完全平方数的性质与特征

第一篇：完全平方数的性质与特征

完全平方数的性质与特征

1=1×1=2=2×2=3=×=4=×= 52=×=62=×=72=×=82=×= 92=×=102=×=112=×=122=×= 13=×=14=×=15=×=16=×= 172=×=182=×=192=×=202=×= 212=×=222=×=232=×=242=×= 252=×=262=×=272=×=282=×= 292=×=302=×=312=×=322=×=

1、观察你所填出的平方数，个位数字分别是（）、（）、（）、（）和（）。

（1）abcd5它可能是平方数。（）（2）abcd2它可能是平方数。（）

（3）abcd8它可能是平方数。（）（4）abcd9它可能是平方数。（）

2、观察上面奇数的平方，平方数的个位一定是（），十位也都是（）。

（1）572=ab69（）（2）abc35它可能是平方数。（）

（3）abc87它可能是平方数。（）（4）abc69它可能是平方数。（）

3、观察上面偶数的平方，平方数的个位一定是（），个位分别可以是（）、（）、（）；平方数的十位可以是（）或（），当平方数的十位是（）时，它的个位是（）或（），当平方数的十位是（）时，它的个位是（）。

（1）577a它是一个平方数，a一定是6。（）（2）ab46它可能是平方数。（）

（3）abc54它可能是平方数。（）（4）abc70它可能是平方数。（）

（5）如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

（6）如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是（）。

（7）如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是（）。

（8）如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是（）数。

4、观察上面偶数的平方，这些平方数不仅是2的倍数还都是（）的倍数；如果把奇数的平方分别除以4，可以发现（）都是（），也就是说如果一个平方数是奇数，将它减去（）后就是4的倍数了。

5、偶数可以用字母表示为（），那偶数的平方就可以表示为（）或（）；奇数可以用字母表示为（），那奇数的平方就可以表示为（）。22222222

第二篇：完全平方教案

完全平方公式

教学设计

一、教学目标

1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．

2．熟练运用公式进行计算．

3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．

4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．

5．渗透数学公式的结构美、和谐美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．

2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：

（1）切勿把此公式与公式

ab2ab22 混淆，而随意写成ab2a2b2 ．

（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．

（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．

三、重点·难点及解决办法

（一）重点

掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．

（二）难点

综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．

（三）解决办法

加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．

四、课时安排

一课时．

五、师生互动活动设计

1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．

2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．

3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．

4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．

六、教学步骤

（一）明确目标

本节课重点学习完全平方公式及其应用．

（二）整体感知

掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．

（三）教学过程

1．计算导入；求得公式

（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；

（2）用简便方法计算

①103×97

②103 × 103

（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．

学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．

要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘

法公式”．

引例：计算

学生活动：计算ab2，a-b

22ab，a-bab22a22abb2，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．

或合并为：abab2aa22abbba2

222ab2

ab222abb2

教师引导学生用文字概括公式．

方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

【教法说明】

①复习近平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．

②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．

2．结合图形，理解公式

根据图形完成下列问题：

如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）

图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

（2）图B中，正方形的面积为____________________，Ⅲ的面积为______________，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

分别得出结论：

abab2aa22ab2abbb2 222

学生活动：在教师引导下回答问题．

【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。

3．探索新知，讲授新课

（1）引例：计算

教师讲解：在x2y2x2，3y2

x2y 中，把x看成a，把2y看成b，在2x23y2 中把2x看成a，把3y看成b，则

x2y2x2、3y22，就可用完全平方公式来计算，即

x2y2x2x22x2y2y2x4xy4y2

3y22x222x3y3y24x212xy9y2

【教法说明】

引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．

（2）例1 运用完全平方公式计算：

①4ab2

1②y2

2③

-2x12

学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．

【教法说明】

让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成-2x122x12x122

然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．

4．尝试反馈，巩固知识

练习一

运用完全平方公式计算：

（1）

a62（2）

4x

2（3）

x722

（4）-2x5y2

（5）

（6）

1x3y223x342

学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．

5．变式训练，培养能力

练习二

运用完全平方公式计算：

（l）（2）

（3）

（4）

10221992498279.82

学生活动：学生分组讨论，选代表解答．

练习三

（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．

甲的计算过程是：原式 =33

x2y222x2yx2yx432224xyy9

4乙的计算过程是：原式 =33 x2yx2y223x2y222x24y6y94

丙的计算过程是：原式=3x2y23x2y22 xx2232y2y246y32

丁的计算过程是：原式=33

x2yx2y223x2y222xx24y4294942y2

（2）想一想，（a+b）与 相等吗？为什么？

与 相等吗？为什么？

学生活动：观察、思考后，回答问题．

【教法说明】 练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解解代数中“a”具有的广泛意义．

与

之间的相等关系，同时加深理

练习四

运用乘法公式计算：

（l）

（2）

（3）

（4）

学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．

【教法说明】 这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．

（四）总结、扩展

这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．

引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．

七、布置作业

第三篇：完全平方公式与平方差公式教案

§8.3完全平方公式与平方差公式复习课

教学目标：

1． 知识与能力：

会推导公式：（a±b）2=a2±2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2；了解公式的几何背景，会用公式计算。2． 过程与方法：

经历探索完全平方公式与平方差公式的过程，发展学生观察交流归纳猜测验证等能力。3． 情感态度与价值观：

进一步体会数形结合的数学思想和方法。

教学重点：乘法公式的应用 教学难点：公式的结构特征

对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用。

教学过程：

一、引入：计算：（a+b）2=(a-b)2=(a+b)(a-b)=

二、新授：例1：利用乘法公式计算：

（1）（2x+y）2（2）(3a-2b)2 ※字母a、b可以是数字，也可以是整式。

5．课堂练习：计算：（1）（3x+1）2(2)(a-3b)2

(3)(2x+y/2)2(4)(-2x+3y)2

6.例2：利用乘法公式计算：

(1)(1-3m)(1+3m)（2）1999×2001（3）（x+3）（x-3）（x2+9）

7.课堂练习：计算：

(1)(2a+5b)(2a-5b)(2)(1/2x-3)(1/2x+3))(3)(y-2x)(-2x-y)(4)(xy+1)(xy-1)（5）（3x+2）（3x-2）（6）（b+2a）（2a-b）（7）（-x+2y）（-x-2y）

1． 简便计算

例：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

三、练习：

(x2y)(2yx)

(2x5)(52x)

(0.5x)(x0.5)(x20.25)

(x6)2(x6)

2100.5×99.5 99×101×10001

四、小结：这节课你学到了什么？ 乘法公式的特征是什么？

1． 字母a、b可以表示数，也可以表示单项式多项式。2． 要符合特征才能用公式。

3． 有些题目需要变形后才能用公式。

五、作业布置：P66 EX1 EX2

第四篇：完全平方公式教案

人教新课标八年级上15.2完全平方公式表格式教案

一、复习旧知

探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

二、探究新知

1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳

教师让学生利用多项式的乘法法则进行推理.教师让学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

这里是对前边进行的运算的复习，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2 3．归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 4.【例1】运用完全平方公式计算：

⑴ ； ⑵ 【点拨】展开后的式子有三项，能合并的要合并.5．利用完全平方公式计算：（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；（3）（x+y－z）2；

解析：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；

（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］

2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算； 思考

⑴（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么? ⑵（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么? ⑶（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么? 6．添括号：∵4+5+2与4+(5+2)的值相等;4-5-2与4-(5+2)的值相等.所以可以写出下列两个等式:(1)4+5+2=4+(5+2)(2)4-5-2=4-(5+2)左边没括号,右边有括号,也就是添了括号,•同学们可不可以总结出添括号法则来呢? 添括号其实就是把去括号反过来。

教学程序及教学内容

学生分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特征。

部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式。学生思考，教师点拨。

学生在做题时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生理解每一步的运算理由。.学生分组讨论,最后总结。

师生行为 的思想方法：特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示． 的设置是由浅入深，让 每个学生感到学有所成，感

受到学习数学的乐趣.整个过程贯穿完全平方公式的结构特征及由一般到特殊的思想的体验，亲身 经历了数学魅力所在.注意完全平方公式中容易出现的问题，让学生掌握。

第五篇：9.14完全平方公式[推荐]

运用完全平方公式分解因式（2）

教学目标

1．使学生巩固地掌握用完全平方公式分解因式。

2．使学生学习多步骤、多方法的分解因式。重点难点

重点：掌握多步骤、多方法的方法。

难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤、恰当地选用方法分解因式。教学过程

一、复习

1．提问：什么是完全平方公式法分解因式？ 2．练习：把下列各式分解因式：（1）x2y3–x3y2–xy；（2）9(a+b)2–(a–b)；（3）(s+t)2–18(s+t)+81；（4）x2y2–8xyz+16z2；（5）a6–25a4；

（6）–10mn–25n2–m2。

以上6道题目的因式分解，有的是一个步骤完成的，如（1）、（3）、（4）用完全平方公式法。有的要用两个步骤完成的，如（2）、（5）、（6）都先经过提公因式，再分别用平方差公式、或完全平方公式。还有的如（2），先用平方差公式，再用提公因式法提数字公因式。通

过这几道题目的复习练习，我们要知道做因式分解的目的，首先，要有观察力，能发现多项式的公因式，会识别它可以用什么公式进行因式分解。其次，要将因式分解进行到底。只要因式中有多项式，而这个多项式还可以因式分解，包括有公因数我们就要把工作进行下去，直到因式的各项不能再分解为止。

二、范例讲解

例6 把3ax2+6axy+3ay2分解因式。

[教学要点]让学生观察后发现：（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式3a。其次，在提出公因式后，让学生继续发现括号内三项是一个完全平方式。因此，还可以用完全平方公式继续分解为二项式的平方。

例（补充）把–16x4y6+24x3y5–9x2y4分解因式。

[教学要点]让学生发现；（1）这是一个三项式；（2）各项有公因式x2y4；（3）为了适应完全平方公式的形式，各项还要变号，为此提一个含有“–”的公因式–x2y4：

–16x4y6+24x3y5–9x2y4 =–x2y4（16x2y2–24xy+9）=–x2y4(4x–3)2。

例（补充）把(x2+y2)2–4x2y2因式分解。

[教学要点]（1）让学生发现原式是二项平方差。因此可用平方差公式分解因式；（2）用平方差公式分解因式后，两个因式都是三项式，它们又都是完全平方式，因此可继续用完全平方公式在分解。

(x2+y2)2–4x2y2

=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)–2xy] =(x+y)2(x–y)2。

学生易出现的错误是，在用平方差完成分解因式后，不再继续分解下去。因此要特别强调第二步的观察。让学生发现还可以用完全平方公式继续分解，否则不算做完这题。

三、课堂练习（补充）1．把下列各式分解因式：（1）–4xy–4x2–4y2；（2）3ab2+6a2b+3a3；（3）(s+t)2–10(s+t)+25；（4）0.25a2b2–abc+c2。2．把下列各式分解因式：（1）x2y–6xy+9y；（2）2x3y2–16x2y+32x；（3）16x5+8x3y2+xy4；（4）(a2+3a)2 –(a–1)2。

四、作业设计

1．复习乘法的平方差公式，乘法的完全平方公式计算：（1）(3m+2n)(2n–3m);（2）(2a3–b2)(b2+2a3);（3）(–a+2b)(–a–2b);22 11

（4）(–4x–3)(4x–3);（5）(–b2+4a2)2;（6）(t2+12)2;（7）(a+b)(a2–b2)(a–b);（8）(a+2b–3)(a+2b+3)。2．把下列各式分解因式：（1）2a4b2–4a3b2+10ab4;（2）16x4y–8x2y2;（3）10(x–y)2–5(x–y)3;（4）6(x–2)2+5(2–x);（5）5(m–n)3+10(n–m)5;（6）(a–1)+x2(1–a);*（7）ab–(a2+b2);21（8）(x+y)2+4(x+y)z+4z2。3．把下列各式分解因式：（1）16x–x3;（2）9(x+a)2+30(x+a)(x+b)+25(x+b)2;（3）a3+4ab2–4a2b;（4）–mn+2m2n–m3n;**（5）(s2+2s)2–(2s+4t2)2;（6）(x2+y2)2–(y2+z2)2;（7）(a–b)(a2–c2)+(b–a)(b2–c2);

（8）2(5m–17)2–128(m–1)2。