谈谈我学习动态几何的体会（五篇）

第一篇：谈谈我学习动态几何的体会

谈谈我学习动态几何的体会

彭翕成

华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 武汉 430079

这几年，我发表了一些关于动态几何的文章，出版了相关著作，也在网络上共享了不少资源。因此常被人问起：如何学习动态几何。国内有许多研究动态几何的高手，不论从技术，还是教学实践中的使用，胜于我者不在少数。但我还是想来谈谈这个问题，算是个人总结吧。

很多软件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各个菜单的功能，使用起来就非常简单了；那些不常用的功能甚至不需要记，用的时候搜索帮助文件就可以了。动态几何软件则不同，譬如几何画板，菜单不多，且每个下拉菜单的长度很短，二级菜单更是寥寥无几。但这并不意味着几何画板就容易掌握，因为若干平凡功能的复合可能会变得不平凡。

我学习动态几何，分为几何画板和超级画板两个阶段。

我从2003年开始学习几何画板。自学，没有老师，没有教材，只是在网上下载了软件和几个课件。我花了一个星期的时间熟悉软件，知道了哪个菜单下有哪些工具，这些工具能够完成哪些功能，而要使用这些工具，需要先作什么。譬如希望作一个点在多边形周界上运动，需要先选择各顶点，构造出多边形内部，才能作出多边形周界上的点。

初学者最容易上手，也最容易被震撼的要数动态测量功能了。作一个几何图形，加上一些测量和计算，再拖动，就能从变化中发现不变的规律。我当时已经打算从事数学教育方面的工作了，觉得应该好好学习动态几何，将之作为一技之长。但那时，自学能力较差，不知道如何去网上搜索资源，寻求帮助，于是之后的一年多时间都没有什么大的进步。

记得有一次，我想作一个椭圆，想了好几天，没作出来，心里很是埋怨，难道几何画板只能作平面几何图形，不能运用于解析几何么？最后还是在网上找到了作法。

还有一次，我想作“过圆外一点P作圆的切线”，想了很久，被我想出来了，开心不已。虽然说穿了是如此简单：如图1，连接OP，作中点M，以M为圆心，MO为半径作圆交O于N，则PN即为所求作的切线；不过就是用到“直径所对的角是直角”这一简单的知识点，但我后来的几何画板培训实践表明，如果以前没有这方面的学习，能够将平时用来解题的知识点运用到作图中来的人并不多。

图1 2004年，我买了几本几何画板的书，在网上也下载了一些资料，特别是我加入了当时积聚国内众多高手的几何画板论坛：求师德，通过学习高手的作品，我的水平有了较大的进步。现在回想起来，几何画板的学习窍门也就两点而已：不断追溯父子对象；创建新工具，查看脚本。

在求师德论坛的日子是令人难忘的，这不仅仅是我个人的感受，也是许多动态几何爱好者的心声。求师德的网友，不论是对新手的教导，还是同水平的人切磋，都是坦诚相见，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。国内一些中学数学网站，讨论也颇为热烈，但一遇到关键问题，高手们大都打住不讲了，因为他们需要以此发表文章。求师德的网友钻研技术的很多，热衷于写文章的好像很少。我曾经建议求师德的高手们写点文章，因为杂志上相当多的动态几何文章所作研究并不深入，甚至可能会误导人。可惜我的建议并不被多少网友接受。求师德论坛后来关闭了，具体原因我不太清楚，这是让很多动态几何爱好者感到惋惜的。

2006年起，我开始转向超级画板的研究。超级画板由于吸收了几何画板一些优点，增加了很多功能，使得入门时间大大缩短，使用起来也更加方便。

不可避免地，我会对这两个软件进行比较。几何画板确实是一款非常优秀的数学软件，但很多的设计还是可以改进的。就拿前面所说的作圆的切线来说，原始的尺规作图方式有其存在的意义，但作为一个现代化的工具来说，其作法能否更加直接，效率进一步地提高呢？超级画板的智能画笔就做到了这一点。在保证动态几何性质的前提下，充分考虑中学老师的使用习惯，顺手一画即可完成任务。而且超级画板并不否定尺规作图法，用户可以选择原始方法来锻炼基本功，也可以采用先进方法迅速作出基本图形，进一步探究以求获得新的知识。

又如作多边形上的点，从数学上来说，选择多边形各个顶点就应该能够作出了，何必一定要先构造多边形内部呢？在这一问题上，超级画板比几何画板更符合数学本质。

至于原来让我头痛的几何画板探究圆锥曲线，在使用超级画板之后也变得轻松了，因为超级画板在解析几何方面提供了相当强大的功能。近几年，随着动态几何研究队伍的扩大，网上这方面的资料越来越多了，随便一搜，光是椭圆的作法，至少能搜出二十几种。这些作法，了解一下是很有好处的，它与“茴字的四种写法”有着本质的不同。每一种作法都反映了圆锥曲线的某些性质。掌握这些作法，对研究解析几何大有裨益。但也必须注意到，由于几何画板缺少最根本的解析几何作图功能：输入二次曲线方程作图，这让相当多的用户苦恼。

高手们总是会想出各种方法来补救现有软件的不足，他们的研究热情，所付出的努力，是一般人难以想象的。譬如几何画板4.0不能构造函数与直线的交点，很多画板爱好者花费大量时间，想出各种近似作法，但这些作法也仅在高手中流传，因为一般人难以掌握这些技巧。但几何画板5.0的推出，交点功能的改善使得这一问题变得简单。这说明，软件开发者多为用户着想，多做一些工作，就能使得数以万计的用户节省时间，提高效率。

学习动态几何并不需要你有多高的计算机水平。培训实践表明，在最开始的入门阶段，计算机老师比数学老师要快，而一旦过了这一阶段，数学老师就远远地把计算机老师甩在后面。原因也很简单，虽然软件的操作是基础，不掌握基本操作，很多想法都无法实现，但最终决定动态几何水平高低的，还是看谁有扎实的数学功底，特别是平面几何作图方面。

在传统几何学习中，作图与计算、证明三者的地位是并列的，而近些年，中学已经大大删减如何作图了。为了学好动态几何，我曾经下功夫研究过一些作图。譬如已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。我最早的作法是：如图2，以C为圆心，分别以b、lc、a为半径作圆；在半径为b、a的圆上任取A、B两点，在AB线段上作比例点D，使得DACA；然后拖动B，使得D刚好落在半径为lc的圆上。这样作图，显然不符合动态几DBCB何作图要求，因为一拖动就会散架，不能保持几何性质。但我觉得动态几何的这种近似作图也有其存在的意义，直到现在，面对这种几何约束作图，不少杂志社、出版社束手无策，随手所作图形差错十分明显。他们确实有学一下动态几何的必要了。

我后来想出了此题的尺规作法，但在此处，我却想着重介绍另外一题：在△ABC的BC边上，作点M使得△ABM和△ACM的内切圆半径相等。我最初也是采用近似作法。为了得到准确作法，我问了不少人，没人会做。查了很多资料，最后在一本40年代的几何书上找到了作法（后来发现梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》也有），才作出图来。

图2 图3 作法：如图3，（1）BC的中垂线DE交△ABC的外接圆于E；

（2）作△ABC的内心F；以E为圆心，EB为半径作圆；FE交圆E于G；（3）过A作GB的平行线交BF于H；过A作GC的平行线交CF于I；（4）作AB关于AH的对称直线交BC于M；

其中M即为题目所求。H、I分别为△ABM和△ACM的内切圆圆心。

图3作法巧妙，是很难想到的。也许有人会问：这个问题和动态几何有什么关系呢？根本就是个数学题嘛！的确如此。因为我们研究动态几何的根本目的就在于研究数学，而不是研究软件本身。随着软件的发展，这种几何约束作图也会变得容易，譬如Geometry Expressions就在这方面已经作出了相当不错的尝试。

接下来，我想尝试回答一个问题。

一直以来，有人对动态几何的作用提出质疑，其典型观点是：利用动态几何软件，不管是超级画板还是几何画板，很多题目确实一作图、一测量就出来结果了。但学生考试的时候，是不能使用计算机的，而且通过动态测量发现的也只是结果，没有解题过程。

众所周知，但凡能够让人产生依赖的东西必然有其独特之处，譬如一本好的复习资料，一个好的家教，虽然有学生过分依赖好的复习资料和好的家教，上课听课不认真了，但并不能因此就否定复习资料和家教的作用。

一件事物在一定条件下能够发挥作用帮助到你，就说明它是有用的，这就够了，我们不能求全责备，一定要它包打天下才行。就好比有人反对负数，理由是：你见过-1个人么？确实，我们没有见过-1个人，但却存在-1℃。这就说明负数有存在的意义。

下面这个案例应该能够在一定程度上说明问题。

有学生问我这样一个题目：如图4，在正方形ABCD中，过点D作对角线AC的平行线，在平行线上作点E，使得CACE，CE交AD于F，求证：AEAF。

图4 图5

我给出的证明：如图5，作EIAC，设BD交AC于O，显然四边形EDOI是矩形，CECABD2OD2IE，所以ACE30，易得AEFAEF75，所以AEAF。

但此题并没有到此结束，还可以探究。细心的读者会发现图5中作的垂足标签为I，按常理，紧接下来的标签应该是G！这是因为我看到题目时，就感觉图4只是题目叙述的可能情况之一。一般的解题者对题目给出的图形比较依赖；而长期使用动态几何的人解题时，则会不自觉地去尝试重新作图，即使不动手，也会在心里面把作图步骤走一遍。

对于此题，在作好正方形ABCD后，寻找满足条件的E时，通常是以C为圆心，CA为半径作圆，很明显圆与平行线的交点不止一点E，还有一点G，也满足CACG。在前面证明的基础上，我们容易证明AGAH。如图6，作GJAC，显然CGCAB2DO2D2I，所以EJG30，易得CGACHA15，GCJ所以AGAH。

我把进一步的探究和学生讲了之后，学生很佩服。因为在他看来，老师会解题，这是老师应该会的，不算什么；但老师能够拿到题还能有新发现，说明老师很有水平。

图6 一个人在长期使用动态几何软件之后，是否能摆脱软件，达到手上无画板，心中有画板的境界呢？理智告诉我，这几乎不可能，至少我个人是做不到这一点。但我坚信，长期使用动态几何会使人加深对数学的理解；而使用Flash或PPT，则很难帮助你提高数学水平。我坚信，所以我坚持。

补充：已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。

尺规作法分析：如图，假设△ABC为所求作，设CD是它的角平分线。引边BC的平行线MD（点M在边AC上）。因为MCDMCDMDC，△CMD是等腰三角形。因为MCDBCBaab，b所以MC，且AMMC。根据CDcl和腰AMACACbababMDMC作出等腰△CMD。然后在射线CM上截取线段CAb。又在射线CM关于ab直线CD对称的射线上截取线段CBa。

如果感觉解答此问题有困难，可先解决“已知三角形两边和第三边的中线长作三角形” 问题。而要以a，b，mc作三角形，可先以点的性质就很简单了。

ab，mc作三角形。接下来的作图根据中22

第二篇：谈谈我学习动态几何的体会 3000字

谈谈我学习动态几何的体会 计算机科学与教育软件学院

这个学期，我查阅了一些关于动态几何的文章、著作，也在查看网络上的不少共享资源。因此我逐渐了解了：如何学习动态几何。国内有许多研究动态几何的高手，不论从技术，还是教学实践中的使用，胜于我者不在少数。但我还是想来谈谈这个问题，算是个人总结吧。

很多软件，譬如z+z，功能很多，但只要知道了各个菜单的功能，使用起来就非常简单了；那些不常用的功能甚至不需要记，用的时候搜索帮助文件就可以了。动态几何软件则不同，譬如几何画板，菜单不多，且每个下拉菜单的长度很短，二级菜单更是寥寥无几。但这并不意味着几何画板就容易掌握，因为若干平凡功能的复合可能会变得不平凡。

我学习动态几何，分为几何画板和超级画板两个阶段。

我从本学年开始学习几何画板。通过老师、教材、在网上下载了软件和几个课件。我花了一个星期的时间熟悉软件，知道了哪个菜单下有哪些工具，这些工具能够完成哪些功能，而要使用这些工具，需要先作什么。譬如希望作一个点在多边形周界上运动，需要先选择各顶点，构造出多边形内部，才能作出多边形周界上的点。

初学者最容易上手，也最容易被震撼的要数动态测量功能了。作一个几何图形，加上一些测量和计算，再拖动，就能从变化中发现不变的规律。我当时已经打算从事数学教育方面的工作了，觉得应该好好学习动态几何，将之作为一技之长。但那时，自学能力较差，不知道如何去网上搜索资源，寻求帮助，于是之后的一年多时间都没有什么大的进步。

记得有一次，我想作一个椭圆，想了好几天，没作出来，心里很是埋怨，难道几何画板只能作平面几何图形，不能运用于解析几何么？最后还是在网上找到了作法。

还有一次，我想作“过圆外一点P作圆的切线”，想了很久，被我想出来了，开心不已。虽然说穿了是如此简单：如图1，连接OP，作中点M，以M为圆心，MO为半径作圆交O于N，则PN即为所求作的切线；不过就是用到“直径所对的角是直角”这一简单的知识点，但我后来的几何画板培训实践表明，如果以前没有这方面的学习，能够将平时用来解题的知识点运用到作图中来的人并不多。

图1 后来，我买了几本几何画板的书，在网上也下载了一些资料，特别是我加入了当时积聚国内众多高手的几何画板论坛：求师德，通过学习高手的作品，我的水平有了较大的进步。现在回想起来，几何画板的学习窍门也就两点而已：不断追溯父子对象；创建新工具，查看脚本。

在求师德论坛的日子是令人难忘的，这不仅仅是我个人的感受，也是许多动态几何爱好者的心声。求师德的网友，不论是对新手的教导，还是同水平的人切磋，都是坦诚相见，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。国内一些中学数学网站，讨论也颇为热烈，但一遇到关键问题，高手们大都打住不讲了，因为他们需要以此发表文章。求师德的网友钻研技术的很多，热衷于写文章的好像很少。我曾经建议求师德的高手们写点文章，因为杂志上相当多的动态几何文章所作研究并不深入，甚至可能会误导人。可惜我的建议并不被多少网友接受。求师德论坛后来关闭了，具体原因我不太清楚，这是让很多动态几何爱好者感到惋惜的。

我开始转向超级画板的研究。超级画板由于吸收了几何画板一些优点，增加了很多功能，使得入门时间大大缩短，使用起来也更加方便。

不可避免地，我会对这两个软件进行比较。几何画板确实是一款非常优秀的数学软件，但很多的设计还是可以改进的。就拿前面所说的作圆的切线来说，原始的尺规作图方式有其存在的意义，但作为一个现代化的工具来说，其作法能否更加直接，效率进一步地提高呢？超级画板的智能画笔就做到了这一点。在保证动态几何性质的前提下，充分考虑中学老师的使用习惯，顺手一画即可完成任务。而且超级画板并不否定尺规作图法，用户可以选择原始方法来锻炼基本功，也可以采用先进方法迅速作出基本图形，进一步探究以求获得新的知识。

又如作多边形上的点，从数学上来说，选择多边形各个顶点就应该能够作出了，何必一定要先构造多边形内部呢？在这一问题上，超级画板比几何画板更符合数学本质。

至于原来让我头痛的几何画板探究圆锥曲线，在使用超级画板之后也变得轻松了，因为超级画板在解析几何方面提供了相当强大的功能。近几年，随着动态几何研究队伍的扩大，网上这方面的资料越来越多了，随便一搜，光是椭圆的作法，至少能搜出二十几种。这些作法，了解一下是很有好处的，它与“茴字的四种写法”有着本质的不同。每一种作法都反映了圆锥曲线的某些性质。掌握这些作法，对研究解析几何大有裨益。但也必须注意到，由于几何画板缺少最根本的解析几何作图功能：输入二次曲线方程作图，这让相当多的用户苦恼。

高手们总是会想出各种方法来补救现有软件的不足，他们的研究热情，所付出的努力，是一般人难以想象的。譬如几何画板4.0不能构造函数与直线的交点，很多画板爱好者花费大量时间，想出各种近似作法，但这些作法也仅在高手中流传，因为一般人难以掌握这些技巧。但几何画板5.0的推出，交点功能的改善使得这一问题变得简单。这说明，软件开发者多为用户着想，多做一些工作，就能使得数以万计的用户节省时间，提高效率。

学习动态几何并不需要你有多高的计算机水平。培训实践表明，在最开始的入门阶段，计算机老师比数学老师要快，而一旦过了这一阶段，数学老师就远远地把计算机老师甩在后面。原因也很简单，虽然软件的操作是基础，不掌握基本操作，很多想法都无法实现，但最终决定动态几何水平高低的，还是看谁有扎实的数学功底，特别是平面几何作图方面。

在传统几何学习中，作图与计算、证明三者的地位是并列的，而近些年，中学已经大大删减如何作图了。为了学好动态几何，我曾经下功夫研究过一些作图。譬如已知三角形两边和第三边的角平分线长作三角形。我最早的作法是：如图2，以C为圆心，分别以b、lc、a为半径作圆；在半径为b、a的圆上任取A、B两点，在AB线段上作比例点D，使得DACA；然后拖动B，使得D刚好落在半径为lc的圆上。这样作图，显然不符合动态几DBCB何作图要求，因为一拖动就会散架，不能保持几何性质。但我觉得动态几何的这种近似作图也有其存在的意义，直到现在，面对这种几何约束作图，不少杂志社、出版社束手无策，随手所作图形差错十分明显。他们确实有学一下动态几何的必要了。

我后来想出了此题的尺规作法，但在此处，我却想着重介绍另外一题：在△ABC的BC边上，作点M使得△ABM和△ACM的内切圆半径相等。我最初也是采用近似作法。为了得到准确作法，我问了不少人，没人会做。查了很多资料，最后在一本40年代的几何书上找到了作法（后来发现梁绍鸿的《初等数学复习及研究（平面几何）》也有），才作出图来。

图2 图3 作法：如图3，（1）BC的中垂线DE交△ABC的外接圆于E；

（2）作△ABC的内心F；以E为圆心，EB为半径作圆；FE交圆E于G；（3）过A作GB的平行线交BF于H；过A作GC的平行线交CF于I；（4）作AB关于AH的对称直线交BC于M；

其中M即为题目所求。H、I分别为△ABM和△ACM的内切圆圆心。

图3作法巧妙，是很难想到的。也许有人会问：这个问题和动态几何有什么关系呢？根本就是个数学题嘛！的确如此。因为我们研究动态几何的根本目的就在于研究数学，而不是研究软件本身。随着软件的发展，这种几何约束作图也会变得容易，譬如Geometry Expressions就在这方面已经作出了相当不错的尝试。

接下来，我想尝试回答一个问题。

一直以来，有人对动态几何的作用提出质疑，其典型观点是：利用动态几何软件，不管是超级画板还是几何画板，很多题目确实一作图、一测量就出来结果了。但学生考试的时候，是不能使用计算机的，而且通过动态测量发现的也只是结果，没有解题过程。

众所周知，但凡能够让人产生依赖的东西必然有其独特之处，譬如一本好的复习资料，一个好的家教，虽然有学生过分依赖好的复习资料和好的家教，上课听课不认真了，但并不能因此就否定复习资料和家教的作用。

一件事物在一定条件下能够发挥作用帮助到你，就说明它是有用的，这就够了，我们不能求全责备，一定要它包打天下才行。就好比有人反对负数，理由是：你见过-1个人么？确实，我们没有见过-1个人，但却存在-1℃。这就说明负数有存在的意义。

下面这个案例应该能够在一定程度上说明问题。

有这样一个题目：如图4，在正方形ABCD中，过点D作对角线AC的平行线，在平行线上作点E，使得CACE，CE交AD于F，求证：AEAF。

图4 图5

我给出的证明：如图5，作EIAC，设BD交AC于O，显然四边形EDOI是矩形，CECABD2OD2IE，所以ACE30，易得AEFAEF75，所以AEAF。

但此题并没有到此结束，还可以探究。细心的读者会发现图5中作的垂足标签为I，按常理，紧接下来的标签应该是G！这是因为我看到题目时，就感觉图4只是题目叙述的可能情况之一。一般的解题者对题目给出的图形比较依赖；而长期使用动态几何的人解题时，则会不自觉地去尝试重新作图，即使不动手，也会在心里面把作图步骤走一遍。

对于此题，在作好正方形ABCD后，寻找满足条件的E时，通常是以C为圆心，CA为半径作圆，很明显圆与平行线的交点不止一点E，还有一点G，也满足CACG。在前面证明的基础上，我们容易证明AGAH。如图6，作GJAC，显然CGCAB2DO2D2I，所以EJG30，易得CGACHA15，GCJ所以AGAH。

图6 一个人在长期使用动态几何软件之后，是否能摆脱软件，达到手上无画板，心中有画板的境界呢？理智告诉我，这几乎不可能，至少我个人是做不到这一点。但我坚信，长期使用动态几何会使人加深对数学的理解；而使用Flash或PPT，则很难帮助你提高数学水平。我坚信，所以我坚持。

第三篇：动态几何学习心得

动态几何学习心得

几何画板不是一个一般的绘图软件，不仅制作出的图形是动态的，而且注重数学表达的准确性。因此，应该从数学的角度看待这个软件，在理解中学习它，这样就比较容易理解有关操作的规定，掌握操作方法，合理地进行操作，尽快掌握它的功能。反过来，当需要构造某个图形，进行某种操作时，就会自觉地满足软件对该项操作需要的前提条件。

首先用几何画板创设情景，静态变动态，其次几何画板“数形结合”，抽象变形象，微观变宏观，能够揭示知识之间的内在联系，培养思维能力、开发智力的工具。

通过这个课程的学习使我受益匪浅，对几何画板有了一个全面直观的认识。在以后的教育教学中，我要坚持不断学习，提高自己的课件制作水平。几何画板是一个在数学领域里进行创造、探索和分析等方面有着广泛应用的软件系统。利用几何画板，您可以构造交互式的数学模型，可用于从事形与数的基础研究，构造高级的、动态的复杂系统的插图。不仅学习了几何画板的应用知识，而且认识了很多同行，并从他们那里学到了不少知识。通过这学期的学习，感觉《几何画板》是个很不错的学习辅助软件，相比较FLASH等的软件，它的本身占用资源较少，操作简单，学习起来也较容易，而且在平时的教学中，用他去制作一些课件，不需要浪费太多的时间，但仅仅这花几天的学习要想将这个软件运用自如还是不可能的，老师只能领导你去认识它，真正的对它熟悉还要在平时的教学中多多运用，自己去钻研。同时，通过学习，还让我体会到了，在运用课件辅助教学时，不仅仅是去制作课件，在制作过程中，要对这节课完全理解，从原理上明白这节课的实质内容，再细化到如何去制作，才能让我简单明了的理解这节课，是在制作过程中的关键点。通过这次几何画板的学习，感觉受益匪浅！

第四篇：动态几何教案(完)

龙文教育浦东分校张杨路校区学生个性化教案 教育是一项良心工程

课题：动态几何

学生：

教师：吴大旺

时间：

学生评价

◇特别满意

◇满意

◇一般

◇不满意

【回顾与思考】

动点问题

类别动线问题动形问题

【例题经典】

会“静”中求动

例

1（2004年吉林省）如图，已知抛物线y=x2-ax+a+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C．运点P以每秒2•个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ，CB设点P的运动时间为t秒．

（1）求a的值；

（2）当t为何值时，PQ平行于y轴；

（3）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

【分析】由PQ∥y轴和DC∥x轴这一静态，得OQ=PD，求t的值．

会由“特殊”推出“一般”

例

2（2005年南京市）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，•形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，•在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC•的左侧，OC=8cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE•围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

【会用“类比的思想”探究图形的变化】

例

3（2006年临沂市）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别为BD、•BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C•作匀速移动，移动的速度都为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0

2（1）写出△PBQ的面积S（cm）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S•有最大值？最大值是多少？

（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

（3）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

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【考点精练】 1．（2005年西宁市）如图1，将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP重合，若BP=4，则点P所走过的路径长为_________．

(1)

(2)

(3)2．（2005年福州市）如图2，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A．111B．

C．

D． 543103．（2005年北京市）如图3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，点P从起点O出发，•沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图像中，能正确反映y与x的函数关系的是（）



4．（2006年临沂市）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正方形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为_______度．

5．如图直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O•运动，动点Q从A点出发向点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．

（1）点Q坐标为______（用含x的式子表示）

（2）当x为何值时，△APQ为一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）设PQ的中点为G，请你探求点G随点P、Q运动所形成的图形并说明理由．

地址：张杨路1818号（近巨野路）

电话：021—50280417

您的孩子就是我们的孩子

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6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动；动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动，•如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，求：

（1）几秒钟以后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

（2）在第（1）问的前提下，P、Q两点之间的距离是多少？

7．（2006年济南市）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O•′交于E、F两点．

（1）如图甲，连结⊙O′交于⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O•的切线交⊙O′于A、B两点，求OA．OB的值；

（2）若点C为⊙O上一动点，．．

①当点C运动到⊙O′内时，如图乙，过点C作⊙O′的切线交⊙O于A、B两点，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图丙，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

8．（2005年黄冈市）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，•分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．

（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．

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（3）设从出发起，运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，•并写出此时t的取值范围．

（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t•的值；如不可能，请说明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如图（1），AB是⊙O直径，直线L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足为D．

（1）求证：AC1·AC2=AB·AD；

（2）若将直线L向上平移（如图（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A，B重合），其他条件不变，请你猜想，AC1，AC2，AB，AD之间的关系，并说明理由．

（3）若将直线L平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图（3）上画出变化后的图形，标好相应字母并猜想AC，AB，AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）．

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第五篇：初中几何动态教学初探[原创]

初中几何动态教学初探

“九年义务教育全日制初级中学《数学教学大纲》（试用）”中提出，初中数学的教学目的之一：培养学生良好的个性品质和初步辨证唯物主义观点。良好的个性品质是指：正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯；而初中数学中的辨证唯物主义教育因素之一是：数学内容中，普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点。本文想就初中几何教学中如何通过几何动态教学对学生进行辨证唯物主义思想教育，谈谈我的粗浅认识。

我们经常会听到老师和学生有这样的反映，几何难教，几何难学。“难”的原因之一就是图形关系复杂，变化多样。老师在几何教学中演示的图形都是静态的，不能将图形的任意位置展示给学生，在给出一个或有限的几个图形之后，就将一些重要的几何规律简单地介绍给了学生。而学生在作题时，由于图形位置变化，或位置关系复杂，就变得茫然不知所措了，这时老师也开始变得急燥了，觉得概念已讲得很清楚了，怎么还不会，几何难教难学的矛盾就产生了。

如何解决这个矛盾呢？我想还是要从几何的精髓问题入手。“几何就是在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律”。比如 图1

1．不论三角形的位置、大小、形状和方向如何变化，三角形的3条高线都交于一点（如图1）； 图2

2．不论四边形如何变化，四边形的四边中点顺序连接成的图形永远是平行四边形（如图2）等等，不胜枚举。对于第一个问题，传统教学中都是利用尺子作图，各种情况只作一个图形，很有限，不能说明问题；对于第二个问题，在以往的教学中绝大多数老师都是以例题形式给让学生证明。我现在想办法让三角形或四边形任意动起来，让学生观察：三角形的3条高线交于一点；四边中点顺序连接成的图形永远是平行四边形。有了这样一个感性认识，再深入研究就成为自觉自愿的了。学生从运动的几何图形中找出的几何规律，印象会很深，而且几何图形有这样的动态效果，很容易吸引这些初中学生，让他们觉得几何课有意思，从而愿意上几何课。

我的这些想法是有理论根据的，因为运动的观点是现代数学思想的一个重要方面，在中学几何教学中应加强运动观点的建立。现代教育理论认为：数学知识不是老师教会的，而是学生必须经过头脑想象和理解椉唇ü箺才能真正学会的。老师传递给学生的只是知识信息，学生通过接收这些信息，联系他们头脑中旧有的知识结构，构造出他所能理解掌握的新知识，在几何教学中，对于那些相对于学生来说复杂而又抽象的图形，需要在老师的引导下，从不断运动变化的图形中，从不同的角度反复观察、探索、发现，找出规律，“从而建立起学生自己的‘经验体系’棗即猜想可能的结论，最后再在老师和书本的帮助下证明猜想的结论，从而建立起学生自己的‘逻辑思维体系’。即完成‘在变化的图形中发现恒定不变的几何规律’”。

对于一个几何图形来说，各种元素之间的位置关系实际上是处于变化的相互依存的状态，动是绝对的，静是相对的，这就产生了几何变换。在初中平面几何中，常见的几何变换有：全等变换、相似变换和等积变换等。在实际教学中，要想办法创造有变有不变的状态，让有利于解题的条件保持不变，而将不利于解题的条件变为有利的，这就是利用运动变化中不变的规律解题的主要思想。

如何实现让几何图形动起来，让学生在“动中找静”，以往的几何教学很难做到，因为在传统的几何教学中，用常规作图工具（纸、笔、尺）手工绘制的图形都是静态的，虽然它能教给学生规范作图，但这样很容易掩盖极其重要的几何规律。有的老师可以制作很精制的投影抽拉片，使部分图形动起来，却很难体现图形的任意性，以及图形各部分之间的密切联系。针对这个问题，我们可利用计算机辅助数学教学，利用一个软件工具棗“几何画板”制作我们需要的几何图形，并使之任意运动和动画，在图形不停地变化过程中，让学生观察，发现不变的几何规律，让学生认识到几何规律是实实在在的科学，不是凭空任意造出来的，要用科学的头脑，去分析动态的几何图形，从而得到“静态”的几何规律。

下面结合例子来说明如何对初中几何进行动态教学。（主要设计思路）

例1．初中几何教材P125 *7.12 和圆有关的比例线段，这一节的内容是相交弦定理，切割线定理及其推论（即圆幂定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圆内一点P，几何画板测算PA、PB、PC、PD，并计算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 图形运动，让学生观察6个乘积，反复几次，学生得出结论：只有PA*PB=PC*PD(如图3)图3：

教师给出相交弦定理:圆内的两条相交弦, 被交点分成的两条线段的长的积相等。

要引导学生证明（略）

2·将D点向B点运动,C、A、B固定，学生观察，PD逐渐变短，当测算值PD＝0时，同时PB＝0，此时P、B、D三点重合。问学生结论是否成立。(如图4)

图4：

3．让AB运动至过圆心时停住，AB为直径，让CD任意与AB垂直，此时观察四个测算值，总有PC＝PD，让学生修改结论PC² ＝PA*PB。引导学生用语言叙述：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。(如图5)图5：

二．割线定理：

图6：

将P点运动，在P点从圆内到圆外之间反复运动的过程中，让学生观察6个乘积，发现依然有PA*PB=PC*PD。引导学生叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。（注：此处与教材讲解顺序不一样，有待探讨）。

通过观察分析，比较图形，引导学生归纳出相交弦定理与割线定理的相同点：0 ①定理中的条件都是两条相交直线分别与圆相交

②定理中的结论都是两条直线的交点到各弦两端的距离之积相等。于是，可以把相交弦定理和割线定理统一如下形式：

两条相交直线分别与圆相交，则两直线的交点到各弦两端的距离之积相等

3、切割线定理

1．将PA绕P点运动，让学生观察A、B重合时，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由学生修改结论:PA² =PC*PD（注：教材上是PT² ＝PA*PB）(如图7)图7：

引导学生用语言叙述:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

2．将PD绕P点运动,C、D重合时观察时：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如图8)图8： 由学生修改 PA² =PC² ∴PA=PC

正是前面学过的切线长定理 四．深入讨论

进一步引导学生：点P到各弦两端的距离之积相等，等于什么？有没有一般规律？（这是课本P134习题T 7.4 B组4）

引导学生分析当点P固定，∵过P点的弦有无数条，选一条过圆心的弦，即直径：1．当P点在圆内时，引导学生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R² －OP²

当P为定点时, OP和R均为定值(如图9)图9：

当P点在圆外时, 学生独立完成。

图10：

3．归纳总结:

一直线与半径为R的⊙0相交, 在直线上取一不在圆周上的点P, 则该点到弦两端的距离之积是定值│R²-OP²│

告诉学生:你们和我一起讨论并验证的这个问题实际上是直线与圆这一节中一个重要定理。一方面不仅使学生数学思维得到发展，也使他们从中 获得成功的喜悦；另一方面，可以使学生从不断变化的几何图形中发现不变的几何规律。

例2．①同底等高的一组三角形，底BC固定不动，顶点A在平行于底边的直线上滑动，观察重心的位置及重心轨迹（计算机动画演示）图：11 观察发现：

⑴不论三角形如何变化，重心永远在三角形内。

⑵同底等高的一组三角形的重心轨迹是一条直线（证明略）。

②同底等高的一组三角形，底BC固定不动，顶点A在平行于底边的直线上滑动，观察垂心的位置及垂心轨迹（计算机动画演示）

观察发现：

⑴锐角三角形的垂心在锐角三角形的内部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角顶点处；钝角三角形的垂心在钝角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一组三角形垂心的轨迹是一条抛物线。（证明略）等等。

尽管在初中几何中不涉及轨迹问题，我们也可以不提它，但它确是计算机演示实验的结果，可以给学生看，引起学生的兴趣。

以上是我对初中几何进行动态教学的粗浅看法，得到多名老师的一致认可，同时我也给亲戚朋友的孩子（初三学生）进行了课余辅导，效果不错，这些学生在做习题时，大部分首先回忆的是计算机演示的图形。然后是定理，并很快结合已知条件做出了习题。我想这就达到了目的，学生知道从变化的图形中找出不变的规律为自己所用。在介绍知识的同时，渗透了辩证唯物主义思想。文中出现不妥之处，请专家和同行批评指正。