利用导数解决生活中的优化问题

第一篇：利用导数解决生活中的优化问题

利用导数解决生活中的优化问题

本节是用导数的知识解决实际生活中的一些问题，这些问题运用导数的知识解决非常方便.例如，在生活、生产和科研中经常遇到的成本最低、用料最省、效率最高、利润最大等问题，这些问题统称为优化问题.一、利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题.二、利用导数解决实际问题中的优化问题时，要注意以下几点：

1.当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；

2.确定函数关系式中自变量的取值范围；

3.所得的结果要符合问题的实际意义.三、要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法.例题：已知某商品生产成本C与产量q（０

8q，求产量q为何值时，利润L最大.一、用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽

之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

二、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=1

128000x23

80x8(0

距100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

三、某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．

（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

四、已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米小时，船在静水中的速度为v千米小时（8＜v≤v0）.若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米小时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

第二篇：最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

最新高考数学公切线解决导数中零点问题复习

【知识点】将题目中的零点问题，通过转化成初等函数的图形之间的位置关系问题，然后利用公切线的变化求出。

考点一、无零点

【例

1-1】（16年房山二模文科）已知函数

（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。

【解析】因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根

设，即无零点。

当时，显然无零点，符合题意；

当时，令

极小值，显然不符合题意；

当时，令

极大值，所以时，符合题意

综上所述：

【练

1-1】（13年福建文）已知函数().(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解析】当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时，又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时，知方程在上没有实数解.所以的最大值为.考点二、一个零点

【例

2-1】（13年朝阳一模理）已知函数,其中.(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.【解析】①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或解得或.②当时,由(Ⅰ)可知,(ⅰ)当时,函数在上单调递增;

且,所以在上有且只有一个零点.(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增;

又因为,所以当时,总有.因为,所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.综上所述,或或时,在上有且只有一个零点

【练

2-1】（2012年房山一模18）已知函数．

（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

【解析】当时，在区间上为增函数，在区间不可能恰有两个零点．

………10分

当时，由（II）问知，又，为的一个零点．

……11分

若在恰有两个零点，只需

即

………13分

【练

2-2】（13年昌平二模理科）已知函数

(Ⅱ)求在区间上的最小值;

(III)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.【解析】可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当时,要使在区间上恰有两个零点,则

∴

即,此时,.所以,的取值范围为

考点三、两个零点

【例

3-1】已知函数.（III）讨论函数在区间上零点的个数.【解析】

【练

3-1】（15年海淀期末文科）已知函数.（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）

考点四、线上下线问题

【例

4-1】（13年北京高考理科）设L为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求L的方程；

方程为

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.【练

4-1】（14年海淀一模理科）已知曲线.(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【解析】对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于

∀x,，都有，即

∀x,R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下：

0

0

+

极小值

所以的最小值为，实数b的取值范围是．

第三篇：利用虚拟光驱解决“请在光驱中运行”问题

很多光盘内容复制到电脑上就不能使用，下面以教学光盘为例： 小学数学教师用书光盘DVD2，复制到电脑上后，1、单击开始图标

2、弹出右边提示框

为了解决这一问题，我们使用：UltraISO软碟通，它是一款功能强大而又方便实用的光盘映像文件制作/编辑/转换工具。

3、下载安装完成后，我的电脑里面也会多出一个驱动器：

4、打开软件：

5、此时打开光盘文件夹所在目录，全选，把所有文件拖到上面的方框里，6、单击文件，另存为，系统会自动保存为“.iso”文件。

7、回到工具主界面，工具，加载到虚拟光驱，8、单击映像文件后面的省略号按钮，选择第6步保存的“.iso”文件，单击加载，此时第3步的驱动器里面已经有光盘了。

9、双击打开，再点第1步的图标就可以了。

第四篇：利用导数处理与不等式有关的问题

利用导数处理与不等式有关的问题

关键词：导数，不等式，单调性，最值。

导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。

一、利用导数证明不等式

（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：

1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。

x2例1：x>0时,求证；x－ln(1+x)＜0

2x2x2'证明：设f(x)= x－ln(1+x)(x>0), 则f(x)= 21x

∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，x2所以x>0时,f(x)

例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:ab>b a,(e为自然对数的底)

证：要证ab>b a只需证lnab>lnba 即证：blna－alnb>0

a设f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；则f '(x)=lna－, x

a∵a>e,x>a ∴lna>1,<1,∴f '(x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增 x

∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb

所以ab>b a成立。

（注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb(e0时x，故f(x)在区间（e, b）lnbxlnb

Page 1 of

5bb的大小而定，当然由题可以推测e lnblnb

b故f(x)在区间（e, b）上的递减,但要证明e则需另费周折，因此，本题还lnb

是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。）

（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。

导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。

例

3、求证：n∈N*,n≥3时，2n >2n+

1证明：要证原式，即需证：2n－2n－1>0,n≥3时成立

设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f'(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f'(x)≥23ln3－2>0 上的增减性要由e与∴f(x)在[3，+∞)上是增函数，∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0

所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)>0, 即n≥3时,2n－2n－1>0成立，xb例

4、gA(x)(1)2(1)2的定义域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a

若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)

求证:g4（k∈N*）(x1)g(x2)> k(k1)IkIk

1'2x22b2b2证明：由题知g(x)= aaxx

2x22b2b2g'(x)= =0时x4－ax3－a2b2+a2bx=0 aaxx即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化简得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0

所以x2－ax+ab =0或x2－ab=0，∵0

由x2－ab=0

解得xx=（舍）

故g'(x)>0时x∈, g'(x)<0时x∈

[a，因而g(x)在上递增，在上递减

所以

是gA(x)的极小值点，Page 2 of

5又∵gA(x)在区间[a,b)只有一个极值

∴gA)=21)2是gA(x)的最小值。k12(k

1)21)22(1)2所以，g(x)的最小值为g(=2)1kIIkkkk

k2221)2()

g(x2)的最小值为2(k1k1Ik1

又∵224 k(k1)k(k1)∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)时

g4（k∈N*）成立(x1)g(x2)> k(k1)IkIk13、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。

14例5：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤ 3

3证明：∵f'(x)=x2－1, x∈[－1,1]时,f'(x)≤0,2∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)= 3

222最小值为f(1)=,即f(x)在 [－1,1]上的值域为[,]； 333

22所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|, |f(x2)|, 33

224即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)| 333

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m

a例6、已知函数f(x)(9(aR),对f(x)定义域内任意的x的值，x

f(x)≥27恒成立，求a的取值范围

解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立 知

x∈（0，+∞）恒成立，即ax∈（0，+∞）恒成立

Page 3 of

5′h(x)=0

解x设h(x)

则h'(x) 9

′h(x)>0时，解得0＜x

＜(x)＞0时x

＞99′

所以h(x)在（0，）上递增，在（+∞）上递减,9

944 故h(x)的最大值为h(，所以a 999

三、利用导数解不等式

例8：函数

ax(a0),解不等式f(x)≤1

解：由题知f'(x)aa

①∵11

∴a≥1时,f'(x)<1－a<0恒成立，故f(x)在R上单调递减，又f(0)=1，所以x≥0时f(x)≤f(0)=1，即a≥1时f(x)≤1的解为 {x|x≥0}

②0

时，若f'(x)a aa=0

则xx=-

f'(x)>0时解得x

∈(,∪ ), f'(x)f'(x)<0

时解得x(故f(x)

在(或上单调递减，f(x)

在(,2a

1a)上单调递增，又f(x)=1时解得x=0或x=，Page 4 of 5

且0

时02a

1a

2a

1a2

2a

1a所以0

总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。

参考资料：

（1）赵大鹏：《3+X高考导练.数学》，中国致公出版社

（2）王宜学：《沙场点兵.数学》，辽宁大学出版社

（3）《状元之路.数学》

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第五篇：高中数学构造函数解决导数问题专题复习

高中数学构造函数解决导数问题专题复习

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：