十字相乘法教学设计范文大全

第一篇：十字相乘法教学设计

因 式 分 解

——十字相乘法

中峰镇中心学校

王君

【教学目标】

1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+ px + q的二次三项式分解因式；

2、通过课堂交流展示，锻炼学生数学语言的表达能力；

3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质； 【教学重点】

能熟练地用十字相乘法把形如x2+ px + q的二次三项式分解因式。【教学难点】

把x2 + px + q分解因式时，准确地拆分常数项，验证一次项系数。【教学过程】

一、温故知新

1、我们已经学过哪几种因式分解的方法?(1)提公因式法；(2)公式法：平方差公式和完全平方公式。

2、用以上学过的方法能否将下列多项式分解因式？请试一试。(1)x2+7x+10

(2)x2-2x-8(3)y2-7y+12

(4)x2+7x-18

二、自学指导

1、自学课本121页阅读与思考，并完成121页最下面的练习。

2、小组讨论解题方法，并确定一名中心发言人上台展示，并讲解解答过程。

三、小组展示

(1)x2+7x+10

(2)x2-2x-8

(3)y2-7y+12

(4)x2+7x-18

四、巩固练习

1、用十字相乘法进行因式分解。(1)x2+5x+6

(2)x2-5x+6

(3)x2-5x-6

(4)x2+5x-6

总结规律：以上因式分解常数项符号与分解成的两个因数的符号，以及一次项系数的符号之间有什么关系？

结论：当常数项为正时，两因数同号，且符号与一次项的符号相同；

当常数项为负时，两因数异号，且绝对值较大的因数与一次项的符号相同．

2、请在下列因式分解中添上适当的符号。(1)x2+8x+12=(x

2)(x

6)(2)m2-3m+2=(m

1)(m

2)(3)x2-x-12=(x

3)(x

4)(4)y2+6y-16=(y

2)(y

8)

五、课堂小结

本节课我们学习了什么知识？

1、十字相乘法适用于二次三项式的因式分解，但并非所有二次三项式都适用。

2、因式分解首先考虑提公因式法，其次是公式法，都不行时再考虑十字相乘法。

六、拓展延伸

1、解方程

(1)x2-3x-4=0

(2)y2+2y-8=0

2、因式分解

(1)3x2+7x+2

(2)5x2-17x-12

第二篇：十字相乘法

十字相乘法分解因式

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1-2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解： 因为 1-3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例

4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解： 因为 2-5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为

1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2-9y 7 ╳-2y 所以 14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法

一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3 7y ╳-1 =10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）=[2x-（7y-1）][5x +（4y-3）] 2-（7y – 1）5 ╳ 4y4y ╳-3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x +4y）,再把（2x-7y）（5x +4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1] [（5x-4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 x²-3ax +（2a²–ab-b²）=0 x²-3ax +（2a+b）（a-b）=0 1-b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1-（2a+b）1 ╳-（a-b）所以 x1=2a+b x2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题 形如2X2表示的是2X的平方 例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1)=－5 1 －3 2 －1

1×(－1)+2×(－3)=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项

式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y)2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1).1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)

四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1 在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2 两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业 1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；(4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2；(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n－15；(2)6a2+a－35；(3)5x213；(4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；－20y2；(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)

－8x－－9y(7)20

第三篇：十字相乘法教学设计

因式分解——十字相乘法

东莞市可园中学

教材与学情分析

本课时属数学教材八年级上学期《分解因式》的补充内容，依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，二是学生的掌握难度并不大，增补此内容并不会增加学生负担，三是学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我们也安排了课时讲解此内容。

教学目标：

1、会用十字相乘法进行二次三项式（x2pxq）的因式分解；

2、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，在尝试中提高学生的观察能力和逆向思维能力。

教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2pxq）的因式分解。

b，abq。教学难点：在x2pxq分解因式时，准确地找出a、使abp，教学过程：

一、复习引入

分解因式：把一个多项式分解成几个整式的_______的形式。已学的因式分解方法有_______________和______________.思考：你知道x25x6怎样分解因式吗？

二、探究

(x2)(x3)= ____；(x2)(x4)= _。填空：（1）（2）(x3)(x4)= ___；(xa)(xb)= _。（3）（4）

根据上面结果，你会对下列二次三项式进行因式分解？请试一下。它们有什么共同的特点？

(1)x25x6 =____________ ,(2)x22x8=_______________。(3)x27x12 =____________ ,(4)x2(ab)xab =_______________。共同特点：①二次项系数是_____； ②常数项是两个数之_______；

③一次项系数是常数项的两个因数之_______。

三、例题讲解

例1.因式分解x25x6

十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。练习1.因式分解

（1）x27x6（2）x25x6

例2.因式分解x22x8

练习2.因式分解

（1）x22x8（2）x27x8

四、巩固练习练习3.因式分解

（1）x27x10（2）x27x10

（3）x29x10（4）x23x10

练习4.若x2mxn(x4)(x9)，则m=______，n=________.五、拓展提升 出题比赛

练习5.在横线上填一个整数，然后因式分解

（1）x2____x15（2）x2____x1

5练习6.若x2ax6在整数范围内可以因式分解，则a的值可能是_____________.六、小结

七、教学反思

在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。

第四篇：十字相乘法教学反思

十字相乘法教学反思

学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都是逆向使用整式乘法的结果。这样处理既符合学生的认知规律，又符合建构主义的相关理论。还有一个好处就是，可以为将来学习分组分解法进行铺垫，学生可以通过借鉴本节课的学习过程发现新的因式分解的方法——逆向使用公式

在介绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交叉相乘。学生经过理解后，且在经过多个方程的十字相乘后，积累了一定的经验，对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。为此特意编了口诀：(1).因式分解竖直写;(2).交叉相乘验中项;(3).横向写出两因式。

十字相乘法是因式分解中非常重要的方法，也为后续分式的计算奠定基础的重要环节。这节课的我就以二次项系数为1的二次三项式的因式分解为目标，从因式分解的意义入手，对公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq进行观察研究，发现反过来就是x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，适用于因式分解，从而，对于二次三项式x2+mx+n的因式分解，关键就是找两个数p、q使：p+q=m，pq=n，由学生思考后，提出从积入手找两个数，因此，新的方法就可以理解掌握了，借助十字相乘的特殊书写方法，便于操作演算，要教育学生学会不断尝试，不怕受挫，不断动脑，增强对数的洞察能力。

第五篇：十字相乘法教学反思

十字相乘法教学反思

反思一：十字相乘法>教学反思

本学期开课名称为《十字相乘法》，现将本课作如下反思。

因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都是逆向使用整式乘法的结果。

学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。这样处理既符合学生的认知规律，又符合建构主义的相关理论。还有一个好处就是，可以为将来学习分组分解法进行铺垫，学生可以通过借鉴本节课的学习过程发现新的因式分解的方法——逆向使用公式，发现分组分解法！

在介绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交叉相乘。学生经过理解后，且在经过多个方程的十字相乘后，积累了一定的经验，对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。为此特意编了口诀：(1).因式分解竖直写;(2).交叉相乘验中项;(3).横向写出两因式。

本节课强调了学生的自主探究和分组合作相结合。还给了学生足够的空间，展现了学生的思维过程。

对于不足，本节课的最大问题是教学环节之间的衔接没有处理好，环与环之间的扣没扣好，表现在课堂上就是显得很不紧凑。另外，对学生的探究指导不够充分。

反思二：十字相乘法教学反思

本课时属数学教材八年级下学期第二章《分解因式》的补充内容，依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，二是学生的掌握难度并不大，增补此内容并不会增加学生负担，三是学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我们也安排了课时讲解此内容。

课堂一开始，我给出了三个多项式，让学生观察特点，发现都是二次项系数为一的二次三项式，接着分析用已学知识能否分解因式？制造悬念。在此基础上出示四个式子：(x+2)(x+5)=x2+7x+10,(x-3)(x-4)=x2-7x+12,(x-3)(x+5)=x2+2x-15等，观察式子的左边两因式的常数项与右边一次项和常数项之间的关系，进而思考如何对x2+7x+

10、x2-7x+

12、x2+2x-15进行分解因式？在对照前面乘法运算的分析比较中，通过讨论交流，学生多数能发现分解规律：将多项式的常数项分解成两数a和b相乘，并且要使这两个数a 和b的和等于多项式的一次项系数，多项式就可分解成(x+a)(x+b)。在此基础上进行变式训练，帮助学生熟练掌握所学新知识。

课堂中教师作用是给学生提供思考的素材和创设问题情境，让学生在多项式乘法的计算和观察分析中去寻找分解因式与乘法之间的联系，在各系数间的关系中探索分解因式的具体方法，在交流评价中自主发现、完善新知，学生的学习积极性得到了充分的调动。

反思三：十字相乘法教学反思

因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都是逆向使用整式乘法的结果。

学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。这样处理既符合学生的认知规律，又符合建构主义的相关理论。还有一个好处就是，可以为将来学习分组分解法进行铺垫，学生可以通过借鉴本节课的学习过程发现新的因式分解的方法——逆向使用公式，发现分组分解法！

在介绍十字相乘法时，先从乘法公式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交叉相乘。学生经过理解后，且在经过多个方程的十字相乘后，积累了一定的经验，对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。本节课强调了学生的自主探究和分组合作相结合。还给了学生足够的空间，展现了学生的思维过程。

对于不足，本节课的最大问题是教学环节之间的衔接没有处理好，环与环之间的扣没扣好，表现在课堂上就是显得很不紧凑。另外，对学生的探究指导不够充分。因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都是逆向使用整式乘法的结果。

学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。这样处理既符合学生的认知规律，又符合建构主义的相关理论。还有一个好处就是，可以为将来学习分组分解法进行铺垫，学生可以通过借鉴本节课的学习过程发现新的因式分解的方法——逆向使用公式，发现分组分解法！

反思四：十字相乘法教学反思

学生对整式乘法是熟悉的，是学生的原有认知！因此对十字相乘法的教学，我觉得还是从学生的原有知识出发，逆向使用式子。因式分解与整式的乘法实际上是互逆的两个运算过程。因式分解的方法都是逆向使用整式乘法的结果。这样处理既符合学生的认知规律，又符合建构主义的相关理论。还有一个好处就是，可以为将来学习分组分解法进行铺垫，学生可以通过借鉴本节课的学习过程发现新的因式分解的方法——逆向使用公式 在介绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交叉相乘。学生经过理解后，且在经过多个方程的十字相乘后，积累了一定的经验，对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交叉相乘以后对分解式的书写，正确的应是横向书写，