立体几何证明技巧解答（精选五篇）

第一篇：立体几何证明技巧解答

南京市第六十六中学2012届二轮复习

证明的通用技巧归纳与整理

2．1 线面平行的证明技巧。

2．1．1 把要证的直线平行移动到面内确定平行线 1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面

ABC是正三角形，且平面ABC平面BCC1B1，点D是棱BC的中点． 求证：A1B//平面ADC1．

A

A

1B

D

C

C1

2．1．2 如果不能确定平行线，则构造一个包含该直线且与要证平面平行的平面 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分别为A1C1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：EF∥平面A A1B1B．

2．3 证明由平面图形经过翻折升维为立体图形时抓住翻折前后不变的边角关系是证明的关键。例6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求证：平面A’MC⊥平面BCDE。

A

C

D

A

1E

C1

B1

A'

F

M

C

A

E

B

2．2 证明在同一平面内的线线平行或垂直技巧。

通常在证明同一平面内的线线位置关系时，通常采取降维的做法，把问题从立体图形转化为平面几何图形来研究，比较简单且易于观察。

D1

3．四棱柱ABCD

A1BC11D1中，ABBCCA

A1

A

C1

ADCD1,面AAC11C面ABCD。

（1）求证：BDAA1；

（2）若E为线段BC的中点，求证：A1E//平面DCC1D1。

C

2．4 直接证明有困难或不好证明时，借助于第三个量，通常在第一小问中有提示，进行转化证明。

例7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D，O分别为AA1，B1C的中点。（1）证明：OD∥平面ABC；

（2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

A1

B

C1

2．5 运用公式，借助割补法、等体积代换对简单几何体侧面积、体积等相关计算时，要注意计算与证明相结合。

例8．在四棱锥O-ABCD中，底面是边长为2的菱形ABCD，DAB60°，OAD⊥底面ABCD．

求点A到平面OBC的距离．

三、实战练习：

A

C

EF//AC，AB，CEEF1 1．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．

2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D,E,O分别为AA1,AC11,B1C的中点。（1）证明：OE∥平面AA1B1B；（2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

D

A

1E

C

B

C1

3．已知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分别为A1C1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：（1）EF∥平面A AB1B；（2）BCEF．

A

C

D

A1

E

C1

B1

ABBC2,CQ4，BCQ60,4．如图，已知等腰梯形ABCQ中,AB//CQ，D是CQ的中点，将QDA沿AD折起，点Q移动到点P位置，使平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：BC//平面PAD；（2）求三棱锥PBCD的体积。

Q

C

AP

B

DA

C



5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD中为菱形，BAD60，Q为AD的中点．

求证：“平面PQB平面ABD”的充要条件是“PAPD”．

P

D

A

C

第二篇：立体几何证明与解答

必修2第一章《立体几何初步》单元教学分析

1、本章节在整个教材体系中的地位和作用

本章教材是高中数学学习的重点之一，通过研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等，运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质，使学生建立空间概念，掌握思考空间几何体的分类方法，在认识空间点、直线、平面位置的过程中，进一步提高学生的空间想像能力，发展推理能力，通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察和实验，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用。本章内容在每年的高考中都必考，在选择题、填题2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC1，ACBC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；

（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M平面

CDB1 ？

空题和解答题中均能出现，分值约20分左右，主要考查线、面之间的平行、垂直关系。

2.本章节的知识结构和框架体系

题3.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；

（Ⅱ）求三棱锥D－AEC的体积；

（Ⅲ）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.题4：如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成角为450，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=900，2PA=2BC=AD。（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E的位置，若不存在，说明理由。

题5：．如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面

PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；

主视图 左视图（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.俯视图

8．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是.CB

9．已知平面M、N

互相垂直，棱l上有两点A、B，F

AC

M，BDN，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，A

BD＝24 cm，则CD＝_________．

10.l是直线, 、是平面, 给出下列命题:①若l垂直于内的两条相交直线, 则l;②若l平行于, 则l平行内所有直线;③若m,l，且lm,则;④若l,且l，则;

⑤若m,l，且∥,则m∥l．

其中正确的命题的序号是(注: 把你认为正确的命题的序号都填上)．

立体几何综合检测试卷

11.已知三棱锥SABC的三视图如图所示，1.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为.在原三棱锥中给出下列命题：①BC平面SBC； 2．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于.②平面SBC平面SAB；③SBAC.其中所有 3.表面积为5214．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1正确命题的序号是.点的最短距离是．

4.已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两

垂直，则这个球的表面积为.5.直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个 数为.C

A(B)C

主视图

左视图

6．已知正三棱锥的侧面积为18 cm

2,高为3cm.S

则它的体积为．

7.一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，俯视图 可以计算出该几何体的表面积是.12.已知、 是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m ⊥n

2）

（ ⊥（3）n ⊥（4）m ⊥

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________． 13.三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F 分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1 将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _____．

14.已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于．

15.(8分)已知：正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12,E为棱CC1的中点.（1）求证：B1D1AE；（2）求证：AC//平面B1DE；（3）求三棱锥ABDE的体积.17.如图1，等腰梯形ABCD中，AD//BC,ABAD,ABC60,E是BC的中点，如图2，将ABE沿

C1

A1B1

AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC,BD,F是CD的中点，P是棱BC的中点.（1）求证：AEBD；

（2）求证：平面PEF平面ABCD；

（3）判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.A

（图1）

F AC

DA11

C1

18.（12分）在直角梯形ABCD中，AD90,ABCD,，截面CDE与SB交于SD平面ABCD,ABCDa,SD2a，在线段SA上取一点E（不含端点）

E

点F.（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当

A

CD的值是多少时，能使DMC为直角三角形？请给出证明.AB

S

16.（8分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB点D为A1C1的中点.求证：（1）BC1//平面AB1D；（2）A1C平面AB1D.2AA1, 1

E

A11

C

AB

A

第三篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

第四篇：立体几何证明

1、（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱

交B1C于点F，BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，（1）求证：A1C⊥平面BDE；



D3．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，为棱CC

1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心.（1）求证：MNBC； ．

A

B

4.如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；



A11

（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA

1BC11D1是正方体，其中AB2,PA

（1）求证：PAB1D1；

6．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，7、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

8.正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；

P（2）求证：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；（2）AC面AB1D1．(14分)

1

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命题正确的是………………………………………………（）

B

A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面

2．若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与a异面B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一的直线与a平行D．内的直线与a都相交

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面

4．正方体ABCDA'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角

A．0B．45C．60D．90

5．平面与平面平行的条件可以是…………………………（）

A．内有无穷多条直线都与平行C．直线a，直线b且a//，b// B．直线a//,a//且直线a不在内，也不在内D．内的任何直线都与平行 6．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命题中错误的是……………………………………（）A． 如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B． 如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面，，l，那么l

8．直线a//平面，P，那么过点P且平行于的直线…………（）A． 只有一条，不在平面内B．有无数条，不一定在内C．只有一条，且在平面内D．有无数条，一定在内 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

第五篇：立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。