极限习题1

第一篇：极限习题1

第一章 函数与极限寒假作业

基本功与进阶训练

一、本章内容小结

本章主要是函数、极限和连续性概念及有关运算；函数是高等数学研究的主要对象，而极限是高等数学研究问题、解决问题的主要工具和方法。高等数学中的一些的重要概念，如连续、导数、定积分等，不外乎是不同形式的极限，作为一种思想方法，极限是变量在无限变化过程中变化的趋势,是一个确定的值，把某些实际问题的确定结果看作一系列无限近似数值的变化趋势,即数列或函数的极限,这是一种重要的数学思想方法极限方法贯穿于高等数学的始终．连续是高等数学研究对象的一个基本性质，也是函数研究的重点之一。往往作为讨论函数问题的一个先决条件，且与后面将要学到的函数的可导性、可积性存在着不可分割的逻辑关系。

讨论极限问题往往首先把自变量变化的趋势代入函数（数列）表达式中看函数变化的趋势.极限基本类型可以分为两大类，一般能用连续函数定义、无穷小定义和性质及已知收敛数列的结论等方法直接求出的极限不妨称为确定型极限.而有些极限如limxx0(x)fx分子、分母同时趋于零或无穷大,这个分式的极限可Fx能存在也可能不存在.这种极限分别称为“

0”型和“”型未定式,还有五种类型：“0”,“”,0“1”,“0”,“”，在解题中一定要善于总结。

求极限的方法可以归结很多条,常用的有

1、利用极限的四则运算法则；

2、利用数学公式及其变形求极限；（如分子或分母有理化等）；

3、利用极限的夹逼准则求极限；

4、利用等价无穷小的代换求极限；

5、利用变量代换与两个重要极限求极限（也常结合幂指函数极限运算公式求极限）；

6、利用洛必达法则求极限；

7、利用中值定理（主要包括泰勒公式）求极限；

8、利用函数的连续性求极限；

9、利用导数的定义求极限；

10、利用定积分的定义求某些和式的极限；

11、先证明数列极限的存在（常用到“单调有界数列必有极限”的准则，再利用递归关系求极限）

12、数列极限转化为函数极限等。要灵活运用极限的基本运算方法，如在利用洛必达法则时经常用到变量代换与等价无穷小的代换，这大大简化计算，再者如初等变形、变量替换等，不仅是求极限的基本运算，也是微分、积分运算中经常使用的方法，常用的有分子或分母有理化、分式通分、三角变换、求和等。

以下习题包括以上求极限的基本方法，这也是第一章的主要内容，在做习题时一定要注意解题方法的总结，当然，有的题目可以灵活运用多种方法，希望以上方法的提示，能起到抛砖引玉的作用。

第一部分基本习题 00、limx01e

1xx2。

2、已知lim3x2,求a,b的值。

3、limx。

1etanx,x0

4、设函数f(x)arcsin在x0处连续,求a的值.22x,x0ae

x(et21)dt0,x0，5、设f(x)（1）当a为何值时，f(x)在x0处连续；（2）求f(0)。2xa,x0

6、证明方程x21至少有一个小于1的正根。第二部分中档习题

1、设x12,xn1x11xn存在并求之.xn,(n1,2,),证明limx2xn

n1f(a)

2、设f(x)在xa处可导，f(a)0，lim。nf(a)

3、设函数f(x)在的(,)内连续,且limxf(x)f(x)lim0,证明至少存在一点,使xxxf()0.gxcosx,x0

4、设fx，其中函数gx具有二阶连续的导数，且g01，xx0a,（1）确定a值使f(x)为连续函数；

（2）求fx；

（3）讨论fx在x0处的连续性.第三部分较难习题

1、limxsinln(1)sinln(1)。xxx2、设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

（1）证明limxn存在，并求该极限； n31

xn1xn（2）计算lim.nxn



3、设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx

0xf(xt)dt.x

21

4、lim。x22x0cosxesinx12n15、求lim[(1)(1)(1)]n。nnnn

第二篇：高数极限习题

第二章 导数与微分

典型例题分析

客观题

例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()

f(x0)Aabf(x0)

B(ab)f(x0)

C(ab)f(x0)

D

答案 C

解

f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x

f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim

alim

x0x0bxax

(ab)f(x0)

例2（89303）设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是（）1f(a2h)f(ah)(A)limhfaf(a)存在(B)lim存在h0hhh(C)limf(ah)f(ah)2hh0存在(D)limf(a)f(ah)h存在h0答案 D

解题思路

(1)对于答案(A)，不妨设

1hx，当h时，x0，则有

1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在，这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对.(2)对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念不相符和.例如，若取

1,xaf(x)

0,xa则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但limf(x)0f(a)1，从而f(x)在xaxa处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在，从而(B)与(C)也不对.(3)记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h

h0x所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为()x0limf(ax)f(a)f(a)(A)lim1h1h2h0f(1cosh)存在(B)lim1h1hh0f(1e)存在

h(C)limh02f(hsinh)存在(D)limh0f(2h)f(h)存在

答案 B

解题思路

(1)当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有

limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以

f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0)h0h01coshu于是

limf(1cosh)h2h012f(0)

1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.

(2)当h0时, 1eho(h),于是

hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)

h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而

极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3)当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x0可导.h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在.例 4(98203)函数f(x)(xx2)|xx|有()个不可导点

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性.解 将f(x)写成分段函数:

23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.(1)在x00附近,f(x)写成分段函数:

22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到

f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2

x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2

x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2)在x11附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3)在x21附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0

limx(x1)(xx2)0

综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.例5(95103)设f(x)具有一阶连续导数,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的()

(A)必要但非充分条件

(B)充分但非必要条件

(C)充分且必要条件

(D)既非充分也非必要条件

答案 C

分析 从F(x)在x0的导数定义着手.将F(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解

F(x)F(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0

f(0)f(0)

f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|F(x)F(0)limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)

于是推知F(0)F(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6(92103)设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数

2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0

2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32

6x2得f(x)212xx0x0

12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0

f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020

所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012

x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24

x0(n)(0)存在的最高阶数是2.x0lim24x0

例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.例8(96203)设0,f(x)在区间(,)内有定义，若当x(,)时，恒有f(x)x，则x0必是f(x)的（）

(A)间断点，(B)连续而不可导的点，(C)可导的点，且2f'(0)0

(D)可导的点，且f'(0)0

答案

C

解 由题目条件易知f(0)0,因为

|所以由夹逼定理

f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|

2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0

于是f(0)0.1ex,x0, 则f(0)为（）

例9(87103)设f(x)x0,x0.

1(A)0

(B)

(C)1

(D)1

2答案

(C)

解题思路

因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义，又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.200型解

1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x

2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而

2lim1exx2x021

12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与

例10(88103)设f(x)可导且f(x0)x比较是()的无穷小.(A)等价(B)同阶(C)低阶(D)高阶

答案 B

解题思路

根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0

例11(87304)函数f(x)在x0处（）xx00,dy

(A)连续,且可导

(B)连续,不可导

(C)不连续

(D)不仅可导,导数也连续

答案 B

解题思路

一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点x0处的连续性

10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.由于limf(x)limxsinx0x0x

(2)讨论函数在点x0处的可导性

1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin

由于lim不存在,所以,函数f(x)在点

x0x0x0x0xxx0处不可导.x

例12 设f(x)p必须满足（）p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则

A0p1

B1p2

C0p2

D1p答案 B

解题思路

(1)当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1

x0xxx所以f(0)0.x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10

x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项A,C可以被排除.(2)当p1时

0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时，x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13(95403)设f(x)可导，且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为（）(A)2,(B)2,(C),(D)1

答案 B

解 记ux,则有

f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1)x02x2u0u2

例1

4设yln(12x),则y

(A)(10)()

9!(12x)10

(B)9!(12x)10

(C)10!2910(12x)

(D)9!21010(12x)

答案 D

解题思路

求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)

22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3

y(10)9!21010(12x).例17

(90103)设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).n1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解

由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知

2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x),(x)

34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)

注意(1)当n1,n2时虽然(B)也正确,但当n2就不正确了,所以将(B)排除之;

222(2)在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222

例18(91303)若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切，其中

23a,b是常数,则（）(A)a0,b

2(B)a1,b3

(C)a3,b

1(D)a1,b1

答案 D

解题思路

两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解

曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是

2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a

另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为

k2yx1y1323y3223xy1

x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.例19设f(x),g(x)定义在(1,1)，且都在x0处连续，若g(x)x0f(x)x，则（）x02(A)limg(x)0且g'(0)0，(B)limg(x)0且g'(0)1

x0x0(C)limg(x)1且g'(0)0

(D)limg(x)0且g'(0)2

x0x0 答案 D

解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.1cosx 例 20(99103)设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处()(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续

(C)连续,但不可导(D)可导

答案 D

解题思路

若能首先判定f(x)在x0处可导,则(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)

2x220

(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0（g(x)是有界函数）

 例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 设f(x)是可导函数,则()A.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数B.若f(x)为单调函数C.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数D.若f(x)为非负函数 答案 A

解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.解 由于f(u)f(u),所以 ,则f(x)为单调函数 ,则f(x)为非负函数

f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x

x0x因此f(x)为偶函数.x0f(x)例23 设yesinsin22x,则dy()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解题思路 运用复合函数微分法

例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1x01cosf(x)sinx1)xe

可以知道当x0时,有

lim(参阅第一章1.5的例2)

x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与

(x)2是等价无穷小.于是

f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则()xaxb,x0A.a1,b2 B.a1,b0 C.a1,b2 D.a1,b2

答案D

解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b.解

1,所以b.(1)limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2)f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2

xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0

arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1

11

例26.(93303)若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有

(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0

(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0 答案 C

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0);由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0).

第三篇：极限绪论习题3

1． 利用有限覆盖定理证明致密性定理。

证明：反证法：设{xn}：axnb，但是没有收敛子列。则x[a,b]都不是{xn}的任何子列的极限，从而对x[a,b]，O(x,x)，其中只含有{xn}的有限项。这样[a,b]O(x,x)，x[a,b]由有限覆盖定理，有有限子覆盖[a,b]O(xi,xi)。由于O(xi,xi)中只含有数列的有限1ik1ik

项，所以[a,b]也只含有数列的有限项，与已知矛盾。

2． 利用致密性定理证明单调有界定理。

证明：不妨设{xn}单增有界，由致密性定理，有收敛子列xnka，所以0，K,kK,|xnka|。取NnK1，则当nN时，nk0:nk0nnK1，使得xnK1xnxnk，所以|xna|，所以xna。0

3．（1）单调有界函数存在左右极限。

证明：设f(x)在[a,b]单增有界。x0[a,b]，要证明f(x00)。下面仅证明f(x00)。取inff(x)，则对0，x'(x0,b],s.t.f(x')。取x'x0，则当0xx0[x0,b]

时，f(x)f(x')，所以|f(x)|，得到f(x00)。

（2）单调函数的不连续点都是第一类间断点。

证明：设f(x)在[a,b]单增有界。设x0是f(x)的间断点，由（1）知f(x00)，所以x0不是第二类间断点。另外f(x00)f(x00)也不可能成立，因为f(x)单增，f(x00)f(x0)f(x00)，就有f(x00)f(x0)f(x00)，这样x0成为f(x)的连续点，矛盾。综上可见，x0只能是f(x)的第一类间断点。

4． 设f(x)C(a,b)，f(a0),f(b0)，则f(x)可取到f(a0),f(b0)之间的一切值（但

可能不等于f(a0),f(b0)）。

f(a0),xa证明：构造辅助函数：F(x)f(x),x(a,b)，则F(x)C[a,b]。由介值定理，F(x)

f(b0),xb

能取到最大值和最小值之间的一切值，因而也能取到f(a0),f(b0)之间的一切值，从而f(x)可取到f(a0),f(b0)之间的一切值（但可能不等于f(a0),f(b0)）。

第四篇：函数极限习题

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

（1）y；

x9（4）y2．求函数

1sinyx0

(x0)(x0)

（2）ylogaarcsinx；

（3）y

； sinx

1x1

（5）yarccosloga(2x3)；loga(4x2)

x22的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)x,g(x)x2；

（2）f(x)cosx,g(x)12sin2（4）f(x)

x,g(x)x0。x



2；

x21

（3）f(x),g(x)x1；

x1

4．设f(x)sinx证明：

f(xx)f(x)2sin

x

x

cosx 22

5．设f(x)ax2bx5且f(x1)f(x)8x3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1x22223

（1）yx(1x)（2）y3xx；（3）y；

1xaxax

（4）yx(x1)(x1)；（5）ysinxcosx1（6）y。

7．设f(x)为定义在(,)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)f(x)f(x)偶函数；（2）F2(x)f(x)f(x)为奇函数。

8．证明：定义在(,)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9．设f(x)定义在(L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）ycos(x2)（2）ycos4x；（3）y1sinx；（4）yxcosx；（5）ysin2x（6）ysin3xtanx。11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）yx3,xsint

（2）yau,ux2；（3）ylogau,u3x22；

（6）ylogau,ux22。

（4）y,usinx2（5）y,ux3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）y(1x)21（3）ysin2(3x1)

（2）y3(x1)；（4）ylogacos2x。

2x

（3）yx。

21

13．求下列函数的反函数：（1）y2sinx；

（2）y1loga(x2)；

14．已知函数f(x,y)x2y2xytan

x，试求f(tx,ty)。y

15．已知函数f(u,v,w)uwwuv。试求f(xy,xy,xy)。16．求下列各函数的定义域：

111（1）u； xyz（2）uR2x2y2z2

xyzr

(Rr0)。

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limunA，则lim|un||A|，并举例说明反之不然。

n

n

习题1—4

x2(x1)1．设f(x)

x1(x1)

（1）作函数yf(x)的图形；（2）根据图形求极限limf(x)与limf(x)；

x1

x1

（3）当x1时，f(x)有极限吗？ 2．求下列函数极限：

xx

（1）lim；（2）lim2；

x0|x|x0x|x|3．下列极限是否存在？为什么？（1）limsinx；

x

（3）lim

x0

x。

x2|x|

（2）limarctanx；

x

（3）limcos；

x0x

（4）lim(1ex)；

x

（5）lim

|x1|；

x1x1

（6）limex。

x

习题1—5

求下列极限

1112n1

1．lim； 2.； lim22x12xn223n(n1)nnx22x1

4．lim；

x1x21

x25

3.lim； x2x3

(xh)2x2

5.lim；h0h

6.lim

x1x1

x1。

习题1—6

1．求下列极限：

sinax

（1）lim(b0)；

x0sinbx2xtanx

（4）lim；

x0sinx

（2）lim

tanxsinx；

x0x3

（3）lim

1cosx；

x0xsinx

2； x

x

arcsinx

（5）lim；

x0x



（6）lim1

x

1

（7）lim1；

tt

x

t

1

（8）lim1

xx

x3；

x21

（9）lim(1tanx)cotx；

x0

xa

（10）lim；

xxa

x22

（11）lim

xx21

1

；（12）lim1。

xn

n

2．利用极限存在准则证明：

111

（1）limn2221；

xnn2nn（2）数列,22,222，„的极限存在；（3）lim

x21

1。x1

x

习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(1)n12n11cosn

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n1nnn

2．已知函数

xsinx,2，ln(1x),ex,ex

xx

（1）当x0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

x

3．函数yxcosx在(,)是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

n2n1aa2an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|1,|b|1)

xn2x1bb2bnxn1

4x21(2)n2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x5x1x(2)3x1x1x

5．求下列极限：

sinx

（1）limex；

xx

（2）limxcos；

x0x

（3）lim



n

n

sinn；

exarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）limexarctanx。

xxarctanxxx

6．下列各题的做法是否正确？为什么？

（1）lim

x9x9



x9x9lim(x9)

x9

lim(x29)

1111

2)limlim20

x1x1x1x1x1x1x1

cosx1

（3）limlimcosxlim0。

xxxxx

7．证明：当x0时，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x0sin3xx0arctanx

sinxnx

（3）lim（为正整数）；（4）。limm,n

x0(sinx)mx0cosx

（1）lim

9．当x1时，x33x2是x1是多少阶无穷小？

x11

10．当x时，4是是多少阶无穷小？

x1x111

11．当x时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x

（1）f(x)；

x

x2(0x1)

（2）f(x)；

2x(1x2)

x2(|x|1)|x|(x0)

（3）f(x)；（4）(x)。

1(x0)x(|x|1)

2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

x21n21（1）y2；（2）y；（3）ycos。

tanxxx3x2

ex(0x1)

3．a为何值时函数f(x)在[0，2]上连续？

ax(1x2)1x2n

x的连续性，若有间断点，判断共类型。4．讨论函数f(x)lim

n1x2n

5．函数z

y22xy22x

在何上是间断的？

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：续。

3．求下列极限：

（1）lim

x0

在[a,b]上迹连f(x)

(sin2x)3；（3）limx22x5；（2）lim

x

sin5xsin3x；

x0sinx

（6）lim

axabsinxsina

(a0)；（4）lim；（5）lim

xbxaxbxa

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

xx0xx

ln(13x)；

x0x

（9）lim(x2x1)；

x

（10）lim

x2

x2x2；

x4

ln(ax)lna

（12）lim。

x0x

（11）lim

xxx

x1

x

习题1—10

1．证明：方程x3x1在区间（1，2）上至少有一个根。

x1,x2,,xn是[a，2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，b]内的n个点，证明：[a,b]，使得

f()

f(x1)f(x2)f(xn)

n

附件习题

1．用数列极限的定义证明：

(1)n11

（1）lim（2）lim(1n)1； 0；

nnn10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n24

n

3；

n9n73

2．用数列极限的定义证明数列{(1)n}发散。

n

n

0；（5）lim

2n1

0；

（6）limqn0(|q|1)。

n

3．设a0，用数列极限的定义证明极限lima1。

4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的0，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；（2）存在正整数N，对任意给定的0，使得当nN时，有|unA|；（3）对于任意给定0，存在实数M，使得当nM时，有|unA|；（4）对于01，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；

（5）对于任意给定的0，有正整数N使得当nN时，有|unA|K，其中K是与无关的常数；

（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当nN时，有|unA|。

m

习题18—2

2x12

（1）lim；

x3x13

x21x1

（2）lim

x

1；（3）limxa(a0)；

xa

x41

（4）limcosxcos；（5）lim（6）limex0。4；

xxx1x1

3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]AB；

xx0

xx0

xx0

（2）如果limf(x)A,limg(x)B,(B0)，则

x

x

x

lim

f(x)A

。g(x)B

4．用Hine定理证明函数极限的四则运算法则。5．证明极限limxsinx不存在。

x

6．若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,)上有界。

x

7．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)A,limf(x)B，且AB，则(A,B)，xa

xb

x0(a,b)，使得f(x0)。

8．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)，证明：

x

x0(a,b)，使得f(x0)。

第五篇：函数极限与连续习题(含答案)

1、已知四个命题：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

答：（1）左右极限都为1（2）不连续（3）（0，1）（1，2）