4.7平面图形的镶嵌教学设计

第一篇：4.7平面图形的镶嵌教学设计

平面图形的镶嵌（北师大版八年级上）

长武县昭仁中学 曹宏科

教案背景：

本节教案是北师大版八年级上课题学习中的一节课，通过教师备写教案，搜集网络资源让学生运用网络资源结合自己所学的知识来设计图案，在备写这节教案时充分考虑了学生的认知和思维能力，学生对网络的兴趣比较浓厚而备写的。引导了学生怎样将网络资源应用到学习中来。体现了我校提出“倡导绿色上网”的学习理念。教学课题：

平面图形的镶嵌 教材分析：

本节是北师大版第四章四边形的性质探索这一章的课题学习，通过四边形的相关知识的学习，学生学习了四边形中平行四边形、矩形、菱形、正方形、四边形的内角和以后，结合七年级学习的三角形和现实生活中的镶嵌图案来进行探索学习的。在教学中对于学生探索的方案应该充分肯定，激发学生的创造力和想象力。教师可以适当分析学生设计的图案，各小组最后分别展示设计的图案。教学方法：

合作探究，小组学习教学目标

(一)教学知识点：

1、了解平面图形的镶嵌的含义。

2、掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计。(二)能力训练要求：

1、经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力。

2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。(三)情感态度与价值观要求：

平面图形的镶嵌是现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。

教学重点：三角形、四边形和正六边形可以镶嵌。

教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件。教学过程：

一、巧设情景问题，引入课题

我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案。(展示各种地板图片)这些地板漂亮吗？这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。这节课我们来探索平面图形的镶嵌。

二、讲授新课

平面图形的镶嵌在生活中是随处可见的，在平面上镶嵌需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。那我们先来探索多边形镶嵌的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：

(1)用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌？

(2)用同一种四边形可以镶嵌吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流。

(3)在用三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

(4)在用四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？

(学生动手制作、教师强调：大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形。)(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)

1、用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌。因为三角形的内角和为 180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面。

从用三角形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°。

2、用同一种四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角。四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°。

3、从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。

通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以镶嵌一个平面，那么其他的多边形能否镶嵌？下面大家来想一想，议一议：

(1)正六边形能否镶嵌？简述你的理由。(2)分析如下图，讨论正五边形不能镶嵌。

图案来源：(百度搜索结果)http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=20429&cl=2&lm=-1&st=&pn=19&rn=1&di=105340756620&ln=670&fr=ala0&fm=ala0&fmq=***65_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn19&-1&di105340756620&objURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.files%2Fimage024.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2Ftech.casd.cn%2Fwzym%2F0212%2Fc20212%2Fc2sxw035.htm&W322&H140&T9626&S6&TPjpg

(3)还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？

(学生分析、讨论、归纳)小结：

要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌。一般三角形、四边形也可以镶嵌。虽然它们的内角未必都相等。

三、课堂练习：

1、如图，在一个正方形的内部按下图图（1）所示的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如下图图（2）所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？说说理由。

图片来源（百度搜索结果）

http://image.baidu.com/i?ct=503316480&z=&tn=baiduimagedetail&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6&in=13224&cl=2&lm=-1&st=&pn=455&rn=1&di=60522581085&ln=669&fr=ala0&fm=ala0&fmq=***40_R&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&width=&height=&face=&is=&istype=#pn455&-1&di60522581085&objURLhttp%3A%2F%2Fwww.xiexiebang.com%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fuploadfiles_5764%2F200705%2F***17.jpg&fromURLhttp%3A%2F%2F221.194.113.149%3A4601%2F46kt%2Fjxfs%2Fshowarticle.asp%3Farticleid%3D559%26page%3D7&W310&H231&T10769&S10&TPjpg

2、根据上面的思路，自己独立设计一个可以镶嵌的“基本单位”图形。（可参考网络资源：

http://image.baidu.com/i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala0&word=%C6%BD%C3%E6%CD%BC%D0%CE%B5%C4%CF%E2%C7%B6）

试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌？用硬纸板为材料进行实验。

四、课时小结

1、本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形镶嵌的条件。即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°。

2、在学习中可以利用网络资源来搜索（在百度中输入：平面图形的镶嵌即可搜索出所需资源）

五、课后作业

自己设计一幅镶嵌图案。

六、课后探索：

探索用两种正多边形镶嵌平面的条件。

过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索。(1)正三角形与正方形(2)正三角形与正六边形(3)正三角形和正十二边形 教学反思：

1、这节课学生的兴趣浓厚，主要是边长相同的正n边形的镶嵌，对于不规则图形的镶嵌学生在合作学习的过程中也提出过这样的问题，由于时间的原因和所学知识的限制，课堂中没有解决这一问题。这是本节课的不足之处。

2、本节课的学生操作很多，课堂学习时间不足，因此以后可让学生在课外继续探索和设计方案（包括不规则图形之间的镶嵌）。

3、这节课的教科书的内容有限，而网络资源很丰富，为学生的学习提供了一个很好的平台，这是本节课的成功之处。

第二篇：平面图形镶嵌问题

“平面图形镶嵌问题”教学案例分析

一、设计背景

本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完的正多边形知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。

二、实施过程

本节课的教学目标是：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。

在上课的前两天，教师布置给学生一个任务，用纸片做一些正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道教师葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班级每周都有一节数学研究性学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了老师布置的任务。

上课开始了，教师问学生： “ 大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？ ” 这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。教师接着追问： “ 那么，我们能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙。这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。教师问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说： “ 我们应该研究用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙。” 另一位学生接着说： “ 我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。” 教师对这两位学生进行了表扬，说： “ 我们就是要善于提出问题，好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！” 对第一个问题，同学们通过实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形可以完成平面图形的镶嵌。教师引导学生讨论，为什么只有这三种而没有其它正多边形了。很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。第一个问题解决了，接着同学们动手研究第二个问题，大家用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形和正三角形，有的则不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正八边形和正方形。教师把它们都挂在黑板上，供全班同学欣赏、评论。

这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课进行了总结。并提出了第三个问题让同学们课后去进行实践探究：你能否想出一个用同一种多边形（非正多边形）的地砖铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。

三、案例分析 ．本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，学生加深了对正多边的有关性质的理解。例如对正多边的内角度数的理解提高了一个层次。．由于研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，因此兴致盎然，既提高了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用。．以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。

四、对案例的反思 ．本节课应用的是正多边的知识，因此在用哪种正多边形可以完成平面图形的完全镶嵌这一个问题上可以进一步深化，可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能达到目的的正确性，从而进一步培养学生逻辑思维的严谨性。．无空隙这一说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边。．学生对本课主题很感兴趣，但教学手段略显单一。是否可以设计多媒体教学课件，在演示时会更直观。．留给学生课后研究的问题，应该更具有思考性及可探究性，本节课留给学生探索的问题的可操作性及探究性都有点牵强。可否让学生进一步观察，为什么平常用的地砖一般都是正方形的，而贴在墙上的墙砖却是长方形的，这种长方形墙砖的长与宽的比例是多少？为什么这样设计？让学生在探究过程中体验数学美在生活中的应用。

第三篇：《平面图形的镶嵌》教学设计

课题学习《平面图形的镶嵌》教学设计

教学内容

平面图形的镶嵌 教学目标

1.知识与技能：

（1）通过探索平面图形的镶嵌，使学生了解平面图形镶嵌的概念，了解任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面图形，并能运用这几种图形进行简单的平面图形镶嵌设计；

（2）培养学生观察、动手操作能力。2.过程与方法：

引导学生在图形镶嵌和拼图解题的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3.情感、态度与价值观：

（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用；（2）开发、培养学生的实践能力、创新意识和团结协作精神；（3）让学生在活动中感受数学的美，进一步发展学生的审美情趣。

教材分析

“平面图形的镶嵌”是第3章四边形后面的课题学习,要求学生对多边形内角和其及图形的变换有较深的认识,会利用图形的变换进行平面图形的镶嵌设计,是第3章四边形的拓展与引申.教学重点

探索多边形镶嵌的条件的过程以及多边形镶嵌的条件。

教学难点

寻找多边形镶嵌的条件,并如何运用镶嵌的条件解决问题。

教与学互动设计

一、欣赏图案，引入课题概念

1、用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏(如图1).提问学生这些图案有什么共同特征？让同学们分组讨论、交流.共同特征：①这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;②这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;③这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠。

2、引入本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念

归纳:这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片”，这就是数学上“平面图形的镶嵌”，又称做“平面图形的密铺”。这节课，我们一起来进行课题学习“平面图形的镶嵌”。多媒体投影本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念: 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，这叫做平面图形的镶嵌，或平面图形的密铺.3、让学生举出一些生活中身边的镶嵌图案

在我们生活中，有许多图案是“平面图形的镶嵌”。不知同学们是否曾留意过身边的一些镶嵌图案？你能举出你身边的镶嵌图案吗？让同学们议论.如:家里的地板图案，人行道上地砖铺成的图案,一些房间里墙纸上的花纹图案, ……

4、拼接纸片，探索镶嵌条件

（1）用正三角形、正方形、正六边形硬纸片模拟铺地面砖

近年来，随着社会经济的不断发展，人民生活水平的不断提高，往房条件越来越好.用室内装饰的事例导入。

请两位同学在黑板上分别用正方形、正六边形硬纸片和双面胶拼接图形,彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片（如图2）,其他同学分组同步拼接, 老师在一旁指导.我们常见到正方形、正六边形的铺地材料，为什么用这种形状能铺成平整、无空隙的地板呢？

让学生想一想下列问题, 分组讨论、交流, 探索多边形镶嵌的条件

① 观察图3, 全等的正六边形能密铺.正六边形的每个内角是多少度? 在一个顶点处的三个正六边形,分别有一个内角,它们彼此相邻,这三个内角的和是多少度?正三角形、正方形呢? 让学生讨论得出:

0因为正六边形的每一个内角是120，在每一个顶点处有3个正六边形, 分别有一个内角,它们彼此相邻,这三个内角的和是360°。

o如图4,正三角形、正方形密铺也满足以拼接点为顶点的各角之和为360。

② 从第① 题看出,如果一种平面图形能密铺,那么这种图形的若干个内角的和是多少度? 让学生讨论得出: 如果一种平面图形能密铺,那么这种图形的若干个内角的和是360°.o③ 正五边形的每个内角是多少度?它的若干个内角的和能等于360吗?想一想,全等的正五边形能密铺吗? 让学生讨论得出:

0不能。因为正五边形的每一个内角是108，不存在正整数n，使n108360成立，所以只用正五边形不能进行密铺。(如图5)由上得出多边形镶嵌的条件:

o以拼接点为顶点的各角之和为360 3.分组竞赛,培养团队精神 3.1 用勤俭节约的事例导入用四边形边脚余料铺地板，让学生学会生活。

我们知道，任意四边形的内角和为360，全等的四边形对应边相等，根据这个道理，把一批形状、大小完全相同（即全等），但不规则的四边形边脚余料（如木器厂的边脚木块）用来铺地板，按照图6那样拼接四边形，就可以不留空隙，铺成一大片（演示图6拼法）。3.2 动手操作(分组竞赛）：

让学生用彩色纸剪成一些全等的不规则的四边形，然后模拟铺地板（模拟招标选用技术好的工程队施工的事例，培养学生的竞争意识、实践应用能力和交往协作能力）。

用胶水贴在硬纸板上，要求颜色相间、边与边稍留缝隙，做到平整、美观,在规定时间内，贴一块计一分，不平整（有空隙或重叠）非不规则四边形不计分，不美观适当扣分，事后评选出小组一、二、三名.4.拼图解题, 发展合情推理

4.1 请将两个大小和形状完全相同的四边形剪开，然后拼成一个平行四边形.（提示后学生动手剪拼）

由于所给的两个四边形的对应边相等，四个内角的和刚好为360°，这就有可能拼成一个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以如图7所示将分得的4块拼成一个平行四边形.4.2 以△ABC的每一边为底向三角形外作顶角为120°的等腰△PAB、△QBC、△RCA.求证：△PQR为等边三角形（如图8）.此题用一般方法证明非常困难（分析），但用割拼的办法不难.把统一的图8发给学生动手剪拼，边讲解边动手操作: 因为六边形的内角和为720°，由∠APB=∠BQC=∠CRA=120°，得∠PBQ+∠QCR+∠RAP=360°，且PA=PB，QB=QC，RC=RA，则可将△PBQ、△QCR、△RAP割下拼成一个三角形全等于△PQR，即可拼在△PQR的内部，这样∠PRQ恰好等于∠ARC的一半，即60°，同理∠RPQ=∠PQR=60°，故△PQR为等边三角形.5.课堂小节,巩固镶嵌知识

提问学生：想一想，学习了这节课后，你了解了哪些知识？明白了哪些道理？有什么感受和收获？

… …

三、课后作业

1.动手操作：用一些全等的三角形边脚余料，铺成无空隙的地板.2.用纸剪一些边长相同的正八边形和正方形,铺在桌面上,能否密铺? 3.我们常见到如图9那样图案的地面，它们分别是全用正方形和全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面.现在，问：

（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图.（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图.（安徽中考题）

4.请将一个四边形剪开，然后拼成一个平行四边形.(提示:在每边上取中点，将对边的中点连起来，沿着对边中点连线将原四边形剪成四块，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，即可拼成如图10所示的一个平行四边形.)

☆课后反思 ―― 让学生动手操作的教学体会

1.在动手操作中导入新课

课的导入设计得妙，就能使学生引起“疑”.疑则思，就能激发学生的求知欲望、学习兴趣和愉悦的学习情感.如“三角形的内切圆”导入：我先把一些三角形边脚余料（全等的不等边三角形纸片）发给每个同学，要求裁下一块圆形的用料，即在上面画一个面积尽可能大的圆，然后剪下这个圆，比较哪位同学的圆最大，怎样才能使圆的面积最大而导入新课.这样通过学生动手操作，可以集中学生的注意力，启发他们的学习动机，使学生听课能抓住重点，产生强烈的求知欲望.2.在动手操作中讲授新课

让学生动手操作，把抽象的理论直观化，这不仅能丰富学生的感性认识，而且能使学生在观察、动手操作的过程中，加深对理论的理解.例如在讲“等腰三角形的性质”时，我就让学生都在纸上用尺规画一个等腰三角形.先用量角器量两底角的大小，比较得出：等腰三角形两底角相等，再请大家用剪刀剪下这个三角形然后对折，同样发现：等腰三角形两底角相等，最后通过折叠后的折痕的提示，启发学生证明这个结论.又如在讲“三角形三条边的关系”时，我要求学生课前准备好长度分别为15cm、22cm、10cm、10cm、10cm的五根木条，从中任取三根首尾顺次相接，拼凑成三角形，并对下列问题相互展开讨论：（1）任意的三根木条是否能拼成一个三角形？（2）哪样的三根木条能拼成一个三角形？哪样的不能？（3）各个三角形的3条边边长之间有什么特点？（4）各三角形中任意两边的长度和与第3边的长度之间有何关系？

这样，通过学生的实践活动，让他们展开讨论、探索发现，得出结论，自己去获取知识，是培养学生能力，开发学生智力的主渠道，也是实现教学目标的重要途径.3.在动手操作中复习巩固和应用

数学实践，不仅有利于学生复习巩固所学知识，提高分析问题、解决问题的能力，而且能培养教学应用意识和应用能力、创新意识和创造能力，如“平面图形的镶嵌”中的实践活动不仅复习巩固了四边形、多边形的内角和，平行四边形和等边三角形的判定等数学知识，还从模拟铺地板的分组竞赛中培养了学生的应用意识和协作能力，培养了竞争意识和进行美育教育.从剪拼平行四边形和割拼证题中培养了学生的创新意识和创造能力.对于生产和生活中的实际问题，学生看得见，摸得着，有的还亲身经历过，所以让学生动手操作、解决实际问题时，学生都跃跃欲试，想学以致用.如在学完圆周角定理及其推论后，我就设计了这样一个动手操作材料：某工厂生产了一批工件，工件凹面成半圆的为合格（如图11，出示工件模型）.今天请同学们当一回质检员，用直角三角板检验工件的凹面是否合格，把工件纸模型分发给全班同学检验，检验后要求在模型上写检验员姓名和检验结果（合格或不合格），并收上来抽查.这样，让学生动手操作，可以激发学生的学习兴趣，熟练掌握所学数学知识，培养了学生的实践能力.教学实践证明，在课程标准允许的范围内，要大量渗透数学实践的材料，以培养学生的创新意识和实践能力，这也是在数学课堂教学中实施素质教育的重要手段.为此，精心设计好一堂课的动手材料最为关键，教学中让学生动手操作，对活跃课堂气氛，启迪学生思维，培养学生能力，提高教学质量有着十分重要的作用.金凤中学校 梁桂发

2011年11月

第四篇：“平面图形镶嵌”课题研究的设计

“平面图形镶嵌”课题研究的设计

湖北省钟祥市罗集一中（431925）

“初中生探究性学习研究”课题组组长 熊志新

教材

义务教育课程标准实验教科书（人教版、华东师大版„„）数学·七年级·下册。

目标 经历对平面图形镶嵌问题的探究与解决（不一定能完全解决）的过程，加强对正多边形的有关概念、性质的理解； 了解数学知识在实际生活中的应用，培养学生应用数学解决实际问题的意识的能力； 优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归 纳能力； 通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。重点

平面图形镶嵌在现实生活中的意义。难点

平面图形的镶嵌的原理。教学过程 1 课前准备

在上课前两天，我就布置给学生一个任务，用纸片做一些多边形、正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道我葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班每周都有一节数学研究学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了我布置的任务。新课导入 “大家见过自己家里地上铺的地砖及大街上人行道上铺的地砖 吗？在这些地面上，相邻的地砖平整的贴合在一起，整个地面没有一点空隙。你能简单描述它的形状吗？”这是学非常熟悉的问题，同学们纷纷回答：“有的是正三角形、有的是正方形、有的是正六边形、有的是平行四边形„„”。分组动手实验

用事先剪好的正多边形纸片进行实验，学生迅速拼出了如图1所 示的图形。

图1 问题导入

“我们能否用其它正多边形来铺的地面呢？要求没有空隙。这就 是今天我们研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？”

学生用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。我又 问：“用正八边形行吗？”学生通过实践发现也不行（如图2）。

图2 “想一想，为什么用一种正多边形铺满地面时只有正三角形、正 方形和正六边形三种而没有其它正多边形呢？”

很快地，就有学生说：“因为要使平面完全镶嵌不留空隙，则正多边形的每个内角的度数必须能整除360，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。” 探究原理

正n边形的每个内角为(n2)180，要求m个正n边形各有一个内角

n拼于一点，恰好覆盖地面，这样有m(n2)180360，由此导出：

nm2n42(n2)(n2)，而m,n为整数，所以n只能为3，4，6。

结论：用一种正多边形铺满地面时，只有正三角形、正方形和正六边形三种（如图1）。而正五边形、正八边形都不能铺满地面。„„（如图2）探究创作镶嵌

“如果不是正多边形，而是一般的平面图形又如何呢？比如用任 意一种四边形能铺满地面吗？”学生用事先剪好的任意四边形，通过旋转、反射和平移很快就拼出了如图3所示的各种图形。

图3

探究发现：

（1）任意三角形都可以用以镶嵌成一个平面；（2）任意形状的四边形都能通过旋转、反射和平移来镶嵌成一个平面；

（3）只有特定的凸五边形或凸六边形可以镶嵌成一个平面（如图4）；

（4）多于六边形的凸多边形不可能镶嵌成一个平面。

（图4）多媒体演示

在学生初步掌握的情况下，采用多媒体教学课件，将本课题研究的问题一一演示，让学生更加直观的感悟平面图形的镶嵌。

拓展探究

“大家用两种边长相等的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，情况又如何呢？”

同学们用两种边长相等的正多边形的纸片拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形的正三角形；有的不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正六边形和正方形„„（如图5）。

师生共同小结

（1）本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，加强了对正多边形的有关性质以及能镶嵌平面的原理的理解；

（2）通过对问题的探究解决，让学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。课后实践探究

你能否设计出一个用边长相等的三种不同的正多边形的地砖铺地面的方案吗？把你设计的方案画成草图。

附参考图6。

第五篇：“平面图形镶嵌问题”教学案例分析

一、设计背景

本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完的正多边形知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。

二、实施过程

教学目标：

1、通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；

2、了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；

3、通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。

课前，教师布置给学生一个任务，用纸片做一些正多边形的图片，上课要用，学生们都不知道教师葫芦里到底卖的什么药。但因为这个班级每周都有一节数学研究性学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了老师布置的任务。

上课了，教师问学生：“大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？”这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。教师接着追问：“那么，我们能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙。这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。教师问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说：“我们应该研究用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙。”另一位学生接着说：“我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。”教师对这两位学生进行了表扬，说：“我们就是要善于提出问题，好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！”

对第一个问题，同学们通过实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形可以完成平面图形的镶嵌。教师引导学生讨论，为什么只有这三种而没有其它正多边形了。很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。

第一个问题解决了，接着同学们动手研究第二个问题，大家用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，拼出了各种各样的图形。其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形和正三角形，有的则不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正八边形和正方形。教师把它们都挂在黑板上，供全班同学欣赏、评论。

这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课进行了总结。并提出了第三个问题让同学们课后去进行实践探究：你能否想出一个用同一种多边形（非正多边形）的地砖铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。

三、案例分析

1．本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，学生加深了对正多边的有关性质的理解。例如对正多边的内角度数的理解提高了一个层次。

2．由于研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，因此兴致盎然，既提高了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用。3．以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。

四、对案例的反思 1．本节课应用的是正多边的知识，因此在用哪种正多边形可以完成平面图形的完全镶嵌这一个问题上可以进一步深化，可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能达到目的的正确性，从而进一步培养学生逻辑思维的严谨性。2．无空隙这一说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边。

3．学生对本课主题很感兴趣，但教学手段略显单一。是否可以设计多媒体教学课件，在演示时会更直观。4．留给学生课后研究的问题，应该更具有思考性及可探究性，本节课留给学生探索的问题的可操作性及探究性都有点牵强。可否让学生进一步观察，为什么平常用的地砖一般都是正方形的，而贴在墙上的墙砖却是长方形的，这种长方形墙砖的长与宽的比例是多少？为什么这样设计？让学生在探究过程中体验数学美在生活中的应用。