几何证明方法总结

第一篇：几何证明方法总结

方法总结



1、首先找出两个平面的交线，然后证明这几点都是这两个平面的公共点，〖1〗 证点共线：由公理2可知，这些点都在交线上 

2、首先选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在此直线上



1、先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内

〖2〗 证点线共面：

2、过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合 

3、反证法

〖3〗 证线线平行：常用公理

4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同

一平面垂直

〖4〗 证线面平行：





平面相交的交线经过直线作或找平面与在平面内作或找一

1、根据面面平行的定义：两个平面没有公共点

2、面面平行的判定定理：

〖5〗 证面面平行： 

3、垂直于同一条直线的两个平面平行



4、两个平面同时平行于第三个平面

5、一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线

理

1、用三垂线定理或逆定

2、求两直线所成的角为直角〖6〗 证线线垂直：

3、线面垂直的性质

4、面面垂直的性质

1、利用线面垂直的定义

2、用线面垂直的判定定理〖7〗 证线面垂直：

3、两平行线之一垂直平面，则另一条也垂直于这个平面

〖8〗 证面面垂直：面的平面角是直角

1、定义法：证明两个平

平面经过另一个平面的垂线

2、判定定理：证明一个

〖9〗 求斜线和平面所成的角、二面角、直线和直线所成的角：常先作出要求的角，然后组成三角形，通过解三角形求角（一作、二证、三计算）



1、找斜线和平面所成的角，关键是找斜线在平面内的射影，而找射影关键是找垂足和斜足

1、用定义法

2、找二面角的平面角

2、利用垂面法要注意以上各种角的范围 



3、利用三垂线定理





3、无棱二面角可考虑用射影面积法





4、直线和直线所成的角用公理4找出所要求的角

〖10〗求点到平面的距离、求点到直线的距离、平行平面之间的距离、直线和平

面平行时直线到平面的距离，异面直线的距离常先作出垂线段，然后解由垂线段组成的三角形，或利用体积相等的方法求垂线段的长 〖11〗利用向量判断线线、线面、面面的位置关系，利用向量求角、距离、证明

平行垂直等问题：先选定一组基底，其它向量都用这组基底表示，再利用向量的法则进行计算

〖12〗在空间直角坐标系中判断线线、线面、面面的位置关系，求角、距离：先

把点、线段、向量坐标化，然后用向量的坐标进行计算

1、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，【1】 求证：AC⊥BC

1A1

【2】 求证：AC1∥平面CDB1

【3】 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值

2、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点。

【1】 ED为异面直线BB1与AC1的公垂线 Ｄ 【2】 设AA1=AC=2AB，求二面角A1—AD—C1 的大小．

3、如图，在直三棱柱ABC---A1B1C1中，AA1=4, AB=5,BC=3,AC=4,D,E分别CC1、AB上的中点，【1】 求证：平面B1C1E⊥平面ACC1A1 【2】 求二面角D—AB—C的大小 【3】 求点D到平面B1C1E的大小

4、如图，直三棱柱AB1C1---ABC中，BC=CC1=CA= =2，AC⊥BC，D、E分别为棱C1C、AC的中点，【1】 求二面角B—A1D—A的大小

【2】 若F为线段B1C1上的任意一点，试确定F的位置，使EF⊥平面A1BD

Ｃ

B1

D B

Ｅ 1

B1

B

A1

C1 D

C

A

B1

B

第二篇：几何证明思路与方法

对于初中数学的教学而言，不存在太多的难点，按照南京中考数学试卷的难易比例7:2:1来看，90%都属于基本知识点的考察和运用，剩余的10%则是分配在平面几何的证明和一元二次函数的动点问题上。接下来我就简单分享一下如何应对平面几何证明这个问题！按照以下的思路来走，可以使我们最大程度地拿到平面几何证明题的分数！

平面几何证明一般按以下三个思路来解决：

（1）．“顺藤摸瓜”法

该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，直接求解即可。

（2）．“逆向思维”法

该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。

（3）．“滇猴技穷”法

该类问题特点：题目很简明，表面上看不出条件和结论存在什么关系。也就是在自己苦思冥想，死了几百万脑细胞之后依然无解。该类问题属于你痛不欲生的C级难度的题目。

方法：①从已知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；

②再从结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；③合理联想，看看两次推导结果之中有没有关系紧密的，如果发现则以此为突破点解题；若发现不了，马上放弃，绝不浪费时间！

注：该类问题在写出各种推导结果是需注意条理性，忌杂乱无章！这样能保证我们如果“瞎蒙”对了某一正确步骤后者推导出一个重要条件时，能拿到相应的分数！所以考试时遇见不会做的题目，不能留“天窗”！

第三篇：几何证明方法(初中数学)

初中数学几何证明题技巧，归类

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一）

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

*8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.垂径定理

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.相似三角形的对应角相等。

7.圆的内接四边形的外角等于内对角。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形 梯形的中位线平行于第三边，底边。

6.平行于同一直线的两直线平行。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

一个图,你看着哪好像差根线,你就用铅笔描一下,分析一下有了这根线哪线角相等,哪相角互补之类的.不可以只盯着原图看.另外,看已知条件里,把它们标注在图里,看人家给这个条件,你可以知道什么,这个条件有什么用,可以由此推出什么.从求证出发你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了记住，做题要倒推走把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了。

有心学习就不怕没希望提高！课上要稍微做些笔记，特别是自己有疑问的地方，课后的练习不一定非得全部做完，浪费宝贵的时间资源，但一定要及时。对于自己比较容易犯错的地方或记忆不牢的建议用小小的随身便携纸记录下来，想看的时候随时都可以看。对于比较典型的而自己又没掌握的题型则把它抄录在专用本子上，详细的写出解题步骤，还可以从中挖掘出许多的知识点，然后再找些近似题目自己独自解答，看看差距在哪里，并想办法解决。久而久之当本子厚了以后复习，也就基本可以不用看书仅仅看本子就行了，达到事半功倍的效果，希望你早日获得快乐学习方法！

第四篇：几何证明中的证明思路和方法(一份)

几何证明中得证明思路和方法

知识点1证明中的分析

证明步骤：

（1）仔细审题分清楚命题的“条件”和“结论”或“已知”和“求证”；

依据已知条件画出图形，标出字母记号，并把条件用明显记号表示出来，有时因观察、书写需要用<1，<2 等来简化角的表述。

（2）探索证明方法充分利用已知条件和图形的性质；

采用从“已知”到“未知”综合地推导，或者采用“未知”到“已知”进行分析推导，也可以采用两头同时进行，达到思路沟通；有时还需要有目的地添加辅助线，能把不易直接证明的命题转化为另一个较易证明的问题。

（3）写出证明过程经过探索，找到证明的途径，用综合方法，层次清楚地有根据地从已知到未知，把证明的全过程写下来。

知识点2几何证明中常用的证明方法

（1）证两线平行——利用平行性质和判定；到目前为止，只能用平行线的判定定理及

其推论来证，这是证明两条直线平行最基本的方法。也就是说，证明两条直线平

行问题的关键是证有关的角相等或互补。

（2）证两线相等——利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定；

证明线段相等的四种常用方法：

一、如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等。当缺

少条件时，可再证一对三角形全等。

二、如果两线段分别在两个三角形中，但是这两个三角形不全等，那么可

以添加辅助线构造全等三角形来证。常作的辅助线有：平行线，垂线

或连结线段等。

如果两线段是一个三角形的两边，那么可证它们所对的角相等。

证明两线段都等于第三条线段。有时还需要添加第三条线段作媒介。

三、四、（3）

（4）注意：有时需要综合运用上述四种方法才能奏效。证两角相等——利用三角形全等性质和判定、利用平行线性质，利用等腰三角形的性质和判定； 证两直线互相垂直——利用垂直定义、利用等腰三角形三线合一性质；

证明两条直线垂直的常用方法：

一、直接运用垂直定义，证两条直线的夹角是900；

二、三、使要证的垂直关系归结到一个直角三角形中去，证这个三角形的两个锐角互余。运用等腰三角形的“三线合一”的性质证明。

（5）

其中方法一可转化为方法二。无论哪种方法，最终大多转化为证两个角相等的问题。证一线段等于另一线段的二倍（或一半）——利用加倍法、折半法，常常要作辅助线。

第五篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

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