高中数学-公式-极限与导数（样例5）

第一篇：高中数学-公式-极限与导数

极限与导数

一、极限

1、常用的几个数列极限：limCC(C为常数)；lim10，limqn0(a<1,q为常数);(4)无穷递缩等比数nnnn

列各项和公式SlimSa1(0

(1)当x趋向于无穷大时，函数的极限为alimf(x)limf(x)ann

(2)当xx0时函数的极限为alimf(x)limf(x)a: xx0xx03、函数的连续性：

(1)如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有limf(x)f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续；

xx0

(2)若f(x)与g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)(g(x)≠0)也在点x0处连续； g(x)

(3)若u(x)在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续；

4、连续函数的极限运算:如果函数在点x0处有极限，那么limf(x)f(x0)；

xx0

二、导数

1、导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)； x2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 yf(xx)f(x);(2)求平均变化率yf(xx)f(x);(3)取极限,得导数f(x)limy;x0xxx3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；

4、导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f(x0).相应地，切线方程是yy0f(x0)(xx0);

5、导数的四则运算法则：

g(x/)](uv)uv[f(x)/f(x)/g(x)

(uv)uvuvf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)推论：cf(x)cf(x)(C为常数)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)2g(x)



6、复合函数的导数：yxyuux;uuvuv()vv27、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,那么f(x)为增函数；如果f(x)0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0,那么f(x)为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数f(x)；②求方程f(x)0的根；③检验f(x)在方程f(x)0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

第二篇：高中数学公式

高中数学

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

第三篇：高中文科数学公式汇总

高中数学公式汇总（文科）

一、复数

1、复数的除法运算

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.22cdi(cdi)(cdi)cd2、复数zabi的模|z|=|a

bi|

3、zabi的共轭复数Z=a-bi二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

4、同角三角函数的基本关系式sincos1，tan=22sin.cos

5、和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan.1tantan

6、二倍角公式

sin2sincos.cos2cos2sin22cos2112sin2.2tantan2.1tan2

1cos2;2公式变形：1cos22sin21cos2,sin2;22cos21cos2,cos2

7、三角函数的周期

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T函数ytan(x)，xk2；

2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T

b a.

8、函数ysin(x)的周期、最值、单调区间、图象变换

9、辅助角公式yasinxbcosx

10、正弦定理a2b2sin(x)其中tanabc2R.sinAsinBsinC22222222211、余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;cab2abcosC.11112、三角形面积公式SabsinCbcsinAcasinB.22213、三角形内角和定理在△ABC中，有ABCC(AB)

14、a与b的数量积(或内积)ab|a||b|cos

15、平面向量的坐标运算(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则a

16、两向量的夹角公式 x2y

2第1页（共4页）

设=(x1,y1),=(x2,y2)，且，则 cos

17、向量的平行与垂直ababx1x2y1y2x1y1x2y2222

2// x1y2x2y10;()0x1x2y1y20.三、函数、导数

18、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.19、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

20、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).21、几种常见函数的导数

'①C0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；

11'；⑧(lnx) xlnax

u'u'vuv'

''''''(v0).22、导数的运算法则（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vvx'xx'x⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)'

23、会用导数求单调区间、极值、最值

24、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

(1)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

xyxy，当xy时等号成立。

2（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

12（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s.4五、数列

四、不等式

25、已知x,y都是正数，则有

26、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,(数列{an}的前n项的和为sna1a2anss,n2nn1an).*

27、等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN)；

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n.222

2ann1*29、等比数列的通项公式ana1q1q(nN)； q28、等差数列其前n项和公式为sn

30、等比数列前n项的和公式为

a1(1qn)a1anq,q1,q1sn1q 或 sn1q.na,q1na,q11

1六、解析几何

31、直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

（4）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).(3)截距式

32、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb

2①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.33、平面两点间的距离公式dA,B



34、点到直线的距离

A(x1,y1)，B(x2,y2)).d(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).22235、圆的三种方程（1）圆的标准方程(xa)(yb)r.22（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0).36、直线与圆的位置关系 2

2222直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0;

dr相切0;

dr相交0.弦长=2r2d2 AaBbC其中d.22AB37、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

cx2y

2222椭圆：221(ab0)，acb，离心率e1 aab

cx2y2b222双曲线：221(a>0,b>0)，cab，离心率e1，渐近线方程是yx.aaab

pp2抛物线：y2px，焦点(,0),准线x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.22

八、立体几何

38、证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）

39、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）

（2）先证面面平行

40、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）．．．．

41、证明直线与直线垂直的方法

转化为证明直线与平面垂直

42、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）

43、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）

44、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算

45、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

九、概率统计

46、平均数、方差、标准差的计算

x1x2xn12222方差:s[(x1x)(x2x)(xnx)] nn

1标准差:s[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n平均数:x

47、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）．．．．．．．．．

第四篇：高中数学公式口诀

高中数学公式口诀

一、《集合与函数》

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数

正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y=X是对称轴

求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

第五篇：高中数学公式和定理

高中数学公式和定理

数学公式和定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知水平发展的重要学习载体．要学好数学，必须对公式和定理有十分正确透彻的理解，也就是说，牢固掌握并能灵活运用数学公式和定理是提高数学能力的重要前提．在教学过程中我积累了一些经验，下面我就数学公式和定理的教学谈谈我的一些体会．

在数学公式和定理的学习中，需要学生具备多方面的能力，如对新旧知识联系的理解能力，对数学规律的归纳与探究能力，对公式与定理的推理与演绎能力，对知识的存储、记忆与应用能力等．

数学公式和定理教学容易产生“一背二套”、“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围．事实上在公式与定理的教学中一般应有如下五个环节：引入，推导，条件和特例，应用，最后把它们纳入学生的知识体系．因此，教师在教学中注意创设情景、激发兴趣，充分发挥学生在学习中的主体作用，就能避免学生的死记硬背，生搬硬套，做到“活学活用”．

一、知识引入多样化，激发学生求知欲

公式、定理的引入是发展学生思维、培养探索能力的首要环节．一开始的引入如能把学生吸引住，将大大激发学生的求知欲，使他们的思维处于最亢奋的状态．在平时的教学中，我发现，“开门见山”式的引入虽然省时省力，但学生学习缺乏兴趣，只等着老师讲．而针对不同的公式与定理，采用多样化的引入，能很好地吸引学生，激发他们的探究欲望．在教学实践中，我常常采用以下几种引入的方法：

1、实践引入：

教师要善于搜集与公式和定理相关的、有趣味的模型，使学生在接触课题时，就产生强烈的探求欲望．例如在引入线面垂直的判定定理时,先让学生自己动手做一个实验:如图,拿一张矩形纸片,对折后略为展开,使矩形被折的一边紧贴在桌面上,教师告诉学生，折痕和桌面是垂直的，这是为什么呢？学生一下子被吸引住了，急切地想知道这是为什么．

2、类比引入：

数学具有系统性，因此新公式、新定理可以由旧公式、旧定理通过类比迁移而来． 例如在引入余

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弦定理时，先给出三角形的三边a、b、c,其中c为最大边．讨论c2与a2b2的关系．同学们已经学过勾股定理，C900时有c2a2b2．教师向学生提出这样的问题，在斜三角形中a2b2与c2有什么关系？学生通过探究发现，当C900时有c2a2b2；当C900时有c2a2b2．通过对三种三角形的类比，学生会有很大的兴趣去讨论它们之间存在怎样的一种关系式．此时教师引导学生归纳出在△ABC中，三边a、b、c有这样一种关系：c2a2b2m．进而得出m的符号与C的关系．这种引入方法，使学生对新公式、新定理不感到突然，而是旧公式、旧定理的延伸与扩展．

3、发现法引入：

由于公式是对客观实践的抽象，为了完成这一过程，我带领学生重涉前人探索之路去发现公式．这种发现式的引入，对培养学生观察与探究能力有重要作用．在应用这种引入方法时，关键是创设使学生感兴趣的情景．例如在学习等差数列求和公式时，我给同学们讲了他们都知道的高斯小时候求12100的故事，并加上了故事的尾巴：“在高斯说出了他的方法后，老师又提出了新的问题，请学生计算14798”，大家想一想，该如何计算？更一般的等差数列前n项a1a2an的计算公式我们能推导出来吗?同学们兴致盎然，通过独立探究与合作讨论，很快就得出了等差数列前n项和的公式．

二、重视推导和证明，弄清来龙去脉

公式的推导和定理的证明是教学的核心．由于第一环节恰当地引入，学生的心理状态是“兴趣被激发，对证明、推导有迫切感”，因此我抓住机会给予证明．如果在教学中不重视推导，学生对它们的来龙去脉就会很模糊．在推导过程的教学中，我尽量发挥学生的主体作用，能让学生推导的就让学生推导，并注意指出学生推导中的错误．有些推导过程繁琐的公式与定理，教师注重分析，讲清为什么用这样的方法．如果公式和定理有几种推导方法，教学中不是面面俱到，而是让学生课后思考不同的推导方法，在下一节课上进行交流．

三、强调条件和特例

公式成立是要有一定条件的．学生学习公式的最大弱点是把公式作为“万能公式”乱用乱套．因此教学中要强调公式成立的条件．如含有正切的三角公式的角的范围是有限制的．在公式推导完成后，我常常让学生做一个小练习，从中发现他们忽略条件而产生的错误，让学生讨论公式应用中要注意公式成立的条件．

另外，公式虽具有一定的普遍意义，但对一些具有特殊条件的情形要给予注意，这就是公式的特例．如三角诱导公式及倍角公式是两角和与差公式的特例．而一般结论往往是特例的发展与完善．如正弦定理是三角形面积公式的发展与推广．

四、注重灵活应用，提高学生学习能力数学教学的目的在于应用，因此，在公式和定理的教学中，必须使学生灵活巧妙地应用公式和定理，提高、培养学生实际运用的能力．在此教学环节中要注意引导学生灵活应用公式．

每个公式本身均可作各种变化，为了在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进各种变形．这一层次的思维量大，可很好地培养学生思维的灵活性．例如：ai（i1,2,,n）为正数，求证

222a12a2a2ana122(a1a2an)，可把基本不等式a2b22ab变形为

a2b2ab

2来用．再如求tg200tg400tg200tg400的值，是将tg()的公式变形使用．

五、把公式和定理纳入学生的知识体系

数学知识系统性强．学生学习数学知识后，可以形成相应的认知结构．认知结构的发展，是“同化”与“顺应”调节的辨证统一．“同化”指的是新知识与旧知识相一致时，新知识被纳入原有认知结构中；“顺应”指的是新知识与旧知识不一致时，对原有的认知结构进行调节，以适应新的知识结构．如在复数的教学中，判别式小于零的实系数一元两次方程的根与系数的关系可同化到学生已有的知识结构中；而|z|2zz，就要学生将旧知识“顺应”到新的知识机构中去．因此，在教学中我们要注意把新知识纳入学生的认知结构中．为此，我在教学中充分注意以下几点：

1、注意公式推导过程中包含的数学思想方法．

在公式与定理的推导过程中，常常要用到数形结合，从特殊到一般，分类讨论等数学思想方法．在推导过程中，教师常从特殊的情景出发进行分析．例如，在推导sinxa(|a|1)解集时，从a的特殊值开始进行分析．在推导等比数列前n项和公式时，要分q1与q1两种情况讨论．在教学中要充分挖掘公式与定理推导中的数学思想方法，可以有效地培养学生的思维的严密性与灵活性．

2、公式和定理的推广及引申

由于学生学习的阶段性和教材要求等原因，中学数学有许多公式和定理是可以推广的，教会学生推广，让学生看清知识的内部联系，是把知识纳入学生认知结构的有效途径．例如三角形面积公式S11absinC中bsinC就是a边上的高,它其实就是初中所学的公式Sah的另一种新的形式．再如学2

2习了祖暅原理后，让学生把它引申到平面几何的相应命题．

3、比较与鉴别

比较与鉴别是把公式和定理纳入学生认知结构的必由之路．在教学的后阶段，一般是应用所学新知识来解题．如果仅仅盯住新公式，学生就失去一次独立选择公式的机会，这无助于学生认知结构的发展．特别是公式较多时，学生一旦面临复杂的问题，他们会无所适从．因此在教学中用注意公式的比较

与鉴别，选择合适的公式解题，使学生的解题能力得到发展．例如有这样一道题：在△ABC中，已知a3，b1,B300 ,求c边的长．如果用正弦定理来解，要分两步而且面临∠A是一解还是两解的选择，而直接用余弦定理就可一步到位．在数学公式和定理的教学中，教师必须使学生到达以下目标：一是要用准确的数学语言表述公式与定理的内容；二是要学会分析其条件与结论间的内在关系；三是要正确地掌握其证明及推导方法；四是要明确其使用的条件和适用的范围及应用的规律；五是要考虑对一些重要的公式和定理能否作适当的引申与推广．我们在教学中，必须以适当的方式将公式和定理的发生发展过程展示给学生，让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理所包含的教学思想方法，灵活地掌握知识，应用知识，达到提高分析问题，解决问题的能力．

参考资料：

李果民《中学数学教学建模》 广西教育出版社2003年

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