极限的计算、证明

第一篇：极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下

1、直接用定义N,等证明极限

0例、试证明limn1n

证：要使0，只须n，故 

11nN0，N，有10 n1n12、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限

an

0，a0例、证明：limnn!

证：已知a0是一个常数

正整数k，使得ak aaa0，n n!n!k!k1nk!nk!nanakaaakk1

ak11，当nN时，有 0,Nk!

an0 n!

3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限

例、求limn352n1 2462n解：1352n13572n11462n12462n1 2462n2462n22n352n12n1352n14n

1352n11  2462n4n2

两边开2n次方：

11352n11211

1

2462n4n22n

1352n11

2462n由两边夹：limn

4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问

题

例、设Snl0n，p0为常数，求证：Snln

p

p

证：0SnlSnl0，得 Snln记 Snln，其中 n0n

n

再记Snlnl1l



p

p



l1n，其中nn0n l

则有Snl1np。若取定自然数Kp，则当n1时1n1np1n

K

K

l1nl1npSnl1n

p

K

p

p

p

K

由两边夹得证。

5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易

求极限

例、求极限limsinn21

n



sinnn21n解：limsinn21lim

n

n



1sinn1n lim1sinlimn

n



n

2

n1n

n

06、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限lim

x0

1x

x

1K

1，其中K是自然数

解：令 y1x1

当x1时，有 1x1x1x，所以x0y0利用复合函数求极限法则可得lim

x0

1K

1K

1x

x

1K

1

lim

y0

y

1yK1

lim

y0

y

Ky

KK1y2yKK7、进行恒等变形化成已知极限进行计算

xx2

例、lim

1cosx2sin2sinx0x2limx0x2

lim1x021 x22

8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限lim

1cosx

x0

1cos

x2

解：1cosx～12x2，1cosx2～12x

2

x0

lim1cosx

x

x01cosxlimx01x24 222

9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn

n1

x，n1,2,，x1a0 n2

证明：limn

xn存在，并求此极限。证明：xn0x1n1

xxn21xn

2 n2xnx1x

2x2

nn1xnnx2xn2x0，xn1xn

nn

且 xn2，limn

xn存在令 llimxn，有 l1ln

l2，l22，l2

10、利用海涅定理解决极限问题

例、试证明函数fxsin1x

当x0时极限不存在证：取x1n，yn

2n2n

0 n 

02

而 fxn1，fyn0，得证

11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim

1x

1K

1

x0x，其中K是自然数

1解：lim

1xK

1

x0

x

1

xK'1x1K 

12、利用洛必达法则求极限

例、limtgx2x

x

0解：令Alimtgx2x

x

0lnAlnlimtgx2xlimlntgx2x

x

 2

0x2

0

lim2xlntgxlimlntgx

sec2xx

2

0x2

0

2x1

lim

x

0

22x2

tgx

lim12x2

142xx202sinxcosx2lim0x20sin2x



所以limtgx2x

Ae01 x

013、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算

例、设Sn

1n11n21

2n，求limnSn解：S111

n11nn1n22n，lim

S11ni1n1in01x

ln2 n14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题

例、求lim

xn

n

01xdx解：由第一积分中值定理

1

xn1

01xdx

1n



n0

xdx

11，0n1 nn1

所以lim

xn

n

01xdx0

15、利用收敛级数的必要条件求极限

例、求xn

limnn!

解：已知指数函数的幂级数展开式x



xn

e!

对于一切xR收敛n0n而收敛级数的一般项趋于0，故得lim

xn

nn!

0

16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限

例、limxx2ln1

x



1x

解：xx2

ln11xxx2111011o1

2x2xx2x

2x2

原式

1、利用柯西收敛准则处理极限问题

例、用Cauchy收敛准则证明xn1证:取00,N0,任取nN,pn,有

xnpxnx2nxn

2n12n3



1135



无极限.2n1

1nn1

.4n14n14n4

故由Cauchy收敛准则知,xn为发散数列.

第二篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(,)上无穷次可微，且f(x)(xn)(n)，求证当kn1时，x，limf(k)(x)0． x

2.设f(x)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)0．{xn}3.设f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0xlim求证：n1，

n，0xnxn1，使f(n)(xn)0．

sin(f(x))1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,)上连续，且xlimx

5.设a0,x12a,xn12xn,n1,2,证明权限limnxn存在并求极限值。

6.设xn0,n1,2,.证明：若limxn1x,则limxnx.nxnn

7.用肯定语气叙述：limxfx.8.a11,an11,求证：ai有极限存在。an

1tx9.设函数f定义在a,b上，如果对每点xa,b,极限limft存在且有限（当xa或b时，为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。

10.设limnana,证明：lima12a2nana.n2n

211.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。

12.证明：若

afxdx收敛且limxfx，则0.11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22

n

14.证明公式k11k2nCn，其中C是与n无关的常数，limnn0.15.设fx在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列xn[a,),使得limnxn且limnf'xn0.16.设fu具有连续的导函数，且limuf'uA0,Dx,y|x2y2R2,x,y0



R0.I

1证明：limufu;2求IRf'x2y2dxdy;3求limR2

R

D

R

17.设fx于[a,)可导，且f'xc0c为常数,证明：

1limxfx;2fx于[a,)必有最小值。

18.设limnana,limnbnb,其中b0,用N语言证明lim

ana.nbbn

Snx19.设函数列Snx的每一项Snx都在x0连续，U是以x0为中心的某个开区间，在Ux0内闭一致收敛于Sx,又limnSnx0,证明：limSx.xx0

20.叙述并证明limxfx存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理

a

23.设

f(x)= 0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在a,上一致连续，

24.设a1>0，an1＝an＋，证明＝1 nan25.设fx在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，Mh与mh分别表示fx在ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：

1）limnMhn与limnmhn都存在；

2)limn0MhlimnMhn,limn0mhlimnmhn;

3)fx在xa处连续的充要条件是llimnMhnimnmhn26设xn满足：|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1|,证明xn收敛。

27.设ana,用定义证明:limnana

28.设x10，xn1

31xn,(n1,2,)，证明limxn存在并求出来。

n3xn



29.用“语言”证明lim30.设f(x)

(x2)(x1)

0

x1x3

x2，数列xn由如下递推公式定义：x01，xn1f(xn)，(n0，x1

n

1，2，)，求证：limxn2。

31.设fn(x)cosxcos2xcosnx，求证：

（A）对任意自然数n，方程fn(x)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；

（B）设xn[0,1/3)是fn(x)1的根，则limxn/3。

n

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xna,yna(xn,yn(a,b))使

Limf(xn)A(n)及Limf(yn)B(n)，则对A，B之间的任意数，可找到数列xna，使得Limf(zn)

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f0,记fvnf(avn),n

exp{

ba，试证明：n

1b

lnf(x)dx}(n)并利用上述等式证明下aba

式

2



2

ln(12rcosxr2)dx2lnr(r1)

f(b)f(a)

K

ba

34.设f‘(0)K,试证明lim

a0b0

35.设f(x)连续，(x)0f(xt)dt，且lim

x0

论'(x)在x0处的连续性。

f(x)，求'(x)，并讨A（常数）

x

36． 给出Riemann积分af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

i1

lim()s。nni0n

x322,xy02

37.定义函数fxxy2.证明fx在0,0处连续但不可微。

0,xy0

n1

b

38.设f是0,上有界连续函数，并设r1,r2,是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,,使得：limnfxnrnfxn0.39.设函数fx在x0连续，且limx0

f2xfxA,求证：f'0存在且等于A.x

1n

40.无穷数列an,bn满足limnana,limnbnb,证明:limaibn1-iab.nni1

41.设f是0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'x0,f''有界，则limtf't0

42.用分析定义证明limt1

x31

 x292

43.证明下列各题

1设an0,1，n1,2,,试证明级数2nann1ann收敛；

n1



2设an为单调递减的正项数列，级数n2000an收敛，试证明limn2001an0;

n

n1



3设fx在x0附近有定义，试证明权限limx0fx存在的充要条件是：对任何趋于0的数列xn,yn都有limnfxnfyn0.144.设an为单调递减数列的正项数列，级数anln1an0收敛，试证明limnnn1

a1。45.设an0，n=1,2，ana0,(n),证 limn

n



46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f（x）＝〔1，＋〕

limf（x）存在且小于1＋。

x＋4，证明x1）2

x2＋f（x）



47.已知数列{an}收敛于a，且

aaaSn，用定义证明{Sn}也收敛于a

n

48.若fx在0,上可微，lim

n

f(x)

0，求证0,内存在一个单

xx

调数列{n}，使得limn且limf(n)0

n

xesinxcosx,x0

49.设fx2,确定常数a,b,c,使得f''x在,处处存在。

axbxc,x0

第三篇：极限的证明

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

例5例6例7

第四篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第五篇：如何证明极限不存在

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同时成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同时成立。

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

反证法：

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同，故原极限不存在2答案：首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限：

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。