第一篇：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，Y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。)时，f(x，Y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，Y)不存在，这一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，Y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’Iogx，Yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第二篇：如何证明极限不存在
如何证明极限不存在
反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用数学归纳法证此定理：
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：
(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
*(a+b)=*(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限：
(1+1/n)^n(式一)
用二项式展开得：
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
第三篇：定义证明二重极限
定义证明二重极限
就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式V(p)一周<。成立，则称A为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一A卜
利用极限存在准则证明：
(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(Inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减
且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4
例5例6例7
第四篇：极限不存在的证明
不如何证明极限不存在一、归结原则
原理:设f在U0(x0;')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于
xx0
U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。
'
n
例如：证明极限limsin
x0
1x
不存在12n
证：设xn
1n
,xn
(n1,2,)，则显然有
xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。
00,si11(n)xnxn
二、左右极限法
原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan（x0
1x)
当x
0
时的极限不存在。
1x)
1x)
x=0，limarctan（x0
2，limarctan（x0
1x)limarctan（x0
1x)，所以当x0时，arctan（1x)的极限不存在。
三、证明x时的极限不存在原理：判断当x
时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者
相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x
x
时的极限不存在x
x
xxxx
因为lime0，lime；因此，limelime
x
所以当x
四、柯西准则
时，ex的极限不存在。
0'
原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给
xx0
0，存
在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n
x1
n,x1
n1，令
2即证。
五、定义法
原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x
x时没有极限。例如：证明limcosx不存在设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义）数学归纳法
第五篇：证明极限不存在
证明极限不存在
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线y=2x
y=-2x趋于(0,0)时
极限分别为-3和-1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等
所以极限不存在3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
证明该极限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)
=1-lim8/
因为不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
极限不存在4
如图用定义证明极限不存在~谢谢！
反证法
若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。
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