专题六：曲线运动
参考答案
题型1：运动的合成与分解
1．运动特点
曲线运动的速度：曲线运动中速度的方向是在曲线上某点的切线方向，是时刻改变的，具有加速度，因此曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．
2．物体做曲线运动的条件
(1)从动力学角度看，如果物体所受合外力方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动．
(2)从运动学角度看，就是加速度方向与速度方向不在同一条直线上．经常研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运动．
3．运动的合成与分解
已知分运动求合运动称为运动的合成；已知合运动求分运动称为运动的分解．两者互为逆运算．在对物体的实际运动进行分析时，可以根据实际效果分解，也可以采用正交分解．
4．遵循的法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，故遵循平行四边形定则．
1．物体做曲线运动的受力特点
物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且指向轨迹的凹侧．
2．不同运动类型的分类分析
轨迹
分 类
条 件
直线运动
匀速直线运动
F合＝0
匀变速直线运动
F合为恒力不等于零且与速度同线
非匀变速直线运动
F合为变力且与速度同线
曲线运动
匀变速曲线运动
F合≠0为恒力与速度不同线
非匀变速曲线运动
F合≠0为变力与速度不同线
3.合运动与分运动的关系
（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即合运动与分运动同时开始，同时结束.（2）独立性：物体在任何一个方向的运动，都按其本身规律进行，不会因为其他方向的运动是否存在而受影响.（如河水流速变化不影响渡河时间）
（3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.1.一小船在河中xOy平面内运动的轨迹如图所示，下列判断正确的是()
①．若小船在x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
②．若小船在x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
③．若小船在y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
④．若小船在y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
A．①③正确
B．②④正确
C．①④正确
D．②③正确
解析：小船运动轨迹上各点的切线方向为小船的合速度方向，若小船在x方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在y方向的速度先减小再增加．故①错误，②正确；若小船在y方向始终匀速，由合速度方向的变化可知，小船在x方向的速度先增加后减小，故③错误，③正确，选B．
答案：B
2.一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100
m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度vx图象和流水的速度vy图象如图甲、乙所示，则()
A．快艇的运动轨迹为直线
B．快艇的运动轨迹为曲线
C．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20
s
D．快艇最快到达浮标处经过的位移为100
m
解析：艇沿河岸方向的匀速运动与垂直于河岸的匀加速运动的合运动是类平抛
性质的曲线运动．最快到达浮标处的方式是使垂直于河岸的速度vx保持图甲所
示的加速度a＝0.5
m/s2的匀加速运动，则
at2＝x，代入x＝100
m有t＝20
s．但实际位移为S＝＞100
m，D项错．
答案：BC
1．此类题应用矢量合成与分解的方法，因为速度是矢量，在合成和分解时，采
用矢量合成与分解的平行四边形定则．将艇的运动分解为沿河岸的匀速运动
和垂直于河岸的匀加速运动．
2．研究曲线运动的思维过程
(欲知)曲线运动规律
(只需研究)两分运动规律
(得知)线运动规律．
3.如图所示,一块橡皮用细线悬挂于O点,用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动,运动中始终保持悬线竖直,则橡皮运动的速度（）
A.大小和方向均不变
B.大小不变,方向改变
C.大小改变,方向不变
D.大小和方向均改变
【解析】
设细线的长度为L,则经过时间t,橡皮在竖直方向上移动的距离为这说明橡皮的运动为匀速运动;又橡皮在水平方向上随铅笔做匀速运动,因此橡皮的合速度的大小和方向都不变,选项A正确.【答案】
A
4.5.如图所示,在河岸上用细绳拉船,为了使船匀速靠岸,拉绳的速度必须是（）
A.加速拉
B.减速拉
C.匀速拉
D.先加速拉后减速拉
【解析】
设拉绳的速度为v,绳与水平方向的夹角为船的速度为将船的速度分解为沿绳方向和垂直绳方向的分速度,有cos船匀速靠岸过程不变增大,则v减小.【答案】
B
相互牵连的两物体的速度往往不相等，一般需根据速度分解确定两物体的速度关系．在分解速度时，要注意两点：①只有物体的实际运动才是合运动，如本题A向右运动，所以A向右的速度是合速度，也就是说供分解的合运动一定是物体的实际运动；②两物体沿绳或沿杆方向的速度(或分速度)相等.5.甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距为H，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图4－1－19所示，已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是()
A．甲、乙两船到达对岸的时间不同
B．v＝v0
C．两船可能在未到达对岸前相遇
D．甲船也在A点靠岸
解析：渡河时间均为，乙能垂直于河岸渡河，对乙船，由vcos
60°＝v0，可得v＝2v0，甲船在该时间内沿
水流方向的位移为(vcos
60°＋v0)＝H刚好到A点．综上所述，A、B、C错误，D正确．
答案：
D
6.小船从A码头出发,沿垂直于河岸的方向渡河,若小河宽为d,小船渡河速度恒定,河水中各点水流速大小与各点到较近河岸边的距离成正比是各点到近岸的距离/2,k为常量),要使小船能够到达距A正对岸为S的B码头.则下列说法中正确的是（）
A.小船渡河的速度
B.小船渡河的速度
C.小船渡河的时间为
D.小船渡河的时间为
【解析】
/2时,垂直河岸方向匀速运动水流方向可知水流方向匀加速运动,加速度a=/2时,水流方向匀减速运动,当船运动到河中间时,即d///2,选项A正确。
【答案】
A
7.如图所示,一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B,两球的质量均为m,两球半径忽略不计,杆AB的长度为l,现将杆AB竖直靠放在竖直墙上,轻轻振动小球B,使小球B在水平地面上由静止向右运动,求当A球沿墙下滑距离为时,A、B两球的速度v和.(不计一切摩擦)
【解析】
A、B两球的速度分解情况如图所示，由题意知30,由运动的合成与分解得
sincos
①(3分)
又A、B组成的系统机械能守恒，所以.②(3分)
由①②解得.(4分)
【答案】
题型2：平抛运动
1．定义：水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线．
3．平抛物体运动条件：(1)v0≠0，沿水平方向，(2)只受重力作用．
4．研究方法
运动的合成与分解．把平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动．
5．运动规律
以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴
正方向，建立如图所示的坐标系，则平抛运动规律如下表．
水平方向
vx＝v0 x＝v0t.竖直方向
vy＝gt
y＝
.合运动
合速度：vt＝
合位移：s＝
合速度与水平方向的夹角tan
α＝
合位移与水平方向的夹角tan
θ＝
1．平抛运动的主要特点有哪些？
(1)平抛运动是匀变速曲线运动，故相等的时间内速度的变化量相等．由
Δv＝gt，速度的变化必沿竖直方向，如图4－1－3所示．
(2)物体由一定高度做平抛运动，其运动时间由下落高度决定，与初速度无关，由公式y＝
gt2，可得t＝
；落地点距抛出点的水平距离x＝v0t，由水平速度和下落时间共同决定．
(3)水平方向和竖直方向的两个分运动同时存在，互不影响，具有独立性．
2．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度
方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan
α＝2tan
θ.证明：如图所示，由平抛运动规律得：，所以tan
α＝2tan
θ.推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图4－1－5所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)，则x＝v0t，y＝，v⊥＝gt，又tan
α＝，解得x′＝
.即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点．
(1)平抛运动是匀变速运动，但其合速度大小v＝
并不随时间均匀增加．
(2)速度矢量和位移矢量与水平方向的夹角关系为tan
α＝2tan
θ，不能误认为
α＝2θ.8.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角α，若把初速度变为2v0，则下列说法错误的是()
A．空中的运动时间变为原来的2倍
B．夹角α将变大
C．PQ间距一定大于原来间距的3倍
D．夹角α与初速度大小无关
解析：由tan
θ＝
得t＝，故A正确；
＝，所以若v0加倍，PQ间距将为原来的4倍，C正确；设小球落到斜面上时与水平方向
夹角为β，则tan
β＝
＝2tan
θ，可见β与v0无关，因此α＝β－θ也与初速
度无关，B错误，D正确．
答案：B
类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
9.如图所示，三个小球从同一高处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出，落在水平面上的位置分别是A、B、C，O′是O在水平面上的射影点，且O
′A∶AB∶BC＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确关系是()
A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5
B．三个小球下落的时间相同
C．三个小球落地的速度相同
D．三个小球落地的动能相同
解析：本题考查平抛运动的规律．根据t＝
可得，做平抛运动的物体在空中
运动的时间是由高度决定的，B项正确；根据平抛运动的速度公式
由于O
′A∶AB∶BC＝1∶3∶5，所以O
′A∶O
′B∶O
′C＝1∶4∶9，故v1∶v2∶v3＝1∶4∶9，A项错误；落地
时的速度v＝，由于三个小球高度相同，所以落地时它们的竖直分速度vy是
相等的，但是由于vx不相等，所以落地时的速度v不相等，C项错误；由于三小球
落地时的速度不相等，所以它们落地时动能也不相等，D项错误．
答案：B
10.一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是()
A．三把刀在击中板时动能相同
B．三次飞行时间之比为1∶∶
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
解析： 初速度为零的匀变速直线运动推论：(1)静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…；(2)前h、前2h、前3h…所用的时间之比为1∶∶∶….对末速度为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律(从后往前用)．三把刀在击中板时速度不等，动能不相同，选项A错误；飞刀击中M点所用的时间长一些，选项B错误；三次初速度竖直分量之比等于∶∶1，选项C错误．只有选项D正确．
答案： D
11.如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是()
①．va＝vb
②．va＝vb
③．ta＝tb
④．ta＝tb
A．①③正确
B．②④正确
C．①④正确
D．②③正确
解析：做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t＝，a物体下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，④正确；水平方向的距离由高度和初速度决定S＝v0，由题意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，②正确．
12．如图1所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点．若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的()
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
答案：A
13.如右图所示，在斜面上某处A以初速度v水平抛出一个石块，不计空气阻力，在确保石块能落到斜面上的前提下，则()
A．只增大v，会使石块在空中飞行的时间变短
B．只增大v，会使石块的落地点更接近A点
C．只将A点沿斜面上移，石块飞行时间变长
D．只将A点沿斜面上移，石块飞行时间不变
解析： 由平抛运动规律x＝vt，h＝gt2，tan
θ＝，可得t＝.显然石块飞行时间只与平抛初速度v、斜面倾角θ有关，与A点位置无关，选项C错误，D正确．只增大v会使石块在空中飞行的时间变长，选项A错误．石块的落地点距A点的距离L＝＝，显然，只增大v会使落地点更远离A点，选项B错误．
答案： D
14.在同一水平直线上的两位置分别沿水平方向抛出两小球A和B,其运动轨迹如图所示,不计空气阻力.要使两球在空中相遇,则必须（）
A.先抛出A球
B.先抛出B球
C.同时抛出两球
D.A球初速度小于B球初速度
【解析】
由题图知,两球在空中相遇时,下落高度相同,A球的水平位移较大,因而下落时间相同,A球初速度大于B球初速度,选项C正确.
【答案】
C
15.如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g.下列说法正确的是…（）
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大,则θ减小
【解析】
小球在竖直方向上做自由落体运动,落地时速度的竖直分量,水平分量(初速度),可见,增大,减小,选项A错D对;设位移方向与水平方向的夹角为α,则,选项C错误;根据可知,平抛运动时间与高度有关,与初速度无关,选项C错误.
【答案】
D
16.如图所示,相对的左、右两个斜面的倾角分别为53°和37°,在斜面顶端把两个小球以同样大小的初速度分别向左右两边水平抛出,小球均落在斜面上,若不计空气阻力,则两小球在空中的飞行时间之比为（）
A.1∶1
B.4∶3
C.16∶9
D.9∶16
【解析】
设斜面倾角为θ,小球落在斜面上时水平位移和竖直位移之间有，得,代入题中数据得.
【答案】
C
17.如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图.整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道CD以及水平的起跳平台BC组成,AB与BC圆滑连接.运动员从助滑雪道AB上由静止开始下滑,到达C点后水平飞出,以后落到F点.E是运动轨迹上的某一点,在该点运动员的速度方向与轨道CD平行.设运动员从C到E与从E到F的运动时间分别为和,则它们的大小关系为（）
A.一定大于
B.一定等于
C.一定小于
D.条件不足,无法确定
【解析】
因E点的速度方向与轨道CD平行,所以该点离CD距离最远,整个轨迹关于过E点垂直于CD的直线对称,有=.
【答案】
B
18.在广州亚运会上一位运动员进行射击比赛时,子弹水平射出后击中目标.当子弹在飞行过程中速度平行于射出点与目标的连线时,大小为v,不考虑空气阻力,已知射出点与目标的连线与水平面的夹角为θ,则在整个飞行过程中,子弹（）
A.初速度
B.飞行时间
C.飞行的水平距离
D.飞行的竖直距离
【解析】
如图所示,将速度v沿水平和竖直方向分解得,初速度,选项错误;
此时的竖直分速度,飞行时间,
飞行的水平距离,
飞行的竖直距离,选项B、D错C对.
【答案】
C
19.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8
m，g＝10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，则
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8
m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy＝v0tan
53°，v＝2gh，则vy＝4
m/s，v0＝3
m/s.(2)由vy＝gt1得t1＝0.4
s，x＝v0t1＝3×0.4
m＝1.2
m.(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin
53°，初速度v＝5
m/s.则
＝vt2＋at，解得t2＝2
s．(或t2＝－
s不合题意舍去)
所以t＝t1＋t2＝2.4
s.答案：(1)3
m/s(2)1.2
m(3)2.4
s
20．如图所示，在距地面80
m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1
s依次放下M、N、P三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为45
m和55
m，分别落在水平地面上的A、B、C处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下N物体时飞机的速度大小；
(3)N、P两物体落地点B、C间的距离．
解析：(1)飞机在水平方向上，由a经b到c做匀加速直线运动，由Δx＝a0T2得，a0＝＝＝10
m/s2.(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有
vb＝＝50
m/s.(3)设物体落地时间为t，由h＝gt2得：t＝
＝4
s
BC间的距离为：BC＝bc＋vct－vbt
又vc－vb＝a0T
得：BC＝bc＋a0Tt＝95
m.答案：(1)10
m/s2(2)50
m/s(3)95
m
21.如图所示,小球由静止开始沿光滑轨道滑下,接着水平抛出.小球抛出后落在斜面上.已知斜面的倾角为θ,斜面底端在抛出点正下方,斜面顶端与抛出点在同一水平面上,斜面长度为L,斜面上M、N两点将斜面长度等分为3段,小球可以看做质点,空气阻力不计.为使小球能落在M点以上,小球开始时释放的位置相对于抛出点的高度h应满足什么条件？
【解析】
小球沿轨道滑下,由动能定理得:
(3分)
小球离开桌面后做平抛运动:(1分)
(1分)
得:(1分)
为使小球落在M点以上,应满足:当时
2分)
故要使小球落在M点以上,则h满足的条件:
.(2分)
【答案】
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