高等数学极限习题500道汇总（5篇）

第一篇：高等数学极限习题500道汇总

当xx0时，设1＝o()，1o()且limxx0存在， 1求证：limlim．xx0xx01 21若当x0时，(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小，则a1313A．　B．　C．　D．． 2222 答（）当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 答（）求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nnsin(n22)．nnn11)ln(1)． 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnn 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． x0x2 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)x11(x1)2 A． B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(12x)x0 A．1 B．e2 C．e D．2 答（）设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在233答：（）(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 ．xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值． x0x(x5)3已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）设limf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanxarctanx01x　D. 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答（）A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x) 32e1x，则f(0)___________ limarccotx01x 2 答（）A.0 B. C.不存在.D.limacosx0，则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答（）x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答：（）px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．已知limx1(ab)xb3x1x34，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？为什么？ (x)＂若lim(x)0，则limxx0xx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：limx1 2x1． 用无穷大定义证明：limlnx． x1x0用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：limx20x101． x1 ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limxxf(x)A＂的：0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件 答（）若limxxf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．0xx0证明：limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0．0g(x)1用数列极限的定义证明：liman0 用数列极限的定义证明：limann，(其中0a1)．n1用数列极限的定义证明：limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2． x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值．(0a1)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0xx0 f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散？若数列同发散，试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数，0a2)，设f(x)lim(1)求f(x)的表达式；x2n1sinxcos(abx)(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1应用等阶无穷小性质，求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x)． ． 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1． 求极限lim(n为自然数)．a0． x0x0xx(52x)x2． x3x3131213求极限lim 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)a1，limA，xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x)且lim 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答（）1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答（）已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答（）xn1设limx0及lima存在，试证明：a1． 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1)，试证明liman0． nannan满足an0且limnanr，设有数列(0r1)，试按极限定义证明：liman0． n设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2，n(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limxf(x)Ab，当x00则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（1cosax设f(x)x2，当x0，且limf(x)b，当x0x0A则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2(B)a，b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答（））设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数 答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a 当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数 答（）设(x)(1ax)213 ex2ex求lim． 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8，则a____________． lim(13x)x____________． xx0xa 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答（）计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx)．x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx11________________。lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论“存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0；设有数列r，0r1，试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0xx0g(x)f(x)A0，则是否必有limg(x)0．xx0g(x)若limf(x)0，limxx0xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答（）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明limxx0g(x)0．f(x)若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x)则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答（）x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.答（）x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答（）设当x0，(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。3x22求a，b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。xx1x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn． n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn，(n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）12 exex极限lim的值为（）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）极限lim1cos3x的值为（）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列极限中不正确的是 xtan3x32A．lim；　B．lim；x0sin2xx1x122 x21arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx 答（）cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量． 答（）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组（m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1kx)x0xe，则k的值为1A．1；　B．1；　C．；　D．2． 2 答（）1极限lim(1)2的值为x2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e1414x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1)2xe2；　B．lim(1)2xe2；xxxx 11C．lim(1)x2e2；D．lim(1)x1e2．xxxx 答（）1极限lim(12x)xx0A．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x1x4xx1)的值为（）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 答（）2x1极限lim2x1x2x1的值是A．1；　B．e；　C．e12；　D．e2． 答（）下列极限中存在的是A．limx2111xx；　B．limx01e1；C．limxsin；　xxx 答（）极限limtanxsinxx0x3的值为A．0；B．1b　C．12　D．． 答（）极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 答（）已知limacosxx0xsinx12，则a的值为A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 答（）已知limsinkxx0x(x2)3，则k的值为A．3；　B．32；　C．6；　D．6． 答（）D．lim1x02x1 x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2． 答（）极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 答（）数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（）ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limf(x)x0xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，x0设f(x)xx1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．xlim0f(x)xlim0f(x)；C．xlim0f(x)存在，xlim0f(x)不存在； D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim(x1xx3)4；B．xlim0e0；1C．limsin(x1)x0(12)x0；D．limx1x0． 答（）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn必收敛；命题“a”，若数列xn单调且有下界，则命题“b”，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛 数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0；g(x)命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。答（）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A．必为无穷大量;B．必为无穷小量;C．必为非零常数;D．极限值不能确定 ．设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则 n 答（）anA．，bn必都收敛，且极限相等;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等;an收敛，而bn发散;C．an和bn可能都发散，也可能都D．收敛． 答（）下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答（）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x);B．limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0g(x)答（）设函数f(x)xcos1，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； B．无界，但非无穷大量； C．无穷小量； D．无穷大量． 答（）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量;C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷小量 ． 答（）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;D．无穷小量． 答（）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条件． 答（）

第二篇：高等数学极限习题500道

当xx0时，设1＝o()，1o()且lim求证：lim xx0存在，11xx0limxx0．1 若当x0时，(x)(1ax)231与(x)cosx1是等价无穷小，则a 1313A．　B．　C．　D．．2222 答（）阶的是2当x0时，下述无穷小中最高A　x　B1　cosx　C　1x n21　D　xsinx（）n 答n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nsin(n2)．2e1x11求极限lim(n)ln(1)． lim3x0n2nxsinx x22的值_____________ 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnnan1an2 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn1sinx2xnxn1xnxn1，1，求limyn及limxn．nnxn求极限limx0(12x)cosxx2之值． 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)xx0v(x)A．B limln(1x)(x1)2x11A． B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(12x)x0sinxx A．1 B．e C．e D．2 2 答（）设u(x)1xsin求：lim212.f(u)ux及limu(x)之值，并讨论x0f(u)1u1u1limfu(x)1u(x)1 的结果．x0limx9xx6 xx32的值等于_____________ lime4exxxx3e2e 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2x)(3x)(6x)835x A.1　B.1　C.1232053　D.不存在答：（）lim(12x)(13x)(16x)321510x__________3__ limxee12xxxx0的值等于____________ 求极限lim x3x2xxx132 求lim．16x4x1x0x(x5)之值． 已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限lim5351结论是：54x03exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）设limxxf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是0xx0A.limf(x)xxg(x)00B.limg(x)xxf(x)0C.limxxf(x)g(x)0D.limf(xg(x)xx)0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanx1x0arctanxA.0 B.不存在.C.2　D.2 答（）limarctan(x2)xxA.0 B. C.1 D.2 答（）lim2x1xx23A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x)31，则f(0)___________ 2ex limarccot1x0xA.0 B. C.不存在.D.2 答（）limacosx0，则其中x0ln1xaA.0　　B.1　　C.2　　D.3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx0e3x的值等于__________1cosx2(1cos2x)xx__ limx0 A.2　　B.2　　C.不存在.D.0答：（）设f(x)pxqx5x52，其中p、q为常数． 问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5求极限limx(x2nn2)(x222nn2)22(x1)(x1)4． 求极限lim(3x2)(2x3)3232x． 已知limx3AB(x1)c(x1)(x1)22x10 试确定A、B、C之值． 已知f(x)试确定常数ax3bx22cxdxx2a，b，c，d之值．，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．xx1 已知lim(ab)xb3x1x3xx0x14，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？(x)为什么？ ＂若lim(x)0，则limxx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0 证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：用无穷大定义证明：limx12x1． 用无穷大定义证明：x1tanx 用无穷大定义证明：3x0 limlnx．limx02x10lim1x1． 用无穷大定义证明：用无穷大定义证明：x lim(x4x)．limlogxa x(其中0a1)． 若当xx0时，(x)、(x)都是无穷小，则当xx0时，下列表示式哪一个不一定是无穷小.(A)(x)(x)(B)(x)(x)(C)ln1(x)(x)(D)22 (x)(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂当xx0，(x)是无穷小量＂是＂当xx0时，(x)是无穷小量＂的(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（）＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limf(x)A＂的：xx0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．xx0xx0证明：lim　　　limf(x)g(x)xx0b的充分必要条件是0．n f(x)bg(x)g(x)xx0用数列极限的定义证明用数列极限的定义证明：liman 0，(其中0a1)． 1(0a1)．：liman1n用数列极限的定义证明lim1cos(sinx)2ln(1x)2：limn(n2)2n52n1． 2x0的值等于___________ 求极限lim(cosx)xsinx31之值． x0(1xsinx)求极限limx0x1x3之值． lim(cosxsinx)xx22x2x1x0__________ __ lim(12x)x(cosx)23x1x0_____________ lim(1sinx)1x0__________2sinx3limx0xx11x1求极限limx()1之值． ______________ xx10(x)u(x)(x)，且当xx0时，(x)~(x)． 设在x0的某去心邻域内试证明：当 xx0时　(x)~u(x)．设当xx0时，(x)0，(x)o(x)，1(x)~(x)．lim求证：lim(x)(x)u(x)A．xx0存在(A0)1(x)(x)u(x)572xx0求limx0(13x)(12x)(2x1)1之值． 设当xx0，(x)，1(x)，(x)，1(x)均为无穷小，且(x)~1(x)；(x)~1(x)，如果lim1(x)(x)1xx0A 试证明：lim1(x)(x)lim11(x)1(x)．xx0xx0 设当xx0，(x)，(x)都是无穷小，且(x)0，(x)0试证明：1(x) (x)~(x)(x)． 设当xx0时，(x)与1(x)均为无穷小，且试证明：lim(x)~1(x)；如果lim1．(x)(x)xx0A1(x)a(x)1xx0lim11(x)a(x)xx0(式中a是正常数)用数列极限的定义证明 limn10． n!设limxnA，且BAC．n试证必有正整数N存在，使当 BAACnN时恒有　xn成立．22 设有两个数列xn，yn满足(1)limxn0；n(2)ynM(M为定数)．试证明：lim(xnyn)0．n xsin设limf(x)A，求证：limf(x)A． 求极限limx0xx0xx021x sinxx1sin求极限limcosln(1x)coslnx 求极限limx0x1x． 1x求极限limx2x1x2arctan1x． 求极限lim1x(1e)xx 求极限limarctanxarcsinx 求极限limx0211x22x ． 求数列的极限lim(sinnn1sinn)设lim(x)u0，且(x)u0，又limf(u)Axx0uu0试证：limf(x)Axx0 设f(x)x1lnx试确定实数a，b之值，使得： 当xa时，f(x)为无穷小；当xb时，f(x)为无穷大。设f(x)xtanx2，问：当x趋于何值时，f(x)为无穷小。若limf(x)A，limg(x)B，且BAxx0xx0 证明：存在点 x0的某去心邻域，使得在该邻域内　g(x)f(x)．设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：xx0xx0limf(x)A． 若数列xn与yn同发散，试问数列xnyn是否也必发散？求f(x)lim x2n1x12n1nx2n的表达式 x设f(x)limnsinxcos(abx)22nx1(其中a、b为常数，0a2)，(1)求f(x)的表达式；(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1求f(x)lim211(lnx)22n1n的表达式 求f(x)lim2xn2nxn1nnxxn的表达式． 设(x)x3x3，fn(x)1(x)(x)(x)，求f(x)limfn(x)．nxxx求f(x)limx的表达式． 2222n1n1x(1x)(1x)求f(x)limxnnnn1x的表达式． 设Snk1k，其中bk(k1)!，求limSn． nbk22nnx(1x)x(1x)x(1x)求f(x)lim12nn222的表达式。求f(x)limx(1(1limx)nnnx1nn1的表达式，其中nx)13a2(b)n1 x0．求数列的极限n3a2(b)n．(其中ab0)． n求数列的极限limn533(2)32n． 求数列的极限lim(n1234532n12n)． 求数列的极限 lim(12q3qnqnn1)，其中q1．求数列的极限111lim na(a1)(a2)(a1)(a2)(a3)(an1)(an)(an1)其中a0．求数列的极限求数列的极限111lim n1335(2n1)(2n1)1111limn2334n(n1)12 ．求数列的极限求数列的极限liman23n1223(n1)(其中a0)22221nlim(123(n1) ．nn22求数列的极限limnn(n2n1)． 求数列的极限limnn4n5(n1)． n3n6(n1)(n1)n432求数列的极限limn． 求数列的极限求数列的极限limannn2a2 ．(其中a1)．lim(1n12)(1132)(11n2)． 求数列的极限lim10000nn12n． 求数列的极限limnn4n33n5n1nnn22． 求数列的极限lim(n1nn)． 求数列的极限limn123． 求数列的极限lim2nanb2n2n2n1n2n．(a0，b0且b2)3　求数列的极限limn(1nn2n1)． 求数列的极限limn(nn1n21)． 求极限lim． n12n1310210若在x0的某邻域内f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B．nxx0xx0210310试判定是否可得：若lim(x)0，limxx0xx0AB． 1b0，则lim(x)(x)0是否成立？为什么？xx0(x)确定a，b之值，使limx3x4x7(axb)0，2并在确定好a，b后求极限limxx3x4x7(axb)2 求极限lim(xxx1x12x)． 求极限limx2xcosx3xsinx2． 2求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(10x1)(10x1)(11x1)2 2求极限limxx2x2x5(x1)． 求极限lim(4x8x52x1)． x讨论极限limx2e3x3x3ee22x4e2x． 求极限lim22(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(2x3)(3x2)22232x． 求极限limx(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)(5x3)2(4x3)(3x2)(6x7)25234335x2x22． 求极限limx． 求极限limxa1a(a0，a1)． 求极限limtan2xtan(x4x)． 4确定a，b之值，使当x时，f(x)x4x5(axb)为无穷小． 2求极限limx1x3x2x4x35x1234． 求极限limx2x5x6x4x0223． 求极限limx23x22x2． 求极限limx22x53x42． 求极限lim52xx5253． 24求极限limx0(12x)(1x)3(14x)(13x)2(2xa)n4m 求极限limx0(1x)(1x)x2． 53求极限limanmxaxax2axax22(m，n为自然数)． 求极限lim(12x)(14x)x x0求极限limx0(13x)1． 设f(x)(a2)x12(a1)xax1问：(1)当a为何值时，limf(x)；(2)当a为何值时，limf(x)x1112；(3)当a为何值时，limf(x)0，并求出此极限值。x2求极限limx0cscxcotxx1tanxx3． 求极限limx01cosaxx2． 求极限limx0sinx1． 求极限limxtanxtan(0)x222cosxxx0求极限limx01sinxcosx1sinpxcospx(p为常数，p0)． 讨论极限lim． 求极限limx0ln(13x)1xsinxcosx． ． 求极限limx0xtanxxen12求数列的极限limnsin． lim(arctan)n1． nnn4nn2lim2sin． 求数列的极限limn(1cos)． n1nn2n求数列的极限求数列的极限 设f(x)是定义在x0(a，b)，则a，b上的单调增函数，(A)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(B)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(C)f(x00)，f(x00)都存在，而(D)limf(x)存在xx0xx0 limf(x)不一定存在 设x1a0，且xn1　答（）axn，证明：limxn存在，并求出此极限值n ．设x12，且xn12xn，证明limxn存在，并求出此极限值n。设x10，且xn112(xnaxn)(其中a0)，证明极限limxn存在，并求出此极限值．n 设x01，x11x01x0，，xn11xn1xn． 证明极限limxn存在，并求出此极限值。nn3n1111设xn2n，求证：limxn存在.n11313131设xn11221212，(n为正整数)求证：limxn存在． 设x112，x213241，，xn；135(2n1)246(2n)，(1)证明：xn2n1(2)求极限limxn．n求极限limx100x10x1x0.1x0.01x0.001xn1xn322． 设数列xn适合3r1,(r为定数）证明：limxn0． n求极限limxtanx3tanxcos(x6． 3)求数列的极限limn2nn!． n0．)．用极限存在的＂夹逼准求数列的极限lim(n则＂证明数列的极限1n12limn1n22212nnn3求数列的极限求数列的极限limnnsinn!． n122x111ln(23e)lim．． 222求极限lim3xnx(n1)(n2)(2n)ln(32e)63求极限limxln(x5x7)ln(x3x4)2． 求极限limxxxxxx． x，当x02设f(x)sin2x，g(x)x，当x0 2讨论limg(x)及limfg(x)．x0x0设lim(x)u0，limf(u)f(u0), 证明：limf(x)f(u0)。xx0uu0xx0无限循环小数0.9的值(A)不确定(B)小于1(C)等于1求极限limxmxnD)无限接近1x1xmxn2(m、n为正整数)．(答（若数列an适合an1anr(anan1)(0r1)求证：limaa2ra1．nn1rn设xn!其中, 求极限limxn＋1nanna0是常数，n为正整数 nx n求数列的极限lim(sec2nn)n． 设xx0时，(x)与(x)是等价无穷小且lim(x)f(x)A xx0证明：lim(x)f(x)Axx0 设lim0f(x)A，且A0，xx试证明必有x0的某个去心邻域存在，使得 在该邻域内1f(x)有界.下述结论：＂若当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，则当xx0时，ln1(x)与ln1(x)也 是等价无穷小＂是否正确？为什么？）应用等阶无穷小性质，15x2求极限lim13xarctan(1x)arctan(1x)x1x0． 1求极限limx0x2x1． 求极限lim(14x)2(16x)3xx0． 1求极限limx0(1ax)n1x(n为自然数)．a0． 求极限lim(52x)3x3x2x3． 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，且limf(x)xx0(x)xx0a1，limf(x)(x)g(x)f(x)(x)g(x)xx0A，证明：lim A．设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e (x)e(x)~(x)(x)．若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x)　　　与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是无穷小。试判定：(x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小吗？为什么？等价 确定A及n，使当x0时，f(x)ln(x21x)与g(x)Ax，2n是等价无穷小． 设f(x)sinx2sin3xsin5x，g(x)Ax，求A及n，使当x0时，f(x)~g(x)． n 设f(x)eg(x)Ax(ax)2e(ax)22ea2，(a为常数)n求A及n，使当x0时，f(x)~g(x).设f(x)　g(x)xx22Akx1x，确定k及A，使当x时，f(x)~g(x)． 设(x)x3x2，(x)c(x1)，确定c及n，使当x1时，(x)~(x)n3 证明不等式：ln(1求极限lim(axex0bx1n1)1n．(其中n为正整数)ax)x，(a，b为正的常数)求极限lim(x0bx1求极限limx1x1x1axan，(n为任意实数)． 求极限xlimx，(a0，a1)求极限lim3x2lnxlnx0xx0)x，(a0，b0)(x00)0求极限limxaaa3x1xax0x2x2(a0，a1)． e5x求极限limx0etanxexxsinx1xa1xb12x1． 求极限limx02eexx． 求极限lim1xx0． 求极限lim(x0)x(a0，b0且a1，b1，ab)1求极限limx(axaaxx1)(a0，a1)． 求极限limx0ln(secxtanx)sinx． 求极限limln(1ex求极限limxln(x0x)ln(x0x)2lnx0xcosxcos1)ln(1b)(a，b为常数，且a0).(x00)．xx02求极限lim(x)x(k2，kz)． 求极限limcosxx． 1求极限lim(12x)x 求极限lim(x02x12x1)3xx． 求极限lim(x12xx12xx122)． cotxx求极限lim(sinx)xtanx2 2求极限limtan(x)x求极限lim(sinxcosx)． x04x012x0． 1求极限lim(cosx0x)． 求极限lim(1xxx)x． 求极限lim(x2)ln(x2)2(x1)ln(x1)xlnxx 求极限limxx0lncosxx2． 求极限lim 求极限limln(1x)ln(x1)x．x－1lnxxx12． 11en).求数列的极限limnln(n1)lnn． 求数列的极限lim(nnnn求数列的极限limn(enanebn)，其中a，b为正整数． 求数列的极限limnn211ln(a)ln(a)2lna;其中a0是常数 nn求数列的极限lim(n2n1n121)． 求数列的极限limn(annn1)，其中a0． 求数列的极限(2limnenn1)nen(21)n22e． 求数列的极限lim(na2nb)，其中a0，b0． 求数列的极限lim(nn(n1)2n12n1)． n求数列的极限 3n22lim2n3n41x1x 计算极限：limsin(na)． n22设f(x)xsinsinx，limf(x)a，limf(x)b，则有x0x(A)a1，b1(B)a1，b2(C)a2，b1(D)a2，b2　　　　　　　　　　　　　　答（）计算极限limx01xlneex2xenxn 计算极限limln(1xx)ln(1xx)secxcosx1x1x222 x0求极限limx0tanmxsinnx(m，n为非零常数)计算极限limx0a21x1 计算极限limxa0xxa2计算极限在limx0xaln(ax)ln(ax)2lna(a0)计算极限limx01cosx1cosx2． 1(11tanx)xsinx422(a0)计算极限limx0xsinx计算极限limx0(e1)1x2(1cosx)ln(1x)limsinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx1x之值(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2x01(其中A、B、C、D是非0常数))则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1xn242)设limxn0及limnxn1xn22n2a存在，试证明：a1． 求lim(sin22cos1)x xxx计算极限limxax(a1)xaxa23(a0)计算极限limx2x3x3x2xx2232 计算极限limx0eexxcosx2xln(1x)计算极限xxxlimlim(coscos2cosn)x0222nr(0r1)，试证明liman0． n设有数列an满足an0及liman1annnn设有数列liman0． nan满足an0且limanr，(0r1)，试按极限定义证明：设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 试问：当x0时，(x)xx0xx0xsin21x，是不是无穷小？ x0的某去心邻域，使得设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在在该邻域为f(x)g(x)． 设f(x)xsin1x，试研究极限lim1f(x)x0 计算极限limx2ln(1332x2)． arcsin(3x4x4)n1(1)nn2设数列的通项为xnn，则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)1xlim0(1x)xe(B)xlim0(11x)xe1(C)limx(11x)xe1(D)limx(11x)x0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limxn． n eax1设f(x)x，当x0，且limf(x)Ab，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（）1cosax，当x02设f(x)，且limf(x)Axx0b，当x0则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数(B)a，b可取任意实数(C)a可取任意实数(D)a可取任意实数Aa22aA2a2 bAabA22 答（）设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)　适合limf(x)Ax1x1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数　　　　　　　　　　　　　　　答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a　　　　　当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数　　　　　　　　　　　答（）设(x)(1ax)213 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。求limxe2ex2sinxxxx3e4e． 设lim(xx2ax)8，则a__________xa __．__． lim(13x)x0__________ 当x0时，在下列无穷小中与x不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x(C)1x222 x1x(D)ee2x2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x)(B)1xxx221(C)tanxsinx(D)ee2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）计算极限limx01ex21xn12cosx limx3x54sin_____________________ 5x3x22计算极限limxxnx1xxn x1(x1)n1计算极限 lim(x1)(3x1)(nx1)x1计算极限 lim(cosx0x)x ．讨论极限limarctanx11x1的存在性。研究极限limarccotx01的存在性。x研究极限limxx2x3x12． 当x0时，下列变量中，为无(A)sinxx(B)lnx(C)arctan穷大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx1x1________________。“存在一正整数N，使当nN时，恒有设an0，且liman0，试判定下述结论nan1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出n极限liman存在的n结论。设有数列an满足ana0；n1r，0r1，试证明liman0 nan设limf(x)g(x)xx0存在，limg(x)存在，则xx0xx0limf(x)是否必存在？ limg(x)0．若limf(x)0，limxx0f(x)g(x)xx0A0，则是否必有xx0 当x0时，下列变量中为无穷(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x1)1(C)lnx(D)(1x)1x 1答（）xx0 设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明 limg(x)f(x)f(x)g(x)0．若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0A，则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。若limf(x)，limg(x)A，试判定limf(x)g(x)是否为无穷大？xx0xx0xx0 设xx0，f(x)，g(x)A，试证明limf(x)g(x)． xx0设当xx0时，f(x)，g(x)A(A0)，试证明limf(x)g(x)． xx0 设lnx1x，arcctgx，则当x时(A)~(B)与是同阶无穷小，但不是等价无穷小(C)是比高阶的无穷小(D)与不全是无穷小 答：（）f(x)1xsin1x(0x)(A)当x时为无穷小(B)当x0时为无穷大(C)当x(0，)时f(x)有界(D)当x0时f(x)不是无穷大，但无界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)x2x1axb，当x时为无穷小，则(A)a1，b1(B)a1，b1(C)a1，b1(D)a1，b1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x112n3x22)求lim()2 求lim(2nnx6xn1nn2nnnn2nlim()____ nn1 1n2n1nlimenenee2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(12nn 12(n1))____． x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大 答（）设f(x)1sin，试判断：xx;.(1)f(x)在(0，1)，内是否有界(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大 设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 试证明limcosx01x不存在。f(x)(x)，且lim(x)0，试证明limf(x)0 xx0xx0若在x0的某去心邻域内若在x0的某去心邻域内 f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B;试证明AB． xx0xx0sinlimx01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x等价无穷小;(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是(B)(x)与(x)是等价无穷小;;.(C)(x)是比(x)高阶的无穷小(D)(x)是比(x)高阶的无穷小 32 答（）设limx1xaxx4A，则必有x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.2 答（）1x1x1当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大 设当x0，(x)(1ax)23.）答（21和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。求a，b使lim(x23x2x12axb)1 设lim(3x4x7axb)0 , 试确定a，b之值。x设x11，xn1设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n2xn3(n1，2，)，求limxn． n1计算数列极限limtan() 计算极限limn(arctann4nn设当x0，(x)设(x)x2x)a3nn1arctannn)n11x31x33~Ax，试确定A及k． kx2x1，求A与K使limbx(x)xkxA(A0)极限lim(1x0(a0，b0)的值为 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）设limx0xa222212(a0)，试确定a，b之值。x(bcosx)设lim(3xxaxbx1)2，试确定a，b之值。2设limx1xaxxbx1x233，试确定a，b之值。计算极限lim(xxxx)计算极限lim 研究极限limx01xsinxcos2x xtanx22cosaxx(a0)的存在性。limxn．n计算极限limx04tanxetanx4sinxsinxex0设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列22xn收敛，并求极限n设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限 2 limxn．n设a1，b1是两个函数，令nnban1nanbn，bn1nanbn2，(n1，2，)试证明： liman存在，limbn存在，且limanlimbn计算极限limecosxe2x0x 计算极限 limxxxxxxx 计算极限lim(1x若limxnynn21x2)xx0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一nn式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，zn试判定：zn是否也必是无界数列。xnyn，如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1极限lim(cosx)xx02A．0；　B．　　C．1；　D．e12． 　　　　　　　　　　　　答（）极限limeexx2x0x(1x)的值为（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）极限limx01cos3x的值为（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列极限中不正确的是tan3xsin2x2A．limC．limx032cos；　B．limx12x1xx2； x1sin(x1)x12；D．limarctanxx0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）极限limln(1xx)ln(1xx)x222x0 A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1极限lim(cosx)xx01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量A．等价无穷小量；C．高阶无穷小量； 当x0时，无穷小量1－x是无穷小量12xB．同阶但非等价无穷小D．低阶无穷小量．x1的量； 答（n）m，n为常数，则数组2sinxsin2x与mx等价，其中m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1kx1xx0)e，则k的值为A．1；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x极限lim(112x2x)的值为A．e；　B．e1；　C．e4；　D．e14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(12xx)2xe2；　B．lim1xx(1x)2e2；1 C．lim(1x221x1xx)e；D．limx(1x)e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1极限limx0(12x)xA．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x14值为（）xx1)x的A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（2x1极限limx2x12x1的值是122A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列极限中存在的是A．limx1x2x；　B．lim11e1xx0；C．limxsinx1x；　D．lim121xx0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）极限limtanxsinxx1b3的值为12　D．． x0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）极限limxsinxx A．1；　B．0；　C．1；　D．．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limacosxxsinxx012，则a的值为 A．0；　B．1；　C．2；　D．1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x2)x03，则k的值为32；　C．6；　D．6． A．3；　B．　　　　　　　　　　　　　　　答（）x1设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组xx1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）2(a，b)为 4x3设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为 2A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）2极限limx6x8x28x12的值为x2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列极限计算正确的是A．limx2n；　n1x2n1B．xlimxsinxxsinx1；C．limxsinx　12x32n)n．x00；D．limn(1e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3极限lim(xx2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）数列极限lim(n2nn)的值为nA．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx3xcx1，则C的值为x11A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limxax61x的值为x15，则aA．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（））ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limx0f(x)xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，设f(x)xx0x1，则，x01e1xA．lim0f(x)0；xB．limf(x)limf(x)；x0x0C．limf(x)存在，limf(x)不存在； x0x0D．limf(x)不存在，limx0x0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limf(x)存在，则k的值为 xx3，x00A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim1)4；B．limx(x0；x3x0e1C．lim(1)x0；D．limsin(x1)0．x02x1x 答（）若limf(x)0，limg(x)c0(k0)．x0xkx0xk1 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小； C．f(x)为g(x)的同阶无穷小；D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小； 3C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn单调且有下界，则xn必收敛；yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则命题“b”，若数列xn、数列xn必收敛命题“a”，若数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若命题乙：若则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)xx0limf(x)、limg(x)都不存在，则xx0xx0limf(x)xx0g(x)必不存在；xx0limf(x)存在，而xx0limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx00；命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则xx0xx0xx0lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。xx9xx0 答（）xx0若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)A．必为无穷大量C．必为非零常数;B．必为无穷小量;D．极限值不能确定 答（n;．）设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则;相等;an，bn必都收敛，且极限相等A．an，bn必都收敛，但极限未必B．an收敛，而C．bn发散;an和bn可能都发散，也可能都D． 收敛．）答（下列叙述不正确的是A．无穷小量与无穷大量B．无穷小量与有界量的C．无穷大量与有界量的D．无穷大量与无穷大量 的商为无穷小量；积是无穷小量；积是无穷大量；的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是A．无穷大量的倒数是无B．无穷小量的倒数是无C．无穷小量与有界量的D．无穷大量与无穷大量 xx0xx0穷小量；穷大量；乘积是无穷小量；的乘积是无穷大量。答（）是 若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的A．limC．limxx0f(x)f(x)g(x)g(x);B．limxx0f(x)g(x)0;xx0c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0 答（）1设函数f(x)xcos，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； C．无穷小量； xx0B．无界，但非无穷大量D．无穷大量． 答（；）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷 设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量 f(x)在点x0处有定义是极限;小量 ． 答（）;D．无穷小量． 答（xx0）limf(x)存在的 A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条 答（件．）设正项数列an满足liman1ann0，则 A．liman0;B．limanC0;nnan的收放性不能确定．C．liman不存在;D．n 答（）若limanA(A0)，则当n充分大时，必有nA．anA； B．anA；C．aAn2； D．aAn2． 答（）数列an无界是数列发散的 A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非充分又非必要条 答（下列叙述正确的是 A．有界数列一定有极限；B．无界数列一定是无穷大量；C．无穷大数列必为无界数列； D．无界数列未必发散 　答（）件．）

第三篇：高等数学-极限

《高等数学》极限运算技巧

(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

（本文著作权归个人所有，如需转载请联系本人。）

第四篇：高等数学极限复习题

高等数学复习资料二

川汽院专升本极限复习题

一 极限计算

二 两个重要极限

三 用无穷小量和等价

第五篇：高等数学极限总结

我的高等数学 学我所学，想我所想

【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!

我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

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1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

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第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

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这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如：道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

这

”，然后选用公式，再凑出公式的形第二种是取对数消指数。简单来说，“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。