专题01
质数那些事
阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．
2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数|，则必有|或|．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．
正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．
例题与求解
【例1】已知三个质数，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，的值．
【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为（）
A．质数
B．可为质数，也可为合数
C．合数
D．既不是质数，也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
【例4】⑴
将1，2，…，2
004这2
004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．
⑵
若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．
⑶
求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2
004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．
解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练
A级
1．若，，为整数，=1997，则=________．
2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．
3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．
(北京市竞赛试题)
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是
（）
A．4
B．8
C．12
D．0
6．在2
005，2
007，2
009这三个数中，质数有
（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有（）
A．1个
B．3
个
C．5个
D．6
个
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设，都是质数，并且＋=，<．求．
9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
(上海市竞赛试题)
10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1
994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．
(五城市联赛试题)
11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？
(湖北省荆州市竞赛试题)
B级
1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．
2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，使得=＋，=×，则的值为__________．
3．自然数，，都大于1，其乘积=2
000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．
(“五羊杯”竞赛试题)
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1
992个数是_______________．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
5．若，均为质数，且满足＋=2
089，则49－=_________．
A．0
B．2
007
C．2
008
D．2
010
(“五羊杯”竞赛试题)
6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是（）
A．，都是质数
B．，都是合数
C．，一个是质数，一个是合数
D．对不同的，以上皆可能出现
(江西省竞赛试题)
7．设，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．
(北京市竞赛试题)
8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
⑴
6个数中任意两个都互质；
⑵
6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．
(湖北省荆州市竞赛试题)
10.41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
(l)
能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
(2)
能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．
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