动态几何教案(完)

第一篇：动态几何教案(完)

龙文教育浦东分校张杨路校区学生个性化教案 教育是一项良心工程

课题：动态几何

学生：

教师：吴大旺

时间：

学生评价

◇特别满意

◇满意

◇一般

◇不满意

【回顾与思考】

动点问题

类别动线问题动形问题

【例题经典】

会“静”中求动

例

1（2004年吉林省）如图，已知抛物线y=x2-ax+a+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C．运点P以每秒2•个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ，CB设点P的运动时间为t秒．

（1）求a的值；

（2）当t为何值时，PQ平行于y轴；

（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

【分析】由PQ∥y轴和DC∥x轴这一静态，得OQ=PD，求t的值．

会由“特殊”推出“一般”

例

2（2005年南京市）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，•形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，•在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC•的左侧，OC=8cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE•围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

【会用“类比的思想”探究图形的变化】

例

3（2006年临沂市）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别为BD、•BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C•作匀速移动，移动的速度都为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0

2（1）写出△PBQ的面积S（cm）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S•有最大值？最大值是多少？

（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

（3）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

龙文教育浦东分校张杨路校区学生个性化教案 教育是一项良心工程

【考点精练】 1．（2005年西宁市）如图1，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP重合，若BP=4，则点P所走过的路径长为_________．

(1)

(2)

(3)2．（2005年福州市）如图2，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A．111B．

C．

D． 543103．（2005年北京市）如图3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，点P从起点O出发，•沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（）



4．（2006年临沂市）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正方形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为_______度．

5．如图直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O•运动，动点Q从A点出发向点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．

（1）点Q坐标为______（用含x的式子表示）

（2）当x为何值时，△APQ为一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）设PQ的中点为G，请你探求点G随点P、Q运动所形成的图形并说明理由．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

龙文教育浦东分校张杨路校区学生个性化教案 教育是一项良心工程

6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动，•如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，求：

（1）几秒钟以后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

（2）在第（1）问的前提下，P、Q两点之间的距离是多少？

7．（2006年济南市）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O•′交于E、F两点．

（1）如图甲，连结⊙O′交于⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O•的切线交⊙O′于A、B两点，求OA．OB的值；

（2）若点C为⊙O上一动点，．．

①当点C运动到⊙O′内时，如图乙，过点C作⊙O′的切线交⊙O于A、B两点，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图丙，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

8．（2005年黄冈市）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，•分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．

（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

龙文教育浦东分校张杨路校区学生个性化教案 教育是一项良心工程

（3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，•并写出此时t的取值范围．

（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t•的值；如不可能，请说明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如图（1），AB是⊙O直径，直线L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足为D．

（1）求证：AC1·AC2=AB·AD；

（2）若将直线L向上平移（如图（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A，B重合），其他条件不变，请你猜想，AC1，AC2，AB，AD之间的关系，并说明理由．

（3）若将直线L平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图（3）上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC，AB，AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

第二篇：动态几何学习心得

动态几何学习心得

几何画板不是一个一般的绘图软件，不仅制作出的图形是动态的，而且注重数学表达的准确性。因此，应该从数学的角度看待这个软件，在理解中学习它，这样就比较容易理解有关操作的规定，掌握操作方法，合理地进行操作，尽快掌握它的功能。反过来，当需要构造某个图形，进行某种操作时，就会自觉地满足软件对该项操作需要的前提条件。

首先用几何画板创设情景，静态变动态，其次几何画板“数形结合”，抽象变形象，微观变宏观，能够揭示知识之间的内在联系，培养思维能力、开发智力的工具。

通过这个课程的学习使我受益匪浅，对几何画板有了一个全面直观的认识。在以后的教育教学中，我要坚持不断学习，提高自己的课件制作水平。几何画板是一个在数学领域里进行创造、探索和分析等方面有着广泛应用的软件系统。利用几何画板，您可以构造交互式的数学模型，可用于从事形与数的基础研究，构造高级的、动态的复杂系统的插图。不仅学习了几何画板的应用知识，而且认识了很多同行，并从他们那里学到了不少知识。通过这学期的学习，感觉《几何画板》是个很不错的学习辅助软件，相比较FLASH等的软件，它的本身占用资源较少，操作简单，学习起来也较容易，而且在平时的教学中，用他去制作一些课件，不需要浪费太多的时间，但仅仅这花几天的学习要想将这个软件运用自如还是不可能的，老师只能领导你去认识它，真正的对它熟悉还要在平时的教学中多多运用，自己去钻研。同时，通过学习，还让我体会到了，在运用课件辅助教学时，不仅仅是去制作课件，在制作过程中，要对这节课完全理解，从原理上明白这节课的实质内容，再细化到如何去制作，才能让我简单明了的理解这节课，是在制作过程中的关键点。通过这次几何画板的学习，感觉受益匪浅！

第三篇：初中几何动态教学初探[原创]

初中几何动态教学初探

“九年义务教育全日制初级中学《数学教学大纲》（试用）”中提出，初中数学的教学目的之一：培养学生良好的个性品质和初步辨证唯物主义观点。良好的个性品质是指：正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯；而初中数学中的辨证唯物主义教育因素之一是：数学内容中，普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点。本文想就初中几何教学中如何通过几何动态教学对学生进行辨证唯物主义思想教育，谈谈我的粗浅认识。

我们经常会听到老师和学生有这样的反映，几何难教，几何难学。“难”的原因之一就是图形关系复杂，变化多样。老师在几何教学中演示的图形都是静态的，不能将图形的任意位置展示给学生，在给出一个或有限的几个图形之后，就将一些重要的几何规律简单地介绍给了学生。而学生在作题时，由于图形位置变化，或位置关系复杂，就变得茫然不知所措了，这时老师也开始变得急燥了，觉得概念已讲得很清楚了，怎么还不会，几何难教难学的矛盾就产生了。

如何解决这个矛盾呢？我想还是要从几何的精髓问题入手。“几何就是在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律”。比如 图1

1．不论三角形的位置、大小、形状和方向如何变化，三角形的3条高线都交于一点（如图1）； 图2

2．不论四边形如何变化，四边形的四边中点顺序连接成的图形永远是平行四边形（如图2）等等，不胜枚举。对于第一个问题，传统教学中都是利用尺子作图，各种情况只作一个图形，很有限，不能说明问题；对于第二个问题，在以往的教学中绝大多数老师都是以例题形式给让学生证明。我现在想办法让三角形或四边形任意动起来，让学生观察：三角形的3条高线交于一点；四边中点顺序连接成的图形永远是平行四边形。有了这样一个感性认识，再深入研究就成为自觉自愿的了。学生从运动的几何图形中找出的几何规律，印象会很深，而且几何图形有这样的动态效果，很容易吸引这些初中学生，让他们觉得几何课有意思，从而愿意上几何课。

我的这些想法是有理论根据的，因为运动的观点是现代数学思想的一个重要方面，在中学几何教学中应加强运动观点的建立。现代教育理论认为：数学知识不是老师教会的，而是学生必须经过头脑想象和理解椉唇ü箺才能真正学会的。老师传递给学生的只是知识信息，学生通过接收这些信息，联系他们头脑中旧有的知识结构，构造出他所能理解掌握的新知识，在几何教学中，对于那些相对于学生来说复杂而又抽象的图形，需要在老师的引导下，从不断运动变化的图形中，从不同的角度反复观察、探索、发现，找出规律，“从而建立起学生自己的‘经验体系’棗即猜想可能的结论，最后再在老师和书本的帮助下证明猜想的结论，从而建立起学生自己的‘逻辑思维体系’。即完成‘在变化的图形中发现恒定不变的几何规律’”。

对于一个几何图形来说，各种元素之间的位置关系实际上是处于变化的相互依存的状态，动是绝对的，静是相对的，这就产生了几何变换。在初中平面几何中，常见的几何变换有：全等变换、相似变换和等积变换等。在实际教学中，要想办法创造有变有不变的状态，让有利于解题的条件保持不变，而将不利于解题的条件变为有利的，这就是利用运动变化中不变的规律解题的主要思想。

如何实现让几何图形动起来，让学生在“动中找静”，以往的几何教学很难做到，因为在传统的几何教学中，用常规作图工具（纸、笔、尺）手工绘制的图形都是静态的，虽然它能教给学生规范作图，但这样很容易掩盖极其重要的几何规律。有的老师可以制作很精制的投影抽拉片，使部分图形动起来，却很难体现图形的任意性，以及图形各部分之间的密切联系。针对这个问题，我们可利用计算机辅助数学教学，利用一个软件工具棗“几何画板”制作我们需要的几何图形，并使之任意运动和动画，在图形不停地变化过程中，让学生观察，发现不变的几何规律，让学生认识到几何规律是实实在在的科学，不是凭空任意造出来的，要用科学的头脑，去分析动态的几何图形，从而得到“静态”的几何规律。

下面结合例子来说明如何对初中几何进行动态教学。（主要设计思路）

例1．初中几何教材P125 *7.12 和圆有关的比例线段，这一节的内容是相交弦定理，切割线定理及其推论（即圆幂定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圆内一点P，几何画板测算PA、PB、PC、PD，并计算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 图形运动，让学生观察6个乘积，反复几次，学生得出结论：只有PA*PB=PC*PD(如图3)图3：

教师给出相交弦定理:圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段的长的积相等。

要引导学生证明（略）

2·将D点向B点运动,C、A、B固定，学生观察，PD逐渐变短，当测算值PD＝0时，同时PB＝0，此时P、B、D三点重合。问学生结论是否成立。(如图4)

图4：

3．让AB运动至过圆心时停住，AB为直径，让CD任意与AB垂直，此时观察四个测算值，总有PC＝PD，让学生修改结论PC² ＝PA*PB。引导学生用语言叙述：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。(如图5)图5：

二．割线定理：

图6：

将P点运动，在P点从圆内到圆外之间反复运动的过程中，让学生观察6个乘积，发现依然有PA*PB=PC*PD。引导学生叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。（注：此处与教材讲解顺序不一样，有待探讨）。

通过观察分析，比较图形，引导学生归纳出相交弦定理与割线定理的相同点：0 ①定理中的条件都是两条相交直线分别与圆相交

②定理中的结论都是两条直线的交点到各弦两端的距离之积相等。于是，可以把相交弦定理和割线定理统一如下形式：

两条相交直线分别与圆相交，则两直线的交点到各弦两端的距离之积相等

3、切割线定理

1．将PA绕P点运动，让学生观察A、B重合时，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由学生修改结论:PA² =PC*PD（注：教材上是PT² ＝PA*PB）(如图7)图7：

引导学生用语言叙述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

2．将PD绕P点运动,C、D重合时观察时：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如图8)图8： 由学生修改 PA² =PC² ∴PA=PC

正是前面学过的切线长定理 四．深入讨论

进一步引导学生：点P到各弦两端的距离之积相等，等于什么？有没有一般规律？（这是课本P134习题T 7.4 B组4）

引导学生分析当点P固定，∵过P点的弦有无数条，选一条过圆心的弦，即直径：1．当P点在圆内时，引导学生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R² －OP²

当P为定点时, OP和R均为定值(如图9)图9：

当P点在圆外时, 学生独立完成。

图10：

3．归纳总结:

一直线与半径为R的⊙0相交, 在直线上取一不在圆周上的点P, 则该点到弦两端的距离之积是定值│R²-OP²│

告诉学生:你们和我一起讨论并验证的这个问题实际上是直线与圆这一节中一个重要定理。一方面不仅使学生数学思维得到发展，也使他们从中 获得成功的喜悦；另一方面，可以使学生从不断变化的几何图形中发现不变的几何规律。

例2．①同底等高的一组三角形，底BC固定不动，顶点A在平行于底边的直线上滑动，观察重心的位置及重心轨迹（计算机动画演示）图：11 观察发现：

⑴不论三角形如何变化，重心永远在三角形内。

⑵同底等高的一组三角形的重心轨迹是一条直线（证明略）。

②同底等高的一组三角形，底BC固定不动，顶点A在平行于底边的直线上滑动，观察垂心的位置及垂心轨迹（计算机动画演示）

观察发现：

⑴锐角三角形的垂心在锐角三角形的内部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在钝角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一组三角形垂心的轨迹是一条抛物线。（证明略）等等。

尽管在初中几何中不涉及轨迹问题，我们也可以不提它，但它确是计算机演示实验的结果，可以给学生看，引起学生的兴趣。

以上是我对初中几何进行动态教学的粗浅看法，得到多名老师的一致认可，同时我也给亲戚朋友的孩子（初三学生）进行了课余辅导，效果不错，这些学生在做习题时，大部分首先回忆的是计算机演示的图形。然后是定理，并很快结合已知条件做出了习题。我想这就达到了目的，学生知道从变化的图形中找出不变的规律为自己所用。在介绍知识的同时，渗透了辩证唯物主义思想。文中出现不妥之处，请专家和同行批评指正。

第四篇：专题十 几何中的动态问题教案13

专题十

几何中的动态问题

【中考目标】

1、以几何图形为载体，在等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形等特殊图形中设立动点、线或整体的平移、翻转，求解角度、线段、面积等定值问题

2、运动中一些特殊图形的性质或面积的函数式及最值

【中考重点】动态中特定时刻所构成的特殊图形的角度、线段、面积

【中考难点】以静化动，确定特定时刻所形成的几何图形，利用其性质解决问题 例

一、动点问题

A1、（2012莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的P最小值为

BC2、（2012兰州）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为()A、7779

B、1

C、或1

D、或1或 44443、（2012临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

例

二、动线问题

4、（2011义乌改编）已知二次函数y=x2 —8x+12与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为点P，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN，在直线MN的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.例

三、动形问题

5、（2012•南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

6、（2010福州）如图，在△ABC中，C45，BC10，高AD8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。

AHEF;ADBC（2）设EFx，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值;（1）求证：（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S和t的函数关系式。

三、课后作业

四、选做题

(2011聊城)如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2。(1)当t＝1s时，S的值是多少？

(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；

(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。

第五篇：动态几何测量教学案例两则

动态几何测量教学案例两则

彭翕成

华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉 430079

几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量。近些年，测量之风在中学教学中相当盛行。有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些，采用动态几何软件。所谓动态几何，是指在计算机屏幕上画出各种各样的动态几何图形，且几何图形在变化过程中保持几何属性不变；通过几何图形的动态变化，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的。到目前为止，全世界已经有几十种动态几何软件，我国主要使用超级画板和几何画板，一些图形计算器也具备动态几何功能。

笔者认为测量之风盛行原因有二。一方面是与这些年高调提倡的教学方式、教学理念接轨，依据是“老师让学生测量，有益于学生的动手能力的培养，有益于学生协作精神的形成”；而另一方面是由于传统测量非常简单，基本上就是不教自会，即使是学习动态几何的测量功能，也不过是几分钟的事情。学会之后，则是一本万利，从初一的三角形内角和定理、中位线定理到高三的正、余弦定理，都是可以用测量来教学的案例。正因为如此，很多老师不单自己在教学演示的时候喜欢用测量，有条件的学校还极力鼓励学生动手。

对于测量，近几年批评的意见也不少，而且相当尖锐。李大潜院士指出：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了，当初古希腊学者不是‘量’出来的”。张奠宙教授说得更加具体，他以正弦定理的教学为例，认为让学生通过测量发现

abc、、之间的关系,sinAsinBsinC是一个败笔，是一个忽略数学实质的设计。

三角板、量角器，我们使用已经上千年了，已经成为学习数学必备的工具，而动态几何软件是这些古老工具的延伸与发展。照道理来说，这些工具都应该是好的，但为什么老师们使用这些工具，还会被专家指责呢？笔者认为这是一个值得探讨的问题。首先，我们来看两个案例，看看从中能否给我们启示。案例一：中位线定理的教学

一位老师在讲授中位线定理这一内容时，准备利用超级画板作两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一小部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过，这些学生仅仅满足于记住书上的结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。

于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们积极性很高，马上打开超级画板进行测量，很快发现AE4JK（图1）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都老想着如何将五边形分割成三角形。这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图2所示（点L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。

图1 图2 案例二：勾股定理的教学

勾股定理的数学表示形式是abc，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要以RtABC的各边作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图3），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDESCBFGSACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图3后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现了SABCSBDFSCGHSAIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择多边形顶点即可，并不一定要作出该多边形）。

这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式

222SABC111absinCbcsinAcasinB么，只不过用了一次互补的两个角正弦相等222而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？

图3 图4

一想，其实也不难，SABCSHCG是显然的。而证SABC与SBDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证CJBFLB（图4）。由于JBCLBF（与同角互余的两角相等），根据HL定理，易证CJBFLB。同样地，可以证明SABCSAIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图5），由此我们可以得到另一种证明。

如图6，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而BJBCBF，从而SABCSDBJSBDF。同理可证SABCSAELSBDF。

特别有意思的是，即使ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为上述两种证明都没有用到ACB90这一条件。学生们

听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。

图5 图6 对于案例一，笔者认为虽然是同一个老师讲同一个内容，而且都是使用超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的选取，则不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。

对于案例二，笔者感慨很深。我们的老师花费大量的时间精心备课，设计好一个又一个的环节，但有时候难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。笔者甚至想：正弦定理的教学，能否就由此而来呢？

本文的两个案例是笔者近年举行超级画板讲座时与一线教师闲谈所得。一位中学老师很有感慨：俗话说“人强不如家伙强”，但使用了信息技术，教学效果也并不见得就一定好。笔者非常认同这一点：技术是先进了，但最后决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。