高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球教案

第一篇：高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球教案

高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球教案

内蒙巴盟奋斗中学 傅裕东

教学目标

1．掌握球的定义．

2．掌握球的性质，并能熟练应用；

3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：球的截面性质． 难点：球面距离的计算． 教学设计过程

一、复习提问

师：圆柱是怎样定义的．

生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．

师：是矩形的边为旋转轴吗？ 生：是

师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴．

师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴．

二、讲课题

师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别）

师：球面与球的区别是什么？

生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面．

师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．

生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆．

师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面． 球的性质：

师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质．

（显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索）

师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？

生：是圆面．

师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明）

（下面的证明仅供教师参考）

证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究．

（1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A在球面上，所以AO=R．

所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上．

点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上． 因此，平面α和球O的截面是一个圆面．

（2）如果点O α（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K，设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所

B在球O的球面上．

点B在平面α内，又在球O的球面上，那么点B就在它们的交线上． 因此平面α截球O的截面是一个圆面了．

师：球的截面在球中的地位类似于弦在圆中的地位，截面是圆面．（学生明确了球的截面是圆面之后，下面的问题便迎刃而解）

师：在圆中，圆心与弦的中点连线与弦有什么位置关系？ 生：垂直．

师：那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面有什么位置关系．（教师画出示意图）

生：垂直于截面圆．（教师板书球的性质（1））（并展示实物或模型演示给学生，不作证明）

师：球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，那么不难看出，球半径R，球心与截面圆的距离d，及截面圆半径r之间有什么关系？

师板书球的性质（2）］

师：在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系．

生：当d=0时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当d=R时弦长为0，这时直线与圆相切．

师：在球中，球心到截面的距离d与截面圆的大小有什么关系？

生：（可类比圆的弦变化思考）当d=0时，截面过球心，这时R=r，截面圆最大，如图4．

师：这个圆叫做大圆．

生：当d增大时截面圆越来越小．

师：当0＜d＜R时截面是小圆，如图5．当d=R时，截面圆缩为一个点，这时称截面与球相切，如图6．

师：在地球仪中，纬线和径线是怎样规定的．

生：平行于赤道的小圆线是纬线，过南北极的半大圆是经线．

师：（下面对经度和纬度结合图形要讲清楚，这两个概念也是很难理解的）如图7，纬度——P点的纬度，也是

或∠POA的度数，即：某地的纬度就是经过该点的球半径和赤道平面所成的角度．

如图8，经度——P点的经度，也是

或∠AOB的度数，即：某地点的径度就是经过这点的径线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数．

球面上两点间的距离．（用地球仪边演示边发问）

师：如果我们把地球看成一个球，我们会遇到这样的问题，由A到B的球面上应如何走行程最短？我们知道平面上两点间最短的距离是连接这两点的线段的长度，而地球的表面是曲面，球面上A，B两点间的最短路程显然不是线段AB的长度，那么它又是什么呢？（这时教师把事先做好的连接A，B两段铁丝作成的圆弧由地球仪表面（见图9）搬在电教片上，并画图10．）指出这相当于在平面上连接A，B的劣弧中，怎样的劣弧的长度最短？就图而言？哪一段弧较短？（要求学生答），这两段弧在本质上有什么区别？

生：所在圆半径不同．

师：可以看出，半径较大的劣弧反而短．这就启示我们，在球面由A到B的路程要尽量沿着所在圆半径较大的劣弧走．在连接A，B的劣弧中最大圆的半径存在吗？生：（学生相互议论，研究发现）最大圆半径存在． 师：它等于多少？

生：就是经过这两点的大圆半径R．

师：由以上讨论：最后我们知道，在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度，把这个弧长叫做两点间的球面距离．（板书）例1（把例题抄在投影片上）

我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度约为多少千米（地球半径约6370km）．

师：怎样能把这个问题平面化呢？ 生：做地球的截面大圆．

师：是截面大圆吗？任一个截面大圆能完成该题的要求吗？

生：（部分学生说能，另一部分说不能，经过讨论争执，最后统一了意见）是经过南北极的大圆截面．

师：（画图）请同学回答哪个角等于40°．

生：∠AOB=40°

师：请找出经过A点纬线圈的半径． 生：半径是AK．

师：过A点纬线圈的周长是多少？ 生：C=2π·AK．

师：用半径R和40°表示AK的长． 生：AK=Rcos40°

师：故求出了北纬40°纬线的长度约为

C＝2π·Rocs40°=3.066×104km 练习：

（1）课本p．87 1．（2）下列命题：

a．球的任意两个大圆的交点连线是球的直径．

b．球面上任意两点的球面距离，是过这两点的大圆弧长． c．球面上任意两点的球面距离，是连接这两点的线段长． d．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面． 正确的是 [ ] A．a，b C．a，d

B．b，c D．d 作业：课本p．91．1．2． 课堂教学设计说明

本教案体现由浅入深、循序渐进的教学原则，充分体现了启发式、和类比思想的教学方法，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．

第二篇：高中立体几何教案

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两个平面平行的性质教案

教学目标

1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；

2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：两个平面平行的性质定理；

难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用． 教学过程

一、复习提问

教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：

（1）两个平面平行的意义是什么？

（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？

（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）

二、引出命题

（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？ 生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．

师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．（学生议论）

师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结

论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．

（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）

师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？

生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．

师：很好，把它写成命题形式．

（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）猜想一：

已知：平面α∥β，直线a 求证：a∥β．

生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．

[教师板书]

α，猜想二：

已知：平面α∥β，直线l⊥α．

求证：l⊥β．

师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？

生：a∥a′．

师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？

（学生讨论）

生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．” [教师板书] 猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交． 师：怎么作这样的猜想呢？

生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”

师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？

生：平行

师：请同学们表达出这个命题．

生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． [教师板书]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求证：a∥b．

[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫] 师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？

生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等． [教师板书] 猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求证：AA′=BB′．

[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]

三、证明猜想

师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．

[师生相互交流，共同完成猜想的论证] 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义． [猜想一证明] 证明：因为α∥β，所以α与β无公共点． 又 因为a α，所以 a与β无公共点． 故 a∥β．

师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”

[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”] [论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”] 师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？ [学生回答：反证法] 师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？

生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．

师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．

[猜想四的证明] 师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可． 生：（证法一）因为 a∥β，所以 a与β无公共点．

又因为 a α，b β．

所以 a与b无公共点． 又因为 a γ，b 所以 a∥b．

师：我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行． 生：（证法二）

因为 a α，又因为 α∥β，所以 a∥β．

又因为 a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．

师：用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二． [教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”] 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．

[猜想二的证明] 师：猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？

[引导学生回忆：“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明] γ，生：（证法一）设l∩α=A，l∩β=B．

过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因为 α∥β，所以 a∥a′．

再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．

又因为l⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．

师：要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直． 生：（证法二）

在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，因为 α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因为b为β内任意一条直线，所以 l⊥β．

[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”] [猜想五的证明] 证明：因为 AA′∥BB′，所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因为 α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B为平行四边形． 故 AA′=BB′．

[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”] 师：性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下思考．

[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]

四、定理应用

师：以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．

例 已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点． 求证：EF∥α，EF∥β．

师：要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行． 证法一：

连接AF并延长交β于G． 因为 AG∩CD=F，所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． 因为 α∥β，所以 AC∥DG，所以 ∠ACF=∠GDF，又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以 △ACF≌△DFG． 所以 AF=FG． 又 AE=BE，所以 EF∥BG，BG 故 EF∥β． 同理：EF∥α．

师：要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．

证法二：因为AB与CD为异面直线，所以A CD． β．

在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF． 因为 α∥β，所以 AC∥DG∥EF．

因为 DG β，所以 HF∥β． 又因为 E为AB的中点，因此 EH∥BG，所以 EH∥β． 又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以 EF∥β． 同理，EF∥α．

平面EFH，师：从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．

五、平行平面间的距离

师：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系是什么？

生：两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．

师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？根据是什么？ 生：相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”

师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．

六、小结

1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．

教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．

2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．

3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：

七、布置作业

课本：p．38，习题五5，6，7，8． 课堂教学设计说明

1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的． 在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．

在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．

2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．

3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．

第三篇：教案 立体几何

【教学过程】 *揭示课题 9 立体几何 *复习导入

一、点线面的位置关系 点与直线的位置关系：Aa　Aa 2.点与面的位置关系： A　A 3.直线与直线的位置关系：平行 相交 异面 4直线与平面的位置关系： 在平面内 相交平行

二、线面平行的判定定理

1.线线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行

2.线面平行：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行

3.面面平行：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行

三、线面平行的性质定理

1.线线平行：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

2.线面平行：如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个面相交，那么这条直线和交线平行

3.面面平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

四、线面垂直的判定定理

1.线面垂直：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

2.面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

五、线面垂直性质定理

1.线面垂直：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.面面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

六、柱、锥、球 1.棱柱、圆柱

S侧=底面周长高V体=底面面积高2.棱锥、圆锥

1底面周长母线2 1V体=底面积高3S侧3.球

S表=4r243 V体=r3*练习讲解 复习题A组 *归纳小结

本章立体几何部分概念偏多，需要着重分辨判定定理与性质定理的适用范围，将点线面位置关系化为最简单的线线判断，由此可提高位置判定的速度，能够更加地熟练运用各大定理。

第四篇：立体几何最全教案doc

直线、平面垂直的判定及其性质

一、目标认知 学习目标

1．了解空间直线和平面的位置关系；

2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．

3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象

能力．

4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑

推理能力．

重点：

直线与平面平行的判定、性质定理的应用；

难点：

线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．

二、知识要点梳理

知识点

一、直线和平面垂直的定义与判定

1.直线和平面垂直定义

如果直线和平面的垂线；平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面

互相垂直，记作

.直线叫平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：

(1)定义中“平面

注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.内的任意一条直线”就是指“平面

内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，2.直线和平面垂直的判定定理

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：

特征：线线垂直

要点诠释： 线面垂直

(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线

垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.知识点

二、斜线、射影、直线与平面所成的角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.(2)直线与平面垂直射影是点.(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是

0°的角.知识点三、二面角

1.二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角

.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点角或.，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面

2.二面角的平面角

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角叫做直二面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的

知识点

四、平面与平面垂直的定义与判定

1.平面与平面垂直定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作

.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直

要点诠释： 面面垂直

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.知识点

五、直线与平面垂直的性质

1.基本性质

一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：

图形语言：

2.性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：

图形语言：

知识点

六、平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：

图形语言：

三、规律方法指导

垂直关系的知识记忆口诀：

线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件，面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝，先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见，借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线，两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面，要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间.经典例题透析

类型

一、直线和平面垂直的定义

1．下列命题中正确的个数是()内的无数条直线垂直，则内的一条直线垂直，则，则，则

； ；

①如果直线与平面

②如果直线与平面

③如果直线不垂直于

④如果直线不垂直于

内没有与垂直的直线； 内也可以有无数条直线与垂直.A.0

B.1C.2D.3

答案：B

解析：当当与当与内的无数条直线平行时，与

不一定垂直，故①不对； 垂直，故②不对；

内的一条直线垂直时，不能保证与不垂直时，可能与

内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.故选B.总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语.举一反三：

【变式1】下列说法中错误的是()

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；

②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；

③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；

④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线.A.①②

B.②③④

C.①②④

D.①②③

答案：D

解析：如图所示，直线

∴ ①错；

由于

，，但，但，∴ ②错；，∴ ③错.，面ABCD，显然，由直线与平面垂直的定义知④正确，故选D.总结升华：本题可以借助长方体来验证结论的正误.类型

二、直线和平面垂直的判定

2．如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.总结升华：挖掘题目中的隐含条件，利用线面垂直的判定定理即可得证.举一反三：

【变式1】如图所示，三棱锥的四个面中，最多有________个直角三角形.答案：4

解析：如图所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，则图中四个三角形都是直角三角形.故填4.总结升华：注意正确画出图形.【变式2】如图所示，直三棱柱的两条对角线交点为D，求证：CD⊥平面BDM.的中点为M.中，∠ACB=90°，AC=1，侧棱，侧面

证明：如右图，连接

∵

又知D为其底边

∵

又，∴、，∴、，则

为等腰三角形....的中点，∴，∴.∵ 为直角三角形，D为的中点，∴，.又

∵、，∴

.即CD⊥DM..为平面BDM内两条相交直线，∴ CD⊥平面BDM.类型

三、直线和平面所成的角

BC=3．如图所示，已知∠BOC在平面，求OA和平面所成的角.内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，解析：∵

正三角形，∴

∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴ △AOB、△AOC为.，∴，∴ △ABC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵ AO=AB=AC，∴ OH=BH=CH，H为△BOC的外心.∴ H在BC上，且H为BC的中点.∵ Rt△AOH中，∴

所成角为45°.，∴ ∠AOH=45°.即AO和平面

总结升华：

(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面

所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.(2)求斜线与平面所成的角的程序：

①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；

③把该角放入三角形计算.(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直

线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况.举一反三：

【变式1】如图所示，在正三棱柱

中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则

与侧面所成的角是________.答案：

解析：如右图.由题取AC中点O，连接BO.则BO⊥平面

.故为与平面所成角.又在中，.∴，∴.类型四、二面角

4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵ AB=AC，∴ AE⊥BC.又∵ △ABD≌△ACD，AB=AC，∴ DB=DC，∴ DE⊥BC.∴ ∠AED为二面角的平面角.又∵ △ABC≌△BDC，∴ AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=

同理.，BE=1，∴，在△AED中，∵，∴，∴ ∠AED=90°.∴ 以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°.总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定.举一反三：

【变式1】已知D、E分别是正三棱柱E、C1的平面与棱柱的下底面的侧棱和上的点，且.求过D、所成的二面角的大小.解析：如图，在平面

则F是面与面内延长DE和的公共点，的平面角.，交于点F，为这两个平面的交线，∴ 所求二面角就是

∵

∴ E、∵

∴

又面

∴

∴

∴ 面.是二面角.，而，且分别DF和A1F的中点.，面面，.的平面角，由已知，∴.总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可.类型

五、平面与平面垂直的判定

5．在四面体ABCD中，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：∵ △ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴ 取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴ ∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，∴.同理.在△AEC中，由于，，∴ AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是

(1)找出两个相交平面的平面角；

(2)证明这个平面角是直角；

(3)根据定义，这两个平面互相垂直.举一反三：

【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵ AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴ BG⊥AC，DG⊥AC，∴ AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴ EF⊥平面BGD.∵ EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.总结升华：证面面垂直的方法：

(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；

(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB；

证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵ 二面角B-AO-C是直二面角.∴ CO⊥BO.又∵ AO∩BO=O，∴ CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E

直角△BPC中，由AB=AC，AE⊥BC，，直角△ABE中，，在△PEA中，∴，，平面ABC⊥平面BPC.类型

六、综合应用

6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

证明：(1)取EC的中点F，连接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN

∵ BDCF，∴ MN

CF．

BD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．

(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．

总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．

7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．

证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN

平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．

学习成果测评 基础达标

1.平面

A.2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是().外的一条直线与

B.内的两条平行直线垂直，那么().相交

D.与的位置关系不确定

C.与

A.B.C.D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面

A.4.若P是平面

B.，则有().D.或

C.外一点，则下列命题正确的是().相交 垂直平行平行

A.过P只能作一条直线与平面

B.过P可作无数条直线与平面

C.过P只能作一条直线与平面

D.过P可作无数条直线与平面

5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么().A.a与b可能垂直，但不能平行

B.a与b可能垂直，也可能平行

C.a与b不可能垂直，但可能平行

D.a与b不可能平行，也不能垂直

6.设

、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，则；②若，则

届那么().，有如下两个命题：①若

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题

D.①②都是假命题

7.关于直线m、n与平面

①若

③若且且与，有下列四个命题：

且且，则

；，则m∥n；②若，则

；④若，则m∥n.其中真命题的序号是().A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

8.已知直线m⊥平面

①若，则，直线；②若，给出下列四个命题，其中正确的命题是().，则m∥n；③若m∥n，则

；④若，则

.A.③④

B.①③

C.②④

D.①②

9.下面四个命题：

①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；

②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；

③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则

；

④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题

的个数是().A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

10.设有不同的直线a、b和不同的平面

①若，则；②若、，、，给出下列三个命题：，则

；③若，则

.其中正确的个数是()

A.0

B.1C.2

D.3

11.已知直线⊥平面

③；④，直线

平面

.，有四个命题：①

；②

；

其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)

12.长方体 中，MN在平面内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是_______.13.如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC.求证：BD⊥面SAC.能力提升

1.下面四个命题：

①若直线a∥平面

②若直线a⊥平面

③若平面

④若平面∥平面⊥平面，则，则，则，则内任何直线都与a平行； 内任何直线都与a垂直； 内任何直线都与内任何直线都与

平行； 垂直.其中正确的两个命题是()

A.①与②

B.②与③

C.③与④

D.②与④

2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角().A.相等

B.互补

C.关系无法确定

D.相等或互补

3.、是两个不同的平面，m、n是平面⊥；③n⊥；④m⊥

.、外的两条不同直线，给出四个结论：

①m⊥n；②

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.4.已知直线PA与平面

5.已知ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F，如图所示.(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.内过点A的三条直线AB、AC、AD成等角，求证：PA⊥平面

.综合探究

1.已知：如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD.参考答案 基础达标

1.D 内两条直线若相交则

；若平行则不能确定与的位置关系.2.D a与b位置关系不能确定.3.D

4.D 过P能作无数条直线与

5.C 若，如图，在平行，这些直线均在过P与，则

.平行的平面内.内可作

∴，则，与已知矛盾.∴ a与b不可能垂直；当a、b均与平行时，a∥b，故选C.6.D

7.D

8.B

9.B 面面垂直的性质定理对于④显然成立；在①中应考虑两两相交的几种情况，对于三条直线交于一点

时，且不在同一平面时，显然不成立；在②中，平面外一点只能引一条直线与平面垂直，但过这条

直线的平面有无数个，不是真命题；对于③，若的三点到

10.B平行于同一平面的两直线可能平行，也可能相交或异面，故①错.平行于同一直线的两平面可能平

行，也可能相交，故②也错.11.①③ ①∵

②设

③∵，，∴，∴，且m∥d时，.又

.∴ ①正确..故命题②错.，∴

.故③正确.的距离相等，故不是真命题.与

相交，在两侧且在内一定存在不共线

④由②知④不正确.12.MN⊥AB 如下图，由长方体的性质知，平面

内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.AB

平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面

平面ABCD，∴ MN⊥AB.13.证明：(1)∵ SA=SC，D为AC的中点，∴ SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，则AD=DC=BD.∴ △ADS≌△BDS.∴ SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴ SD⊥面ABC.(2)∵ AB=BC，D为AC中点，∴ BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴ SD⊥BD.∵ SD∩AC=D，∴ BD⊥平面SAC.能力提升

1.B ①是错误的，a与

④是错误的.2.C 可类比“空间中一个角的两条边分别垂直于另一个角的两条边”可知，这两个角关系不确定.3.①③④ ②或②③④①，成立，如图.过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，、的交线交于点C.内的一簇平行线平行.②③由线面垂直，面面平行的性质可判断出是正确的.假设①③④为条件，即

PB⊥.设垂足为点B，又设，垂足为点A，过PA、PB的平面与

∵ ⊥PA，⊥PB，∴ ⊥平面PAB.∴ ⊥AC.⊥BC.∴ ∠ACB是二面角

由m⊥n，显然PA⊥PB.∴ ∠ACB=90°.∴

由①③④.②成立.的平面角.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.4.证明：如图，在AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE=AF=AG，连接PE、PF、PG、EF、FG，设EF、FG的中点分别为H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.∴ PE=PF.∵ H是EF中点，∴ PH⊥EF，AH⊥EF.∴ EF⊥平面PAH.∴ EF⊥PA.同理可证FG⊥PA.又EF∩FG=F，∴ PA⊥平面EFG，即PA⊥平面.5.证明：(1)∵ SA⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，∴ SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴ BC⊥平面SAB，AE

平面SAB.∴ BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB=B.∴ 有AE⊥平面SBC，又SC平面SDC，∴ AE⊥SC.又EF⊥SC，AE∩EF=E，∴ SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴ AF⊥SC.(2)∵ SC⊥平面AEF，AG

平面AEF，∴ SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A.∴ CD⊥平面SAD，AG

平面SAD.∴ CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴ AG⊥平面SDC.又SD平面SDC，∴ AG⊥SD.综合探究

1.证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∴平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴ DF⊥平面PAC.PC平面PAC，∴ DF⊥AP.作DG⊥AB于点G.同理可证DG⊥AP.又DG、DF都在平面ABC内.∴ PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵ E是△PBC的垂心，∴ PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线.∴ PC⊥BH.∴ PC⊥平面ABE.∴ PC⊥AB.又∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥AB.∴ AB⊥平面PAC.∴ AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.2.证明：(1)连接AC，AC交BD于点D.连接EO，如图.∵ 底面ABCD是正方形.∴ 点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴ PA∥EO.而EO平面EDB且PA

平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵ PD⊥底面ABCD且DC

∴ PD⊥DC.∵ PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴ DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴ BC⊥平面PDC。而DE

∴ BC⊥ED。

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，∴ DE⊥PB.平面PDC，底面ABCD.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴ PB⊥平面EFD.

第五篇：高中立体几何教案第一章直线和平面第一章复习(四)教案

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 第一章复习

（四）教案

北京师大二附中 金宝铮

教学目标

结合第一章的内容，渗透数学思想方法．（数形结合思想；方程的思想；转化的思想；分类讨论的思想）

教学重点和难点 数学思想的渗透与培养． 教学设计过程

师：今天是复习课的最后一节．今天以复习题目中体现的数学思想为主线，研究几种常用数学思想在本章的体现．

分类讨论的思想是同学们比较熟悉的．使用较多的是在代数课上y=ax2+bx+c的图象，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．

几何中，分类讨论思想的应用，主要是依据图形中元素位置关系的不同而展开的．

请看以下一组题目：

例1 已知：a∥b，直线a平面α，直线b平面α，直线c

平面α，c∥a．若直线a与直线b的距离为6cm，直线b与直线c的距离5cm，直线c与平面α的距离为4cm．

求：直线a与直线c的距离．（教师画图）

生A：在直线c上任取一点A，作AB⊥α于B，过B作BC⊥a于C，反向延长交b于D，因为a∥b，所以BC⊥b．分别连结AC、AD，根据三垂线定理，a⊥AC，b⊥AD．

据题意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．

师：哪位同学对“生A”的解答有补充？

师：生A的解答基础是依据我画的图．而原题中并没有给图，也没有“如图”这样的说明，因此我们先要研究图应该怎么画！

生B：老师，我对“生A”的发言有补充． 这个题目的图形还有以下两种可能：

师：好．这道题目体现了分类讨论的思想．它是根据直线c在平面α内射影的不同位置来

进行讨论的．

生C：老师，我认为还有两种情况：

情形1：直线c在平面α内射影与直线a重合． 情形2：直线c在平面α内射影与直线b重合．

师：“生C”同学的补充很好．例1应该分为5种情况来讨论．但是其中会有一些情况无解，请同学们现在实践一下．

图一的位置．其余三种位置关系均无解．

师：还有一点提醒同学们注意：对于不同的位置关系，解题时都要给予论述，对于无解的情形要讲清无解的原因。有些同学认为无解就不用写了，这种认识是错误的．再看例2．

例2平面α外两点A，B，它们到平面α的距离分别为a，b，求：点P到平面α的距离．

生A：我认为有两种情况：一种是点A、点B在平面α同侧；另一种是点A、点B在平面α异侧．

生B：我有不同看法，已知条件中没有给出a，b的大小关系，“生A”解决图5情形时，默认为b＞a是不对的，应该再分两种情形：

师：“生B”的补充很好，例2不仅在图形的位置关系上分类讨论，还要根据数据a，b的大小关系来分类讨论．如果简化题目，已知条件上补一个条件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？ 生C：当A，B两点在两侧时，在图6中，点P不一定在A1B1上方．当b＞2a时，点P位于A1B1上方；当b=2a时，点P在A1B1上；

师：经过“生C”的补充，题目解答就全面了．

下面谈一下方程的思想．在初中阶段，同学们重点研究了列方程解应用题，这就是最基本的方程的思想．通过设未知数，寻求已知量与未知量之间的关系，从而获得问题的解决．下面请看例3．

例3 如图7，二面角α-l-β，点B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．

求：二面角α-l-β的大小．

师：首先我们可以根据二面角的平面角的定义构造二面角的平面角．具体作法是：在l上选点D，经过点D分别在α，β平面内作l的垂线交BA，BC于E，F．

设AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．

∠EDF=90°．

本例特点在于题目中没有给出任何线段的长度，而是通过设未知量，进而知道已知与未知的关系．

例4 二面角α-EF-β为120°，点A∈α，点B∈β，∠ACB为二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一点D．

问：D点在何处时，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？

为了确定点D的位置，可设与D点有关的某一条线段长为x，依据题设建立等量关系．再求出x的值，同学们实践一下．

生A：在EF上取点D，设AD=x． 因为 AC=BC=a，∠ACB=120°，因为 ∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以 ∠ADC=180°-θ．

△ABD中由余弦定理可得： AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我认为解答不全面，刚才“生A”的解答中，运用了图8中各点之间位置关系．

应该给予讨论，当点D位于CF之间时，∠ADC=180°而不是等于180°-θ． 师：“生B”的问题提的好，在“生A”的解答中，距点C的距离

例5 如图9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由

求：△ABC的周长．

师：这道题目的难度在于如何建立一座沟通已知与未知的桥梁． 生：观察图形，我发现图中有三对全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．设∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．

师：上面列举了3个题目，从不同的侧面，以不同的形式反映出方程的思想在立体几何解题中的作用．

下面再谈一下转化的思想，转化的内涵十分丰富．有条件的转化；结论的转化；图形的转化；解题策略的转化„„

事实上，许多题目的解答过程都不同程度在使用转化的思想． 例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1． 求：异面直线A1C1与B1C的距离．

生A：可以证明：B1C∥A1D1，进而可证B1C∥面A1DC1，问题转化为求直线B1C与平面A1C1D的距离„„

生B：还可以证明AC∥A1C1，不难证明：平面A1C1D∥平面ACD1．问题转化为求平面A1C1D与平面ACB1的距离„„

生C：在A1C1上取一点P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，连结PQ．可以证明PQ⊥B1C．

师：“生C”的思想是：依据异面直线的概念，特别是公垂线段的长是两条异面直线上各取一点后所连线段的最小值．

布置作业：（略）课堂教学设计说明

本节是复习题的第四节．首先介绍一下上节课的设计思路． 在第三节复习课上，重点研究了证明问题．

对于证明题的思路分析，总体构想认为它应该是初中平面几何论证的延续，像由因导果，执果索因等一些经典论述让学生刻骨铭心．

通过证明问题的复习，使学生对线面各种位置关系及性质、判定定理运用自如．

反证法是高中首次出现，学生不易掌握，是一个难点．教师要结合题目引导学生去思考，什么样的题目用反证法．

同一法不属教材，一般不要引入课堂．对确有余力的班级，教师也可适当渗透．

本节复习课是最后一节复习课，力图通过复习，使学生能够站在数学方法这个高度来解题．从认识水平上也上一个新的台阶．教师必须认识到：数学思想与数学方法决不是通过一节课就能完全教会学生．它是需要有长期的教学积累而成，确实有水到渠成的感觉．

目前高中数学提出的四个数学思想：分类讨论、函数方程、数形结合、转化．本节重点研究了其中三个．

分类讨论是容易接受也是容易忽略的．许多同学往往是出了考场就想起来应该分类讨论．

出现这种情况体现两点：一是学生能力尚不强，检东忘西、丢三落四；另一方面是分类讨论的意识还不够强，这种意识的培养需要一个过程．教师在平时教学中要注意渗透．对于一些问题，教师事先不去提醒他们注意，当他们走入误区，教师再予以指导，效果会好一些．

方程的思想贯穿于整个中学教材．立体几何也不例外，如何通过设置未知量，也有时是“参数”，用其来沟通已知与未知．本节课通过不同的例子来展示． 转化更是无处不在．几乎每一道题的解答都渗透有转化的思想．这里只选了一例，转化求证方向，用以解决问题．

复习课有其独特之处，例题选配最好结合所教班级实际情况，在此，仅以两个教案的粗浅之见，望能起到抛砖引玉之功效．