平面几何问题选讲

第一篇：平面几何问题选讲

平面几何问题选讲

竞赛中的平面几何试题通常以直线、三角形、四边形、圆等基本图形为载体，题型多样，出现得较多的有证明题、计算题、轨迹题、作图题等.一般来说，计算题、轨迹题、作图题都离不开严格的几何推理和证明，所以证明题是平面几何问题的核心.几何证明题一般又可分为三大类：

第一类是位置型问题，如证明两线平行、两线垂直、点共线、线共点、点共圆、圆共点、线与圆相切（或相交）、圆与圆相切（或相交），或证明某点是特殊点、某图形是特殊图形，等等；

第二类是等式型问题，如证明角相等、线段相等、图形的面积相等，或证明某些关系式成立，等等；

第三类是不等式型问题，如证明某些几何量（线段长、角、面积）的大小关系式或某些复杂的几何不等式，等等.解决平面几何问题的方法多种多样，除了常用的分析法、综合法外，还有反证法、同一法、复数法、解析法、三角法、代数法、面积法、割补法、归纳法、几何变换法、构造法等.解决平面几何问题，还经常需要用到三角形的“五心”（三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心）的性质以及平面几何中的一些重要定理（正弦定理、余弦定理、圆幂定理、梅内劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、蝴蝶定理、欧拉定理等）.1.梅涅劳斯(Menelaus)定理△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，且有奇数个点在边的延长线上，则P、Q、R共线的充要条件是

2.塞瓦(Ceva)定理△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，且有偶数个点在边的延长线上，则AP、BQ、CR共点的充要条件是

3.托勒密(Ptolemy)定理设四边形ABCD内接于圆，则它的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积，即ABCDADBCACBD.托勒密(Ptolemy)定理的推广在四边形ABCD中，有ABCDADBCACBD.当且仅当四边形ABCD为圆的内接四边形时等号成立.4.西姆松(Simson)定理从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.5.斯德瓦特定理设P是△ABC的边BC上任意一点，则

BPAC2BPPCCQQAARRB1.BPPCCQQAARRB1.CPAB2BCAP2BPCPBC.6.欧拉定理设△ABC的外心、重心、垂心分别为O,G,H，则O,G,H三点共线，且GH2OG.【典型例题】

例1证明：锐角三角形ABC的垂心H是垂足三角形DEF的内心.相关题：（第一届女子奥赛试题）设△ABC为锐角三角形，AD、BE、CF是它的三条高，证明：垂足三角

1形DEF的周长不超过△ABC的周长的一半.例2设O、H分别是△ABC的外心和垂心，M是BC边的中点，求证：AH＝2OM.例3设G、H、O分别为△ABC的重心、垂心和外心，证明：G、H、O三点共线，且HG＝2GO.例4设H为锐角三角形ABC的垂心，已知A30，BC3，则AH_____..例5（2003年IMO预选题）如图所示，已知△ABC内一点P，设D、E、F分别为点P在边BC、CA、AB上

2的投影.假设AP2PD2BP2PE2CPPF,且△ABC的三个旁心分别为IA,IB,IC.证明：P是△

IAIBIC的外心.例6（1997年全国联赛试题）如图，已知两个半径不相等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1、圆O2分别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。

例7在四边形ABCD中，AB、CD的中垂线相交于P，AD、BC的中垂线相交于Q，M、N分别是AC、BD的中点。求证：PQ⊥MN。

例8(2004年新加坡)设AD是⊙O1和⊙O2的公共弦，过D的直线交⊙O1于B，交⊙O2于C.E是线段AD上异于A和D的点，连接CE交⊙O1于P和Q，连接BE交⊙O2于M和N.证明：

（1）P、Q、M、N四点共圆，设其圆心为O3；（2）DO3BC.例9在△ABC中，O为外心，I为内心，AB＜AC，AB＜BC，D和E分别是边AC，BC上的点，且满足AD=AB=BE，求证：IO⊥DE.例10（2003年国家集训题）凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB的重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心.求证：PQ⊥RS.C

例11（2004年德国）已知圆内接四边形ABCD的两条对角线的交点为S，S在边AB、CD上的投影分别为点E、F.证明：EF的中垂线平分线段BC和DA.例12（2000年试题）如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FMAB, FNAC(M,N是垂足)，延长AE交△ABC的外接圆于点D。证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等。

M

B

C

例13（2003年全国联赛试题）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割

线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．

例14（1998年全国联赛试题）设O、I为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，AB≠AC.求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.例15（2006全国联赛试题）以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i0,1）.在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，Q交CB的延长线于Q；B0P0为半径作圆弧P以C1为圆心，C1Q0为01000P交BA的延长线于P；以B为圆心，BP为半径作圆半径作圆弧Q1111101Q交BC的延长线于Q；P，C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q弧P101以1110

D

P

B

交AB0的延长线于P0.试证：

Q与PQ相内切于P；（1）点P0与点P0重合，且圆弧P0000

1（2）四点P0,Q0,Q1,P1共圆.例16（首届中国东南地区数学竞赛）设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E.求证：CDEFDFAEBDAF(1)

例17（2003年IMO预选题）如图所示，已知直线上的三个定点依次为A、B、C，为过A和C且圆心不在AC上的圆.分别过A、C两点且与圆相切的直线交于点P，PB与圆交于点Q.证明：∠AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆的选取.例18（2007年全国联赛试题）如图8，在锐角△ABC中，AB

上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是

△ABC的垂心.例19（2004年丝绸之路）已知△ABC的内切圆⊙I与边AB和AC内切于点A

P和Q，BI和CI分别交PQ于K和L.证明：△ILK的外接圆与△ABC的内切圆相切的充要条件是AB＋AC＝3BC.例20（2003年亚太）假设ABCD是边长为a的正方形纸板，平面上有两条距离为a的平行线l1和l2，将正方形放在这个平面上，使得边AB和AD与l1的交点分别为E和F，边CB，CD与l2的交点分别为G和H，设△AEF和△CGH的周长分别为m1,m2.证明：无论怎样放置正方形纸板ABCD，m1m2都是定值.例21（2002年全国联赛试题）如图7，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求

MHNH

OH

Q

C的值.

第二篇：平面几何证明选讲结业考试

《平面几何证明选讲》结业考试

命题：朱明英 审核：杨秀宇

一 填空题（10×4=40）如图1，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．如图2，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则

B

A

BO

图（天津卷理14）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PB1PC1BC=,=PA2PD3,则AD的值为如图4，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径．

C B

图3 图4

1二 选择题（10×2=20）如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程x212x240的两根，则此圆的直径为()

A．82B．6C．42D．

2⌒6 如图，⊙O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四⌒⌒

个结论：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是()

A．1B．2C．3D．

4三 解答题（10×4=40）

7如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=30°，问AB与AP是否相等?请说明理由；

(2)求证：PD·PO=PC·PB；

(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．

8（全国Ⅰ新课标卷理）如图：已知圆上的弧AC等于弧BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD。

（Ⅱ）BC2BECD

9（辽宁卷理22）如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：ABE

ADC

S1ADAE

（II）若ABC的面积2，求BAC的大小。（2011全国新课标）（本小题满分10分）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

填空题、选择题答题卡

一 填空题（10×4=40）2 3 4

二 选择题（10×2=20）

第三篇：高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲及数学思想方法

高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲及数学思想方法

高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思想具体表现为：运用函数的有关性质，解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系，通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题，经过适当的数学变换或构造，使这一非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题，可通过构造函数很好的处理.方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.尤其是对于一些从形式上看是非方程的问题，经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质来处理这一问题，进而使原数学问题得到解决.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几方面：

高考二轮数学考点突破复习：平面几何选讲

第四篇：2014年高考理科数学试题分类平面几何选讲 word版含答案

2014年高考数学试题汇编平面几何选讲

一．选择题(2014天津)如图，DABC是圆的内接三角形，ÐBAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分ÐCBF；②FB=FD FA；③AE?CE

④AF?BD2BE DE；CAB BF.则所有正确结论的序号是（）

（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④

【答案】D

【解析】

由弦切角定理得?FBDB?EAC BAE，又?BFD AFB，所以DBFD∽DAFB，所以

又?FBD

二．填空题 BFBD=，即AF?BDAFABAB BF，排除A、C.?EAC DBC，排除B.1.(2014重庆)过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PB，PC分别交圆于B，C，若PA6，AC=8，BC=9，则AB=________.【答案】

4【解析】

PAPBAB6PBABΔPAB与ΔPCA==∴==,PB=3,AB=4∴所以AB=4.PCPACAPB+968

2(2014湖北)（选修4-1：几何证明选讲）

如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点，若QC1,CD3,则PB

_____.3(2014湖南)，已知AB，BC是O的两条弦，AO

BC，AB

BC则

O的半径等于

________.【答案】

324(2014陕西)（几何证明选做题）如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F，若AC2AE,则EF

B

ΔAEF与ΔACB相似∴

AEEF

=，且BC=6,AC=2AE,∴EF=3.ACCB

5.(2014广东)（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则

CDF的面积

＝＿＿＿

AEF的面积

答案:9提示:显然CDF

AEF,

CDF的面积CD2EBAE2

()()9.AEF的面积AEAE

三．解答题

1.(2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.(Ⅰ)证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.【解析】：.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E , 所以D=



……………5分

知MN⊥

N

（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=

所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=以△ADE为等边三角形．……………10分

2.(2014新课标II)（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2PB

2【答案】(1)无（1）

（2）无

由(Ⅰ)（1）知D=E，所

PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD，ΔPAD为等腰三角形。

连接AB,则∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α.∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE∴β+α=β+∠DBE,即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.（2）

AD•DE=BD•DC,PA2=PB•PC,PD=DC=PA,∴BD•DC=(PA-PB)PA=PB•PC-PB•PA=PB（•PC-PA）PB•PA=PB•2PB=PB2

3.（2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：

AB=ED.【答案】【解析】（1）

延长PD到D′.PD=PG∴∠ADP=∠PGD=∠FGAPD为切线∴∠D′DB=∠FAG∠D′DB+∠BDA+∠ADP=π∴∠FAG+∠BDA+∠FGA=π

ππ

∴∠BDA+=π∴∠BDA=,所以AB为直径

(2)

BD=AC∴∠BAD=∠FAG=∠AEC在三角形ACE中，AF⊥EG∴∠EAG=所以,ED=AB

ππ

⇒∠EAD=∴ED为直径 22

第五篇：不等式选讲高考题

不等式选讲高考题

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

12.2009辽宁选作24）设函数f(x)|x1||xa|.f(x)3；（I）若a1,解不等式（II）如果xR,f(x)2,求a的取值范围。