邻域内试证明:当 xx0时 (x)~u(x).设当xx0时,(x)0,(x)o(x),1(x)~(x).lim求证:lim(x)(x)u(x)A.xx0存在(A0)1(x)(x)u(x)572xx0求limx0(13x)(12x)(2x1)1之值. 设当xx0,(x),1(x),(x),1(x)均为无穷小,且(x)~1(x);(x)~1(x),如果lim1(x)(x)1xx0A 试证明:lim1(x)(x)lim11(x)1(x).xx0xx0 设当xx0,(x),(x)都是无穷小,且(x)0,(x)0试证明:1(x) (x)~(x)(x). 设当xx0时,(x)与1(x)均为无穷小,且试证明:lim(x)~1(x);如果lim1.(x)(x)xx0A1(x)a(x)1xx0lim11(x)a(x)xx0(式中a是正常数)用数列极限的定义证明 limn10. n!设limxnA,且BAC.n试证必有正整数N存在,使当 BAACnN时恒有 xn成立.22 设有两个数列xn,yn满足(1)limxn0;n(2)ynM(M为定数).试证明:lim(xnyn)0.n xsin设limf(x)A,求证:limf(x)A. 求极限limx0xx0xx021x sinxx1sin求极限limcosln(1x)coslnx 求极限limx0x1x. 1x求极限limx2x1x2arctan1x. 求极限lim1x(1e)xx 求极限limarctanxarcsinx 求极限limx0211x22x . 求数列的极限lim(sinnn1sinn)设lim(x)u0,且(x)u0,又limf(u)Axx0uu0试证:limf(x)Axx0 设f(x)x1lnx试确定实数a,b之值,使得: 当xa时,f(x)为无穷小;当xb时,f(x)为无穷大。设f(x)xtanx2,问:当x趋于何值时,f(x)为无穷小。若limf(x)A,limg(x)B,且BAxx0xx0 证明:存在点 x0的某去心邻域,使得在该邻域内 g(x)f(x).设limf(x)A,试证明:xx0对任意给定的0,必存在正数,使得对适含不等式0x1x0;0x2x0的一切x1、x2,都有f(x2)f(x1)成立。已知:limf(x)A0,试用极限定义证明:xx0xx0limf(x)A. 若数列xn与yn同发散,试问数列xnyn是否也必发散?求f(x)lim x2n1x12n1nx2n的表达式 x设f(x)limnsinxcos(abx)22nx1(其中a、b为常数,0a2),(1)求f(x)的表达式;(2)确定a,b之值,使limf(x)f(1),limf(x)f(1).x1x1求f(x)lim211(lnx)22n1n的表达式 求f(x)lim2xn2nxn1nnxxn的表达式. 设(x)x3x3,fn(x)1(x)(x)(x),求f(x)limfn(x).nxxx求f(x)limx的表达式. 2222n1n1x(1x)(1x)求f(x)limxnnnn1x的表达式. 设Snk1k,其中bk(k1)!,求limSn. nbk22nnx(1x)x(1x)x(1x)求f(x)lim12nn222的表达式。求f(x)limx(1(1limx)nnnx1nn1的表达式,其中nx)13a2(b)n1 x0.求数列的极限n3a2(b)n.(其中ab0). n求数列的极限limn533(2)32n. 求数列的极限lim(n1234532n12n). 求数列的极限 lim(12q3qnqnn1),其中q1.求数列的极限111lim na(a1)(a2)(a1)(a2)(a3)(an1)(an)(an1)其中a0.求数列的极限求数列的极限111lim n1335(2n1)(2n1)1111limn2334n(n1)12 .求数列的极限求数列的极限liman23n1223(n1)(其中a0)22221nlim(123(n1) .nn22求数列的极限limnn(n2n1). 求数列的极限limnn4n5(n1). n3n6(n1)(n1)n432求数列的极限limn. 求数列的极限求数列的极限limannn2a2 .(其中a1).lim(1n12)(1132)(11n2). 求数列的极限lim10000nn12n. 求数列的极限limnn4n33n5n1nnn22. 求数列的极限lim(n1nn). 求数列的极限limn123. 求数列的极限lim2nanb2n2n2n1n2n.(a0,b0且b2)3 求数列的极限limn(1nn2n1). 求数列的极限limn(nn1n21). 求极限lim. n12n1310210若在x0的某邻域内f(x)g(x),且limf(x)A,limg(x)B.nxx0xx0210310试判定是否可得:若lim(x)0,limxx0xx0AB. 1b0,则lim(x)(x)0是否成立?为什么?xx0(x)确定a,b之值,使limx3x4x7(axb)0,2并在确定好a,b后求极限limxx3x4x7(axb)2 求极限lim(xxx1x12x). 求极限limx2xcosx3xsinx2. 2求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(10x1)(10x1)(11x1)2 2求极限limxx2x2x5(x1). 求极限lim(4x8x52x1). x讨论极限limx2e3x3x3ee22x4e2x. 求极限lim22(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(2x3)(3x2)22232x. 求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(5x3)2(4x3)(3x2)(6x7)25234335x2x22. 求极限limx. 求极限limxa1a(a0,a1). 求极限limtan2xtan(x4x). 4确定a,b之值,使当x时,f(x)x4x5(axb)为无穷小. 2求极限limx1x3x2x4x35x1234. 求极限limx2x5x6x4x0223. 求极限limx23x22x2. 求极限limx22x53x42. 求极限lim52xx5253. 24求极限limx0(12x)(1x)3(14x)(13x)2(2xa)n4m 求极限limx0(1x)(1x)x2. 53求极限limanmxaxax2axax22(m,n为自然数). 求极限lim(12x)(14x)x x0求极限limx0(13x)1. 设f(x)(a2)x12(a1)xax1问:(1)当a为何值时,limf(x);(2)当a为何值时,limf(x)x1112;(3)当a为何值时,limf(x)0,并求出此极限值。x2求极限limx0cscxcotxx1tanxx3. 求极限limx01cosaxx2. 求极限limx0sinx1. 求极限limxtanxtan(0)x222cosxxx0求极限limx01sinxcosx1sinpxcospx(p为常数,p0). 讨论极限lim. 求极限limx0ln(13x)1xsinxcosx. . 求极限limx0xtanxxen12求数列的极限limnsin. lim(arctan)n1. nnn4nn2lim2sin. 求数列的极限limn(1cos). n1nn2n求数列的极限求数列的极限 设f(x)是定义在x0(a,b),则a,b上的单调增函数,(A)f(x00)存在,但f(x00)不一定存在(B)f(x00)存在,但f(x00)不一定存在(C)f(x00),f(x00)都存在,而(D)limf(x)存在xx0xx0 limf(x)不一定存在 设x1a0,且xn1 答()axn,证明:limxn存在,并求出此极限值n .设x12,且xn12xn,证明limxn存在,并求出此极限值n。设x10,且xn112(xnaxn)(其中a0),证明极限limxn存在,并求出此极限值.n 设x01,x11x01x0,,xn11xn1xn. 证明极限limxn存在,并求出此极限值。nn3n1111设xn2n,求证:limxn存在.n11313131设xn11221212,(n为正整数)求证:limxn存在. 设x112,x213241,,xn;135(2n1)246(2n),(1)证明:xn2n1(2)求极限limxn.n求极限limx100x10x1x0.1x0.01x0.001xn1xn322. 设数列xn适合3r1,(r为定数)证明:limxn0. n求极限limxtanx3tanxcos(x6. 3)求数列的极限limn2nn!. n0.).用极限存在的"夹逼准求数列的极限lim(n则"证明数列的极限1n12limn1n22212nnn3求数列的极限求数列的极限limnnsinn!. n122x111ln(23e)lim.. 222求极限lim3xnx(n1)(n2)(2n)ln(32e)63求极限limxln(x5x7)ln(x3x4)2. 求极限limxxxxxx. x,当x02设f(x)sin2x,g(x)x,当x0 2讨论limg(x)及limfg(x).x0x0设lim(x)u0,limf(u)f(u0), 证明:limf(x)f(u0)。xx0uu0xx0无限循环小数0.9的值(A)不确定(B)小于1(C)等于1求极限limxmxnD)无限接近1x1xmxn2(m、n为正整数).(答(若数列an适合an1anr(anan1)(0r1)求证:limaa2ra1.nn1rn设xn!其中, 求极限limxn+1nanna0是常数,n为正整数 nx n求数列的极限lim(sec2nn)n. 设xx0时,(x)与(x)是等价无穷小且lim(x)f(x)A xx0证明:lim(x)f(x)Axx0 设lim0f(x)A,且A0,xx试证明必有x0的某个去心邻域存在,使得 在该邻域内1f(x)有界.下述结论:"若当xx0时,(x)与(x)是等价无穷小,则当xx0时,ln1(x)与ln1(x)也 是等价无穷小"是否正确?为什么?)应用等阶无穷小性质,15x2求极限lim13xarctan(1x)arctan(1x)x1x0. 1求极限limx0x2x1. 求极限lim(14x)2(16x)3xx0. 1求极限limx0(1ax)n1x(n为自然数).a0. 求极限lim(52x)3x3x2x3. 设当xx0时,(x)与(x)是等价无穷小,且limf(x)xx0(x)xx0a1,limf(x)(x)g(x)f(x)(x)g(x)xx0A,证明:lim A.设当xx0时,(x),(x)是无穷小且(x)(x)0证明:e (x)e(x)~(x)(x).若当xx0时,(x)与1(x)是等价无穷小,(x)是比(x)高阶的无穷小.则当xx0时,(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小?为什么? 设当xx0时,(x)、(x)是无穷小,且(x)(x)0.证明:ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小. 设当xx0时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小.证明:当xx0时,f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小. 若xx0时,(x)与1(x)是等价无穷小,(x)与(x)是同阶无穷小,但不是无穷小。试判定:(x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小吗?为什么?等价 确定A及n,使当x0时,f(x)ln(x21x)与g(x)Ax,2n是等价无穷小. 设f(x)sinx2sin3xsin5x,g(x)Ax,求A及n,使当x0时,f(x)~g(x). n 设f(x)eg(x)Ax(ax)2e(ax)22ea2,(a为常数)n求A及n,使当x0时,f(x)~g(x).设f(x) g(x)xx22Akx1x,确定k及A,使当x时,f(x)~g(x). 设(x)x3x2,(x)c(x1),确定c及n,使当x1时,(x)~(x)n3 证明不等式:ln(1求极限lim(axex0bx1n1)1n.(其中n为正整数)ax)x,(a,b为正的常数)求极限lim(x0bx1求极限limx1x1x1axan,(n为任意实数). 求极限xlimx,(a0,a1)求极限lim3x2lnxlnx0xx0)x,(a0,b0)(x00)0求极限limxaaa3x1xax0x2x2(a0,a1). e5x求极限limx0etanxexxsinx1xa1xb12x1. 求极限limx02eexx. 求极限lim1xx0. 求极限lim(x0)x(a0,b0且a1,b1,ab)1求极限limx(axaaxx1)(a0,a1). 求极限limx0ln(secxtanx)sinx. 求极限limln(1ex求极限limxln(x0x)ln(x0x)2lnx0xcosxcos1)ln(1b)(a,b为常数,且a0).(x00).xx02求极限lim(x)x(k2,kz). 求极限limcosxx. 1求极限lim(12x)x 求极限lim(x02x12x1)3xx. 求极限lim(x12xx12xx122). cotxx求极限lim(sinx)xtanx2 2求极限limtan(x)x求极限lim(sinxcosx). x04x012x0. 1求极限lim(cosx0x). 求极限lim(1xxx)x. 求极限lim(x2)ln(x2)2(x1)ln(x1)xlnxx 求极限limxx0lncosxx2. 求极限lim 求极限limln(1x)ln(x1)x.x-1lnxxx12. 11en).求数列的极限limnln(n1)lnn. 求数列的极限lim(nnnn求数列的极限limn(enanebn),其中a,b为正整数. 求数列的极限limnn211ln(a)ln(a)2lna;其中a0是常数 nn求数列的极限lim(n2n1n121). 求数列的极限limn(annn1),其中a0. 求数列的极限(2limnenn1)nen(21)n22e. 求数列的极限lim(na2nb),其中a0,b0. 求数列的极限lim(nn(n1)2n12n1). n求数列的极限 3n22lim2n3n41x1x 计算极限:limsin(na). n22设f(x)xsinsinx,limf(x)a,limf(x)b,则有x0x(A)a1,b1(B)a1,b2(C)a2,b1(D)a2,b2 答()计算极限limx01xlneex2xenxn 计算极限limln(1xx)ln(1xx)secxcosx1x1x222 x0求极限limx0tanmxsinnx(m,n为非零常数)计算极限limx0a21x1 计算极限limxa0xxa2计算极限在limx0xaln(ax)ln(ax)2lna(a0)计算极限limx01cosx1cosx2. 1(11tanx)xsinx422(a0)计算极限limx0xsinx计算极限limx0(e1)1x2(1cosx)ln(1x)limsinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 答()limxsinx1x之值(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答()已知limAtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2x01(其中A、B、C、D是非0常数))则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答()n设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1xn242)设limxn0及limnxn1xn22n2a存在,试证明:a1. 求lim(sin22cos1)x xxx计算极限limxax(a1)xaxa23(a0)计算极限limx2x3x3x2xx2232 计算极限limx0eexxcosx2xln(1x)计算极限xxxlimlim(coscos2cosn)x0222nr(0r1),试证明liman0. n设有数列an满足an0及liman1annnn设有数列liman0. nan满足an0且limanr,(0r1),试按极限定义证明:设limf(x)A(A0),试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A. 试问:当x0时,(x)xx0xx0xsin21x,是不是无穷小? x0的某去心邻域,使得设limf(x)A,limg(x)B,且AB,试证明:必存在在该邻域为f(x)g(x). 设f(x)xsin1x,试研究极限lim1f(x)x0 计算极限limx2ln(1332x2). arcsin(3x4x4)n1(1)nn2设数列的通项为xnn,则当n时,xn是(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量,但不是无穷小(D)无界变量,但不是无穷大 答()以下极限式正确的是(A)1xlim0(1x)xe(B)xlim0(11x)xe1(C)limx(11x)xe1(D)limx(11x)x0 答()设x110,xn16xn(n1,2,),求limxn. n eax1设f(x)x,当x0,且limf(x)Ab,当x0x0则a,b,A之间的关系为(A)a,b可取任意实数,A1(B)a,b可取任意实数,Ab(C)a,b可取任意实数,Aa(D)a可取任意实数且Aba答:()ln(1ax)设f(x)dx,当x0,且limf(x)A,b,当x0x0则a,b,A之间的关系为(A)a,b可取任意实数,Aa(B)a,b可取任意实数,Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a,b可取任意实数,而A仅取Alna答:()1cosax,当x02设f(x),且limf(x)Axx0b,当x0则a,b,A间正确的关系是(A)a,b可取任意实数(B)a,b可取任意实数(C)a可取任意实数(D)a可取任意实数Aa22aA2a2 bAabA22 答()设有lim(x)a,limf()A,且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明;若判定不成立,请举出例子,并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb,当x1设f(x) 适合limf(x)Ax1x1a,当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4,b3,A4(B)仅当a4,A4,b可取任意实数(C)b3,A4,a可取任意实数(D)a,b,A都可能取任意实数 答()1bx1 当x0设f(x) 且limf(x)3,则xx0a 当x0(A)b3,a3(B)b6,a3(C)b3,a可取任意实数(D)b6,a可取任意实数 答()设(x)(1ax)213 1,(x)eecosx,且当x0时(x)~(x),试求a值。求limxe2ex2sinxxxx3e4e. 设lim(xx2ax)8,则a__________xa __.__. lim(13x)x0__________ 当x0时,在下列无穷小中与x不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x(C)1x222 x1x(D)ee2x2 答()当x0时,下列无穷小量中,最高阶的无穷小是(A)ln(x1x)(B)1xxx221(C)tanxsinx(D)ee2 答()计算极限limx01ex21xn12cosx limx3x54sin_____________________ 5x3x22计算极限limxxnx1xxn x1(x1)n1计算极限 lim(x1)(3x1)(nx1)x1计算极限 lim(cosx0x)x .讨论极限limarctanx11x1的存在性。研究极限limarccotx01的存在性。x研究极限limxx2x3x12. 当x0时,下列变量中,为无(A)sinxx(B)lnx(C)arctan穷大的是 11(D)arccotxx)答(lim1lnx1x1________________。“存在一正整数N,使当nN时,恒有设an0,且liman0,试判定下述结论nan1an”是否成立? 若limanA试讨论liman是否存在? nn设有数列 an 满足lim(an1an)0,试判定能否由此得出n极限liman存在的n结论。设有数列an满足ana0;n1r,0r1,试证明liman0 nan设limf(x)g(x)xx0存在,limg(x)存在,则xx0xx0limf(x)是否必存在? limg(x)0.若limf(x)0,limxx0f(x)g(x)xx0A0,则是否必有xx0 当x0时,下列变量中为无穷(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x1)1(C)lnx(D)(1x)1x 1答()xx0 设xx0时,f(x),g(x)A(A是常数),试证明 limg(x)f(x)f(x)g(x)0.若limg(x)0,且在x0的某去心邻域内g(x)0,limxx0xx0A,则limf(x)必等于0,为什么?xx0 若limf(x)A,limg(x)不存在,则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在?若肯定不存在,请予证明,若不能肯定,请举例说明,并指出为何加强假设条件,使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。若limf(x),limg(x)A,试判定limf(x)g(x)是否为无穷大?xx0xx0xx0 设xx0,f(x),g(x)A,试证明limf(x)g(x). xx0设当xx0时,f(x),g(x)A(A0),试证明limf(x)g(x). xx0 设lnx1x,arcctgx,则当x时(A)~(B)与是同阶无穷小,但不是等价无穷小(C)是比高阶的无穷小(D)与不全是无穷小 答:()f(x)1xsin1x(0x)(A)当x时为无穷小(B)当x0时为无穷大(C)当x(0,)时f(x)有界(D)当x0时f(x)不是无穷大,但无界. 答()若f(x)x2x1axb,当x时为无穷小,则(A)a1,b1(B)a1,b1(C)a1,b1(D)a1,b1 答()x112n3x22)求lim()2 求lim(2nnx6xn1nn2nnnn2nlim()____ nn1 1n2n1nlimenenee2(A)1(B)e(C)e(D)e 答()lim(12nn 12(n1))____. x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)为无穷大;(D)不存在,但不是无穷大 答()设f(x)1sin,试判断:xx;.(1)f(x)在(0,1),内是否有界(2)当x0时,f(x)是否成为无穷大 设f(x)xcosx,试判断:(1)f(x)在0,上是否有界(2)当x时,f(x)是否成为无穷大 试证明limcosx01x不存在。f(x)(x),且lim(x)0,试证明limf(x)0 xx0xx0若在x0的某去心邻域内若在x0的某去心邻域内 f(x)g(x),且limf(x)A,limg(x)B;试证明AB. xx0xx0sinlimx01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)为无穷大;(D)不存在,但不是无穷大.答()设(x)1x,(x)333x,则当x1时()1x等价无穷小;(A)(x)与(x)是同阶无穷小,但不是(B)(x)与(x)是等价无穷小;;.(C)(x)是比(x)高阶的无穷小(D)(x)是比(x)高阶的无穷小 32 答()设limx1xaxx4A,则必有x1(A)a2,A5;(B)a4,A10;(C)a4,A6;(D)a4,A10.2 答()1x1x1当x1时,f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大 设当x0,(x)(1ax)23.)答(21和(x)1cosx满足(x)~(x).试确定a的值。求a,b使lim(x23x2x12axb)1 设lim(3x4x7axb)0 , 试确定a,b之值。x设x11,xn1设x14,xn12xn3(n1,2,),求limxn n2xn3(n1,2,),求limxn. n1计算数列极限limtan() 计算极限limn(arctann4nn设当x0,(x)设(x)x2x)a3nn1arctannn)n11x31x33~Ax,试确定A及k. kx2x1,求A与K使limbx(x)xkxA(A0)极限lim(1x0(a0,b0)的值为 bbbe(A)1.(B)ln(C)ea.(D)aa 答()设limx0xa222212(a0),试确定a,b之值。x(bcosx)设lim(3xxaxbx1)2,试确定a,b之值。2设limx1xaxxbx1x233,试确定a,b之值。计算极限lim(xxxx)计算极限lim 研究极限limx01xsinxcos2x xtanx22cosaxx(a0)的存在性。limxn.n计算极限limx04tanxetanx4sinxsinxex0设x1(0,2),xn12xnxn.(n1,2,),试证数列22xn收敛,并求极限n设x10,xn12xnxn(n1,2,),试研究极限limxn. 设x12,xn12xnxn(n1,2,),试研究极限 2 limxn.n设a1,b1是两个函数,令nnban1nanbn,bn1nanbn2,(n1,2,)试证明: liman存在,limbn存在,且limanlimbn计算极限limecosxe2x0x 计算极限 limxxxxxxx 计算极限lim(1x若limxnynn21x2)xx0,且xn0,yn0,则能否得出"limxn0及limyn0至少有一nn式成立"的结论。设数列xn,yn都是无界数列,zn试判定:zn是否也必是无界数列。xnyn,如肯定结论请给出证明,如否定结论则需举出反例。31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1极限lim(cosx)xx02A.0; B. C.1; D.e12. 答()极限limeexx2x0x(1x)的值为()A.0; B.1; C.2; D.3. 答()极限limx01cos3x的值为()xsin3x 123A.0; B.; C.; D..632 答()下列极限中不正确的是tan3xsin2x2A.limC.limx032cos; B.limx12x1xx2; x1sin(x1)x12;D.limarctanxx0. 答()极限limln(1xx)ln(1xx)x222x0 A.0; B.1; C.2; D.3. 答()1极限lim(cosx)xx01A.0; B.e2; C.1; D.e12. 答()当x0时,与x为等价无穷小量的是A.sin2x; B.ln(1x);C.1x1x; D.x(xsinx). 答()当x1时,无穷小量A.等价无穷小量;C.高阶无穷小量; 当x0时,无穷小量1-x是无穷小量12xB.同阶但非等价无穷小D.低阶无穷小量.x1的量; 答(n)m,n为常数,则数组2sinxsin2x与mx等价,其中m,n)中m,n的值为 A.(2,3); B.(3,2); C.(1,3); D.(3,1). 答()已知lim(1kx1xx0)e,则k的值为A.1; B.1; C.12; D.2. 答()x极限lim(112x2x)的值为A.e; B.e1; C.e4; D.e14 答()下列等式成立的是A.lim(12xx)2xe2; B.lim1xx(1x)2e2;1 C.lim(1x221x1xx)e;D.limx(1x)e2. 答()1极限limx0(12x)xA.e; B.1e; C.e2; D.e2. 答()极限lim(x14值为()xx1)x的A.e2; B.e2; C.e4; D.e4. 答()(2x1极限limx2x12x1的值是122A.1; B.e; C.e ; D.e. 答()下列极限中存在的是A.limx1x2x; B.lim11e1xx0;C.limxsinx1x; D.lim121xx0 答()极限limtanxsinxx1b3的值为12 D.. x0A.0;B. C. 答()极限limxsinxx A.1; B.0; C.1; D.. 答()已知limacosxxsinxx012,则a的值为 A.0; B.1; C.2; D.1. 答()已知limsinkxx(x2)x03,则k的值为32; C.6; D.6. A.3; B. 答()x1设lim(axb)0,则常数a,b的值所组成的数组xx1A.(1,0); B.(0,1); C.(1,1); D.(1,1). 答()2(a,b)为 4x3设f(x)axb,若limf(x)0,则xx1a,b的值,用数组(a,b)可表示为 2A.(4,4); B.(4,4); C.(4,4); D.(4,4)答()2极限limx6x8x28x12的值为x2A.0; B.1; C.12; D.2. 答()下列极限计算正确的是A.limx2n; n1x2n1B.xlimxsinxxsinx1;C.limxsinx 12x32n)n.x00;D.limn(1e 答(3极限lim(xx2xx21x1)的值为A.0; B.1; C.1; D.. 答()数列极限lim(n2nn)的值为nA.0; B.12; C.1; D.不存在. 答()2已知limx3xcx1,则C的值为x11A.1; B.1; C.2; D.3. 答()2已知limxax61x的值为x15,则aA.7; B.7 C.2; D.2. 答())ex2,x0设函数f(x)1,x0,则limx0f(x)xcosx,x0A.1; B.1; C.0; D.不存在. 答()1cosx,设f(x)xx0x1,则,x01e1xA.lim0f(x)0;xB.limf(x)limf(x);x0x0C.limf(x)存在,limf(x)不存在; x0x0D.limf(x)不存在,limx0x0f(x)存在. 答()tankx设f(x)x,x0,且limf(x)存在,则k的值为 xx3,x00A.1; B.2; C.3; D.4. 答()下列极限中,不正确的是 1A.lim1)4;B.limx(x0;x3x0e1C.lim(1)x0;D.limsin(x1)0.x02x1x 答()若limf(x)0,limg(x)c0(k0).x0xkx0xk1 则当x0,无穷小f(x)与g(x)的关系是A.f(x)为g(x)的高阶无穷小;B.g(x)为f(x)的高阶无穷小; C.f(x)为g(x)的同阶无穷小;D.f(x)与g(x)比较无肯定结论. 答()当x0时,2sinx(1cosx)与x2比较是()A.冈阶但不等价无穷小; B.等价无穷小;C.高阶无穷小; D.低阶无穷小. 答()当x0时,sinx(1cosx)是x的 A.冈阶无穷小,但不是等价无穷小; B.等价无穷小; 3C.高阶无穷小; D.低阶无穷小. 答()设有两命题: xn单调且有下界,则xn必收敛;yn、zn满足条件:ynxnzn,且yn,zn都有收敛,则命题“b”,若数列xn、数列xn必收敛命题“a”,若数列则A.“a”、“b”都正确; B.“a”正确,“b”不正确;C.“a”不正确,“b”正确; D.“a”,“b”都不正确. 答()设有两命题: 命题甲:若命题乙:若则A.甲、乙都不成立; B.甲成立,乙不成立;C.甲不成立,乙成立; D.甲、乙都成立。答()f(x)g(x)xx0limf(x)、limg(x)都不存在,则xx0xx0limf(x)xx0g(x)必不存在;xx0limf(x)存在,而xx0limg(x)不存在,则limf(x)g(x)必不存在。设有两命题: 命题“a”:若limf(x)0,limg(x)存在,且g(x0)0,则limxx0xx0xx00;命题“b”:若limf(x)存在,limg(x)不存在。则xx0xx0xx0lim(f(x)g(x))必不存在。则A.“a”,“b”都正确; B.“a”正确,“b”不正确;C.“a”不正确,“b”正确; D.“a”,“b”都不正确。xx9xx0 答()xx0若lim,f(x),limg(x)0,则limf(x)g(x)A.必为无穷大量C.必为非零常数;B.必为无穷小量;D.极限值不能确定 答(n;.)设有两个数列an,bn,且lim(bnan)0,则;相等;an,bn必都收敛,且极限相等A.an,bn必都收敛,但极限未必B.an收敛,而C.bn发散;an和bn可能都发散,也可能都D. 收敛.)答(下列叙述不正确的是A.无穷小量与无穷大量B.无穷小量与有界量的C.无穷大量与有界量的D.无穷大量与无穷大量 的商为无穷小量;积是无穷小量;积是无穷大量;的积是无穷大量。答()下列叙述不正确的是A.无穷大量的倒数是无B.无穷小量的倒数是无C.无穷小量与有界量的D.无穷大量与无穷大量 xx0xx0穷小量;穷大量;乘积是无穷小量;的乘积是无穷大量。答()是 若limf(x),limg(x),则下式中必定成立的A.limC.limxx0f(x)f(x)g(x)g(x);B.limxx0f(x)g(x)0;xx0c0;D.limkf(x),(k0).xx0 答()1设函数f(x)xcos,则当x时,f(x)是 xA.有界变量; C.无穷小量; xx0B.无界,但非无穷大量D.无穷大量. 答(;)若limf(x)A(A为常数),则当xx0时,函数f(x)A是 A.无穷大量;B.无界,但非无穷大量C.无穷小量;D.有界,而未必为无穷 设函数f(x)xsin1,则当x0时,f(x)为 xA.无界变量;B.无穷大量;C.有界,但非无穷小量 f(x)在点x0处有定义是极限;小量 . 答();D.无穷小量. 答(xx0)limf(x)存在的 A.必要条件;B.充分条件;C.充分必要条件;D.既非必要又非充分条 答(件.)设正项数列an满足liman1ann0,则 A.liman0;B.limanC0;nnan的收放性不能确定.C.liman不存在;D.n 答()若limanA(A0),则当n充分大时,必有nA.anA; B.anA;C.aAn2; D.aAn2. 答()数列an无界是数列发散的 A.必要条件;B.充分条件;C.充分必要条件;D.既非充分又非必要条 答(下列叙述正确的是 A.有界数列一定有极限;B.无界数列一定是无穷大量;C.无穷大数列必为无界数列; D.无界数列未必发散 答()件.)
第二篇:高等数学极限习题500道汇总
当xx0时,设1=o(),1o()且limxx0存在, 1求证:limlim.xx0xx01 21若当x0时,(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小,则a1313A. B. C. D.. 2222 答()当x0时,下述无穷小中最高阶的是A x2 B1 cosx C 1x21 D xsinx 答()求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值. 求极限lim(1)nnsin(n22).nnn11)ln(1). 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a,a2b(ba),an2求证:limynlim(an1an)及liman.nnn 设x1a,x2b.(ba0)xn2记:yn1xn12xnxn1,xnxn1 1,求limyn及limxn.nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值. x0x2 设limu(x)A,A0;且limv(x)Bxx0xx0试证明:limu(x)v(x)AB.xx0 limln(1x)x11(x1)2 A. B.1 C.0 D.ln2 答()sinxxlim(12x)x0 A.1 B.e2 C.e D.2 答()设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求:lim及limu(x)之值,并讨论lim的结果.u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A. B.2 C.1 D.不存在3答:()(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1 B.1 C.5 D.不存在233答:()(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 .xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值. x0x(x5)3已知:limu(x),limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)?为什么?xx0 关于极限limx053e1x结论是:55A B 0 C D 不存在 34 答()设limf(x)A,limg(x),则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答()f(x)excosx,问当x时,f(x)是不是无穷大量. limtanxarctanx01x D. 22 答()A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答()A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答()设f(x) 32e1x,则f(0)___________ limarccotx01x 2 答()A.0 B. C.不存在.D.limacosx0,则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答()x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答:()px2qx5设f(x),其中p、q为常数.x5问:(1)p、q各取何值时,limf(x)1;x(2)p、q各取何值时,limf(x)0;x(3)p、q各取何值时,limf(x)1.x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim. 求极限lim. x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值. ax3bx2cxd已知f(x),满足(1)limf(x)1,(2)limf(x)0.2xx1 xx2试确定常数a,b,c,d之值.已知limx1(ab)xb3x1x34,试确定a,b之值. 1"上述说法是否正确?为什么? (x)"若lim(x)0,则limxx0xx0 当xx0时,f(x)是无穷大,且limg(x)A,xx0证明:当xx0时,f(x)g(x)也为无穷大.用无穷大定义证明:limx1 2x1. 用无穷大定义证明:limlnx. x1x0用无穷大定义证明:limtanx 用无穷大定义证明:limx20x101. x1 "当xx0时,f(x)A是无穷小"是"limxxf(x)A"的:0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件,亦非必要条件 答()若limxxf(x)0,limg(x)0,但g(x)0.0xx0证明:limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0.0g(x)1用数列极限的定义证明:liman0 用数列极限的定义证明:limann,(其中0a1).n1用数列极限的定义证明:limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2. x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值.(0a1). 设limf(x)A,试证明:xx0对任意给定的0,必存在正数,使得对适含不等式0x1x0;0x2x0的一切x1、x2,都有f(x2)f(x1)成立。已知:limf(x)A0,试用极限定义证明:limxx0xx0 f(x)A. x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散?若数列同发散,试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数,0a2),设f(x)lim(1)求f(x)的表达式;x2n1sinxcos(abx)(2)确定a,b之值,使limf(x)f(1),limf(x)f(1).x1x1应用等阶无穷小性质,求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x). . 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1. 求极限lim(n为自然数).a0. x0x0xx(52x)x2. x3x3131213求极限lim 设当xx0时,(x)与(x)是等价无穷小,f(x)f(x)(x)a1,limA,xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明:limA.xx0g(x)且lim 设当xx0时,(x),(x)是无穷小且(x)(x)0证明:e(x)e(x)~(x)(x). 若当xx0时,(x)与1(x)是等价无穷小,(x)是比(x)高阶的无穷小.则当xx0时,(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小?为什么? 设当xx0时,(x)、(x)是无穷小,且(x)(x)0.证明:ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小. 设当xx0时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小.证明:当xx0时,f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小. 若xx0时,(x)与1(x)是等价无穷小,(x)与(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小。试判定:吗?为什么? (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答()1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答()已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答()xn1设limx0及lima存在,试证明:a1. 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1),试证明liman0. nannan满足an0且limnanr,设有数列(0r1),试按极限定义证明:liman0. n设limf(x)A(A0),试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A. 1试问:当x0时,(x)x2sin,是不是无穷小? x设limf(x)A,limg(x)B,且AB,试证明:必存在x0的某去心邻域,使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x). ln(13x2)11计算极限lim. 设f(x)xsin,试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时,xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2,n(C)有界变量,但不是无穷小(D)无界变量,但不是无穷大 答()以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答()设x110,xn16xn(n1,2,),求limnxn. eax1设f(x)x,当x0,且limxf(x)Ab,当x00则a,b,A之间的关系为(A)a,b可取任意实数,A1(B)a,b可取任意实数,Ab(C)a,b可取任意实数,Aa(D)a可取任意实数且Aba答:()ln(1ax)设f(x)dx,当x0,且limf(x)A,b,当x0x0则a,b,A之间的关系为(A)a,b可取任意实数,Aa(B)a,b可取任意实数,Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a,b可取任意实数,而A仅取Alna答:(1cosax设f(x)x2,当x0,且limf(x)b,当x0x0A则a,b,A间正确的关系是(A)a,b可取任意实数Aa2(B)a,b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答())设有lim(x)a,limf()A,且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明;若判定不成立,请举出例子,并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb,当x1设f(x)x1 适合limf(x)Ax1a,当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4,b3,A4(B)仅当a4,A4,b可取任意实数(C)b3,A4,a可取任意实数(D)a,b,A都可能取任意实数 答()1bx1 当x0设f(x) 且limf(x)3,则xx0a 当x0(A)b3,a3(B)b6,a3(C)b3,a可取任意实数(D)b6,a可取任意实数 答()设(x)(1ax)213 ex2ex求lim. 1,(x)eecosx,且当x0时(x)~(x),试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8,则a____________. lim(13x)x____________. xx0xa 当x0时,在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答()当x0时,下列无穷小量中,最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答()计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx).x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim. xx1 当x0时,下列变量中,为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答()limx11________________。lnx1n设an0,且liman0,试判定下述结论“存在一正整数N,使当nN时,恒有an1an”是否成立? 若limanA试讨论liman是否存在? nn设有数列 an 满足lim(an1an)0,试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0;设有数列r,0r1,试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在,limg(x)存在,则limf(x)是否必存在?xx0xx0g(x)f(x)A0,则是否必有limg(x)0.xx0g(x)若limf(x)0,limxx0xx0 当x0时,下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答()设xx0时,f(x),g(x)A(A是常数),试证明limxx0g(x)0.f(x)若limg(x)0,且在x0的某去心邻域内g(x)0,limxx0xx0f(x)A,g(x)则limf(x)必等于0,为什么?xx0 若limf(x)A,limg(x)不存在,则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在?若肯定不存在,请予证明,若不能肯定,请举例说明,并指出为何加强假设条件,使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答()lim(12n12(n1))____.n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在,但不是无穷大.答()设f(x)1sin,试判断:xx(1)f(x)在(0,1),内是否有界;(2)当x0时,f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx,试判断:(1)f(x)在0,上是否有界(2)当x时,f(x)是否成为无穷大 设(x)1x,(x)333x,则当x1时()1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答()x3ax2x4设limA,则必有x1x1(A)a2,A5;(B)a4,A10;(C)a4,A6;(D)a4,A10.答()x21当x1时,f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答()设当x0,(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x).试确定a的值。3x22求a,b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a,b之值。xx1x设x11,xn12xn3(n1,2,),求limxn n设x14,xn12xn3(n1,2,),求limxn. n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛,并求极限limxn.设x1(0,2),xn12xnxn.(n1,2,),试证数列设x10,xn12xnxn(n1,2,),试研究极限limxn. n2 设x12,xn12xnxn(n1,2,),试研究极限limxn.n2 设a1,b1是两个函数,令an1anbn,bn1liman存在,limbn存在,且limanlimbnnnbnnanbn,(n1,2,)试证明:2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0,且xn0,yn0,则能否得出"limxn0及limyn0至少有一式成立"的结论。设数列xn,yn都是无界数列,znxnyn,zn是否也必是无界数列。试判定:31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明,如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A.0; B. C.1; D.e. 答()12 exex极限lim的值为()x0x(1x2)A.0; B.1; C.2; D.3. 答()极限lim1cos3x的值为()x0xsin3x123A.0; B.; C.; D.. 632 答()下列极限中不正确的是 xtan3x32A.lim; B.lim;x0sin2xx1x122 x21arctanxC.lim2;D.lim0.x1sin(x1)xx 答()cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A.0; B.1; C.2; D.3. 答()1x 极限lim(cosx)x0A.0; B.e; C.1; D.e. 答()1212 当x0时,与x为等价无穷小量的是A.sin2x; B.ln(1x);C.1x1x; D.x(xsinx). 答()当x1时,无穷小量1-x是无穷小量x1的12xA.等价无穷小量;B.同阶但非等价无穷小量; C.高阶无穷小量;D.低阶无穷小量. 答()当x0时,无穷小量2sinxsin2x与mxn等价,其中m,n为常数,则数组(m,n)中m,n的值为 A.(2,3); B.(3,2); C.(1,3); D.(3,1). 答()1 已知lim(1kx)x0xe,则k的值为1A.1; B.1; C.; D.2. 2 答()1极限lim(1)2的值为x2xA.e; B.e; C.e; D.e1414x 答()下列等式成立的是21A.lim(1)2xe2; B.lim(1)2xe2;xxxx 11C.lim(1)x2e2;D.lim(1)x1e2.xxxx 答()1极限lim(12x)xx0A.e; B.1e; C.e2; D.e2. 答()极限lim(x1x4xx1)的值为()A.e2; B.e2; C.e4; D.e4. 答()2x1极限lim2x1x2x1的值是A.1; B.e; C.e12; D.e2. 答()下列极限中存在的是A.limx2111xx; B.limx01e1;C.limxsin; xxx 答()极限limtanxsinxx0x3的值为A.0;B.1b C.12 D.. 答()极限limsinxxxA.1; B.0; C.1; D.. 答()已知limacosxx0xsinx12,则a的值为A.0; B.1; C.2; D.1. 答()已知limsinkxx0x(x2)3,则k的值为A.3; B.32; C.6; D.6. 答()D.lim1x02x1 x21设lim(axb)0,则常数a,b的值所组成的数组(a,b)为xx1 A.(1,0); B.(0,1); C.(1,1); D.(1,1). 答()4x23设f(x)axb,若limf(x)0,则xx1a,b的值,用数组(a,b)可表示为A.(4,4); B.(4,4); C.(4,4); D.(4,4)答()极限limx26x8x2x28x12的值为A.0; B.1; C.12; D.2. 答()下列极限计算正确的是A.limx2nxn1x2n1; B.xlimsinxxsinx1;C.limxsinxx0x30; D.lim(n112n)ne2. 答()极限lim(x3x2xx21x1)的值为A.0; B.1; C.1; D.. 答()数列极限lim(nn2nn)的值为A.0; B.12; C.1; D.不存在. 答()x2已知lim3xcx1x11,则C的值为A.1; B.1; C.2; D.3. 答()已知limx2ax6x11x5,则a的值为A.7; B.7 C.2; D.2. 答()ex2,x0设函数f(x)1,x0,则limf(x)x0xcosx,x0A.1; B.1; C.0; D.不存在. 答()1cosx,x0设f(x)xx1,则 ,x01e1xA.limx0f(x)0;B.xlim0f(x)xlim0f(x);C.xlim0f(x)存在,xlim0f(x)不存在; D.xlim0f(x)不存在,xlim0f(x)存在. 答()tankx设f(x)x,x0,且limx3,x0x0f(x)存在,则k的值为 A.1; B.2; C.3; D.4. 答()下列极限中,不正确的是 1A.lim(x1xx3)4;B.xlim0e0;1C.limsin(x1)x0(12)x0;D.limx1x0. 答()若limf(x)x0xk0,limg(x)x0xk1c0(k0). 则当x0,无穷小f(x)与g(x)的关系是A.f(x)为g(x)的高阶无穷小;B.g(x)为f(x)的高阶无穷小;C.f(x)为g(x)的同阶无穷小; D.f(x)与g(x)比较无肯定结论. 答()当x0时,2sinx(1cosx)与x2比较是()A.冈阶但不等价无穷小; B.等价无穷小;C.高阶无穷小; D.低阶无穷小. 答()当x0时,sinx(1cosx)是x3的 A.冈阶无穷小,但不是等价无穷小; B.等价无穷小;C.高阶无穷小; D.低阶无穷小. 答()设有两命题: xn必收敛;命题“a”,若数列xn单调且有下界,则命题“b”,若数列xn、yn、zn满足条件:ynxnzn,且yn,zn都有收敛,则xn必收敛 数列则A.“a”、“b”都正确; B.“a”正确,“b”不正确;C.“a”不正确,“b”正确; D.“a”,“b”都不正确. 答()设有两命题: 命题甲:若limf(x)、limg(x)都不存在,则limf(x)g(x)必不存在;xx0xx0xx0xx0命题乙:若limf(x)存在,而limg(x)不存在,则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A.甲、乙都不成立; B.甲成立,乙不成立;C.甲不成立,乙成立; D.甲、乙都成立。答()设有两命题: 命题“a”:若limf(x)0,limg(x)存在,且g(x0)0,则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0;g(x)命题“b”:若limf(x)存在,limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A.“a”,“b”都正确; B.“a”正确,“b”不正确;C.“a”不正确,“b”正确; D.“a”,“b”都不正确。答()若lim,f(x),limg(x)0,则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A.必为无穷大量;B.必为无穷小量;C.必为非零常数;D.极限值不能确定 .设有两个数列an,bn,且lim(bnan)0,则 n 答()anA.,bn必都收敛,且极限相等;anB.,bn必都收敛,但极限未必相等;an收敛,而bn发散;C.an和bn可能都发散,也可能都D.收敛. 答()下列叙述不正确的是 A.无穷小量与无穷大量的商为无穷小量; B.无穷小量与有界量的积是无穷小量;C.无穷大量与有界量的积是无穷大量;D.无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答()下列叙述不正确的是 A.无穷大量的倒数是无穷小量;B.无穷小量的倒数是无穷大量;C.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量;D.无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答()若limf(x),limg(x),则下式中必定成立的是 A.limf(x)g(x);B.limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C.limxx0f(x)c0;D.limkf(x),(k0).xx0g(x)答()设函数f(x)xcos1,则当x时,f(x)是 xA.有界变量; B.无界,但非无穷大量; C.无穷小量; D.无穷大量. 答()若limf(x)A(A为常数),则当xx0时,函数f(x)A是 xx0A.无穷大量;B.无界,但非无穷大量;C.无穷小量;D.有界,而未必为无穷小量 . 答()设函数f(x)xsin1,则当x0时,f(x)为 xA.无界变量;B.无穷大量;C.有界,但非无穷小量;D.无穷小量. 答()f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A.必要条件;B.充分条件;C.充分必要条件;D.既非必要又非充分条件. 答()
第三篇:高等数学-极限
《高等数学》极限运算技巧
(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签: 分类: 数学问题解答
杂谈 知识/探索
【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高,这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述,着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容,对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
一,极限的概念
从概念上来讲的话,我们首先要掌握逼近的思想,所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势(这种变化趋势是具有唯一性),那么函数的应变量同时具有一种趋势,而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲,函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值,我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限!
从数学式子上来讲,逼近是指函数的变化,表示为。这个问题不再赘述,大家可以参考教科书上的介绍。
二,极限的运算技巧
我在上课时,为了让学生好好参照我的结论,我夸过这样一个海口,我说,只要你认真的记住这些内容,高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口,数学再难也是基本的内容,基本的方法,关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题,当时有网友惊呼说太讨巧了!其实不是讨巧,是有规律可循的!今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候,首先是审题,做极限题,首先是看它的基本形式,是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1,连续函数的极限
这个我不细说,两句话,首先看是不是连续函数,是连续函数的直接带入自变量。2,不定型
我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性,确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
第一,所有的含有无穷小的,首先要想到等价无穷小代换,因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个:
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的,即:在含有加减运算的式子中不能直接代换,在部分式子的乘除因子也不能直接代换,那么如果一般方法解决不了问题的话,必须要等价代换的时候,必须拆项运算,不过,需要说明,拆项的时候要小心,必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用,可以变通一些其他形式,比如:
等等。特别强调在运算的之前,检验形式,是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换,即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中,洛必答法则也是一种很重要的方法,但是洛必答法则适用条件比较单一,就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式,这根据做题的需要来进行)。第二,在含有∞的极限式中,一般可分为下面几种情况:(1),“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的(包含幂函数四则运算形式),可以找高次项,提出高次项,这样其他一切项就都是无穷小了,只有高次项是常数。比如:
,这道题中,可以看到提出最高次x(注意不是)其他项都是“0”,原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中,只有分子中含有高次项,那么该极限式极限不存在(是无穷大),如果只有分母中含有高次项,那么该极限式极限为0,如果分子分母都含有高次项,我们可以直接去看高次项的系数,基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子,可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式,无法用提高次项的方法(提高次项是优先使用的方法),使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法,它的严格限制形式只有这两种,所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决,这主要是考虑运算量的问题。(2),“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算,需要转换形式,即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式,基本解法同上。比如:
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式,提高次项解。(3)“ ”形式
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系,所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三,“ ”
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式,这种形式也是比较直观的。比如: 这道题的基本接替思路是,检验形式是“式,最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。简单来说,“
”,然后选用公式,再凑出公式的形
”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解,是这样的:
可以看出尽管思路切入点不一样,但是这两种方法有异曲同工之妙。三,极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结。
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第四篇:高等数学极限复习题
高等数学复习资料二
川汽院专升本极限复习题
一 极限计算
二 两个重要极限
三 用无穷小量和等价
第五篇:高等数学极限总结
我的高等数学 学我所学,想我所想
【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高,这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述,着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容,对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
一,极限的概念
从概念上来讲的话,我们首先要掌握逼近的思想,所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势(这种变化趋势是具有唯一性),那么函数的应变量同时具有一种趋势,而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲,函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值,我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限!
从数学式子上来讲,逼近是指函数的变化,表示为。这个问题不再赘述,大家可以参考教科书上的介绍。
二,极限的运算技巧
我在上课时,为了让学生好好参照我的结论,我夸过这样一个海口,我说,只要你认真的记住这些内容,高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口,数学再难也是基本的内容,基本的方法,关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题,当时有网友惊呼说太讨巧了!其实不是讨巧,是有规律可循的!今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
我们看到一道数学题的时候,首先是审题,做极限题,首先是看它的基本形式,是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
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1,连续函数的极限
这个我不细说,两句话,首先看是不是连续函数,是连续函数的直接带入自变量。
2,不定型
我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性,确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
第一,所有的含有无穷小的,首先要想到等价无穷小代换,因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个:
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的,即:在含有加减运算的式子中不能直接代换,在部分式子的乘除因子也不能直接代换,那么如果一般方法解决不了问题的话,必须要等价代换的时候,必须拆项运算,不过,需要说明,拆项的时候要小心,必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用,可以变通一些其他形式,比如:
等等。特别强调在运算的之前,检验形式,是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换,即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中,洛必答法则也是一种很重要的方法,但是洛必答法则适用条件比较单一,就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式,这根据做题的需要来进行)。
我的高等数学 学我所学,想我所想
第二,在含有∞的极限式中,一般可分为下面几种情况:(1),“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的(包含幂函数四则运算形式),可以找高次项,提出高次项,这样其他一切项就都是无穷小了,只有高次项是常数。比如:
,这道题中,可以看到提出最高次x(注意不是)其他项都是“0”,原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中,只有分子中含有高次项,那么该极限式极限不存在(是无穷大),如果只有分母中含有高次项,那么该极限式极限为0,如果分子分母都含有高次项,我们可以直接去看高次项的系数,基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子,可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式,无法用提高次项的方法(提高次项是优先使用的方法),使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法,它的严格限制形式只有这两种,所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决,这主要是考虑运算量的问题。(2),“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算,需要转换形式,即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式,基本解法同上。比如:
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式,提高次项解。(3)“ ”形式
我的高等数学 学我所学,想我所想
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系,所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。
第三,“ ”
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式,这种形式也是比较直观的。比如:道题的基本接替思路是,检验形式是“式,最后直接套用公式。
这
”,然后选用公式,再凑出公式的形第二种是取对数消指数。简单来说,“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解,是这样的:
可以看出尽管思路切入点不一样,但是这两种方法有异曲同工之妙。三,极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结。