湘教版八年级数学下册十字相乘法(教案)

第一篇：湘教版八年级数学下册十字相乘法(教案)

十字相乘法

教学目标

1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式；

2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性.教学重点和难点

重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；

难点：灵活运用十字相乘法分解因式.教学过程设计

一、导入新课

把下列各式多分解因式：

21.x+6x－72；

2.(x+y)－8(x+y)+48；

3.x4－7x2+18；

4.x2－10xy－56y2.答：

1.(x+12)(x－6)；

2.(x+y－12)(x+y+4)；

23.(x+3)(x－3)(x+2)；

4.(x－14y)(x+4y).我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.二、新课

例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：

2＝1×2＝2×1；

分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1  2 1

1×1+2×3 =7 3



1×3+2×1 =

－1 

－3

1×(－3)+2×(－1)

=－5

－3



－1

1×(－1)+2×(－3)

=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c

1

a2 c

2a1a2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

1



－5 2×(－5)+3×1=－7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只

2需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x－15分解因式，十字相乘法是

－3



5

1×5+1×(－3)=2

所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即



－4

1×(－4)+5×2=6

解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2

=(x－y)[2(x－y)－3]－2

=2(x－y)2－3(x－y)－2

=[(x－y)－2][2(x－y)+1]

=(x－y－2)(2x－2y+1).－2



+1

1×1+2×(－2)=－3

指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12；

(2)3x2－5x－2；

(3)6x2－13x+5；

(4)7x2－19x－6；

(5)12x2－13x+3；

(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2；

(2)8x2y2+6xy－35；

(3)18x2－21xy+5y2；

(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2.答案：

1.(1)(x－4)(2x+3)；

(2)(x－2)(3x+1)；

(3)(2x－1)(3x－5)；

(4)(x－3)(7x+2)；

(5)(3x－1)(4x－3)；

(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；

(3)(3x－y)(6x－5y)；

(4)(3a－b)(5b－a).四、小结

1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1 c

1在式子 

中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的

a

2c2

两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.23.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业

1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x+3x+1；

(2)2y+y－6；

(3)6x2－13x+6；

(4)3a2－7a－6；

(5)6x2－11xy+3y2；

(6)4m2+8mn+3n2；

(7)10x2－21xy+2y2；

(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：

(1)4n2+4n－15；

(2)6a2+a－35；

(3)5x2－8x－13；

(4)4x2+15x+9

(5)15x2+x－2；

(6)6y2+19y+10；

(7)20－9y－20y2；

(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)2.答案：

1.(1)(2x+1)(x+1)；

(2)(y+2)(2y－3)；

(3)(2x－3)(3x－2);

(4)(a－3)(3a+2);

(5)(2x－3y)(3x－y);(6)(2m+n)(2m+3n);

(7)(x－2y)(10x－y);(8)(2m－3n)(4m－5n).2.(1)(2n－3)(2n+5);

(2)(2a+5)(3a－7);

(3)(x+1)(5x-13);

(4)(x+3)(4x+3);

(5)(3x－1)(5x+2);

(6)(2y+5)(3y+2);

(7)－(4y+5)(5y－4);

(8)(x+2y+3)(7x－10y－27).课堂教学设计说明

1.为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式分解因式的思路和方法，在教学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字交叉线分解系数的具体方法，在此基础上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解的一般思路和方法.只有使学生掌握了十字相乘法的一向法规，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的认识问题的过程，是符合学生的认识问题的过程.2.对于借助画十字，用观察的方法，选择和确定适合的数组，把二次三项式运用十字相乘法分解因式，学生最初是有一定的困难的.所以在教学中应循序渐进，首先讲解例1时，要求学生把分解二次项系数和常数项的各种情况都画十字交叉

线表示，运用观察的方法，从中选取合适的数组，然后归纳为一般情况，总结出一般的方法，再通过例2加以巩固.当学生熟悉了这种方法，摸索出规律后，就不要求学生把各种情况一一列出了.

第二篇：八年级数学十字相乘法教案 新人教版

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十字相乘法 一、十字相乘法分解因式的意义：

利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法。

2（1）∵(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab ∴x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如图（1）

2（2）又∵(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2

∴a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)如图（2）二、十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a可以分解成两个因数a1，a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2), 在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

三、例题分析：

例1 把下列各式分解因式：

(1)x2+2x-15

(2)x2-6x+8(1)分析：常数项(-15)＜0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。在分解时，可用下面的式子进行验算。

说明：在竖式验算后写分解结论时千万不要对角写，应横向写，否则，当二次项系数不为1 时，会出现错误的。

(2)分析：常数项8可以分解为两个同号整数的积，即为8=1×8，8=(-1)(-8)；或8=2×4，8=(-2)(-4)。其中只有-2与-4的和为-6。

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解：x-6x+8 =(x-2)(x-4)

22例2 把下列式子分解因式：a-5ab-24b

分析：把原式变形为式a2-(5b)a-24b2，即把-5b看作a的系数，把-24b2看作常数项，这样可将原式看成a的二次三项式，用十字相乘法试算。

解：a2-5ab-24b2

=a2-(5b)a-24b2 =(a+3b)(a-8b)

说明：要注意避免a2-5ab-24b2=(a+3)(a-8)这类的错误，也要避免a2-5ab-24b2=(a+8b)(a-3b)的错误。

例3 分解因式：(1)(x+y)2+2(x+y)-24 分析：把(x+y)看成一个整体，这样，这个多项式就是关于(x+y)的二次三项式，很容易依照前面的方法分解：

解：(x+y)2+2(x+y)-24

=[(x+y)+6][(x+y)-4]

=(x+y+6)(x+y-4)

例4 分解因式：(1)x4-3x2-4(2)x4-10x2y2+9y4

(1)分析：把原式写成(x2)2-3(x2)-4，它仍旧是x2的二次三项式，可以用十字相乘法分解。-4=(-4)×1而-3=-4+1

解：x4-3x2-4

=(x2)2-3(x2)-4

=(x2-4)(x2+1)

=(x2+1)(x+2)(x-2)

(2)分析：原式可变形为(x2)2-10y2(x2)+9(y2)2即可看成x2的二次三项式，再采用十字相乘法分解因式。

解：x4-10x2y2+9y

4=(x2)2-10y2(x2)+9(y2)=(x2-y2)(x2-9y2)

=(x+y)(x-y)(x+3y)(x-3y)

说明：十字相乘法应用后原式为(x2-y2)(x2-9y2)要再对它进行分解；两个因式都分别应用平方差公式即可。

例5 分解因式：(1)2x2-5x-3(2)5x2-21x-+18(1)分析：我们要把这个多项式分解成形如(a1x+c1)·(a1x+c2)的形式，这里的a1a2=2，c1c2=-3，中学学科网学海泛舟系列资料

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a1c2+a2c1=-5，由十字相乘法竖式可知关键问题在于确定二次项系数2的两个因数a1和a2和常数项-3的两个因数c1，c2。二次项系数2可分解为2×1，常数项-3＜0可分解两个异号整数的积即为(-3)×(1)，3×(-1)，最后考虑一次项系数-5，它是十字相乘法寻找这四个数的关键，因为-5＜0，所以a1c2+a2c1＜0而a1＞0，a2＞0，所以c1，c2的寻找就相对容易了。

解：2x2-5x-3

=(x-3)(2x+1)

说明：通过十字相乘的验算公式后写结果时要横向写，不要对角写结论，注意避免出现22x-5x-3=(x+1)(2x-3)这样的错误。

(2)分析：因为二次项系数为质数5，可分解为1×5竖式中可将左边先固定，再分解常数项18，18＞0，∴18=(1)(18)，18=(-1)(-18)，18=2×9，18=(-2)×(-9)，18=3×6，18=(-3)(-6)。根据一次项系数为-21，所以只可选用(-3)(-6)。

解：5x2-21x-+18

=(x-3)(5x-6)

22例9 分解因式：x+3xy+2y+4x+5y+3

22分析：此题是一个六项式，可采用三、二、一分组法，分成三大项，将齐次项x+3xy+2y分为一组，先进行十字相乘为(x+y)(x+2y)再与(4x+5y+3)用十字相乘法再分解一次，这样的分解也可称为“双十字相乘法”。

22解：x+3xy+2y+4x+5y+3 =(x+y)(x+2y)+4x+5y+3 =(x+y+1)(x+2y+3)

四、注意问题提示：

1、对所给的多项式应先整理，包括去括号，按某一字母的降幂排列等。

2、因式分解时首先考虑公因式的提取。

3、使用十字相乘法分解因式时，务必注意各项系数的符号，掌握同号、异号两数相乘相加的法则，符号规律。

4、要能灵活地运用提取公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法进行多项式的因式分解，有时，各种方法交替进行，反复使用。

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第三篇：十字相乘法

十字相乘法分解因式

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1-2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解： 因为 1-3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例

4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解： 因为 2-5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为

1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2-9y 7 ╳-2y 所以 14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法

一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3 7y ╳-1 =10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）=[2x-（7y-1）][5x +（4y-3）] 2-（7y – 1）5 ╳ 4y4y ╳-3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x +4y）,再把（2x-7y）（5x +4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1] [（5x-4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 x²-3ax +（2a²–ab-b²）=0 x²-3ax +（2a+b）（a-b）=0 1-b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1-（2a+b）1 ╳-（a-b）所以 x1=2a+b x2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题 形如2X2表示的是2X的平方 例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1)=－5 1 －3 2 －1

1×(－1)+2×(－3)=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项

式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y)2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1).1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)

四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1 在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2 两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业 1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；(4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2；(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n－15；(2)6a2+a－35；(3)5x213；(4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；－20y2；(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)

－8x－－9y(7)20

第四篇：9.15十字相乘法教案

9.15十字相乘法（1）西南位育

单萍

【教学目标】

1.通过学生自己探究、小组讨论，探索形如x2pxq的二次三项式的因式分解的基本方法（十字相乘法）；

2.通过学生自行尝试和小组互助的形式，探究非标准形式的十字相乘法因式分解的步骤和注意要点； 3.进一步培养学生的观察力、解决数学问题的能力、以及培养小组合作的能力。【教学重难点】

正确使用十字相乘法进行因式分解 【教学过程】

一、游戏时间（随机抽查学生回答）

口答计算结果：

x1x2

x1x2

x2x3

x-2x-3

x4x5 x1x3

x2x5

x1x2

x1x3

x3x5

二、探究时间

我们已经学习过提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法对多项式进行因式分解成几个整式乘积的形式。

1）x23x（2）x2-6x5 探究一：（（二次项系数为1且常数项为素数二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）

学生通过掌握游戏时间的乘法规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（1min）

通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为素数的二次三项式因式分解的规律。

探究二：（1）x2-5x6

（2）x25x-6

（二次项系数为1且常数项为简单合数的二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）学生通过探究一得出的规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（1min）

通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为简单合数的二次三项式因式分解的规律。探究三：（1）x29x-36

（2）x2-14x-24（不能分解）

（二次项系数为1且常数项为复杂合数的二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）

学生通过探究二得出的规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（2min）

通过学生四人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，会用十字相乘的方式验证一次项是否符合因式分解的条件，从而得到解决二项式系数为1的二次三项式因式分解的规律。

三、教师时间

我们刚才探究的各个多项式是关于x的形如x2pxq（p,q为整数）的二次三项式，关键是将q分解为两个整数a，b，使得xaxb的一次项恰好是px，我们可以通过如下的验证方式验证一次项：

xaxbbxaxabx

按这种交叉相乘后相加验证一次项，形如一个倾斜的“十字”，我们成为“十字相乘法”。

四、练习时间

发学案，完成概念整理及练习：分解因式

（1）x2+5xy−24y2

（2）-x2−10y2+7xy

（3）x38x215x

（4）x2y23xy10

（5）x413x236（6）a2a14a2a2

4 自助时间（5min）

2 互助时间（3min）

通过学生四人小组交流练习的答案，找出正确的结果和方法，并交流其中注意要点。

 交流时间：小组代表交流答案和注意要点

教师小结：十字相乘法因式分解的特征和方法及注意要点。

五、彩蛋时间

学生提问：学生可针对本课内容及方法的细节进行提问老师 老师提问：教师可针对本课内容及方法的细节进行提问学生

第五篇：因式分解--十字相乘法教案

因式分解------十字相乘法

一基础知识：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则．1.二次项系数为1的二次三项式：直接利(pq)xpq(xp)(xq)进行分解

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；

2.二次项系数不为1的二次三项式ax分解结果：ax22用公式——x2bxc可分解的条件：（1）aa1a2，（2）cc1c2，（3）ba1c2a2c1

2思考：十字相乘有什么基本规律？凡是能十字相乘的二次三项式axbxc，满足b24ac0，且是一个完全平方数 bxc=(a1xc1)(a2xc2)二典例分析

1.分解下列因式（1）x

（5）x22（2）x7x6；

22（3）a14x24；

22（4）x15a36；

224x5

x2

；（6）y22y15

；（7）x210x24；（8）x12x27

22.分解下列因式（1）3x（5）6y211x10

（2）5x27x6

（3）3x2（4）10x7x2

；

2217x3

11y102（6）2x5x3；

（7）3x8x3

（8）2b13b18

23.分解下列因式（1）a28ab128b（2）x223xy2y（3）m22226mn8n（4）a2222ab6b

22（5）x7xy18y

（6）x3xy18y4.分解下列因式

（1）2x222

（7）xxy12y

（8）x6xy16y

27xy6y；

（2）15x7xy4y ；

（3）12x2211xy15y

2（4）x2xy35y

（5）

a5ab24b

（6）

5x4xy28y 2222225.分解下列因式

（1）xy223xy2

（2）2xy5xy3

（3）ax22226ax8

（4）mn11mn80

（5）(a8a)22(a8a)120

（6）(a2b)2(a2b)15 2222226.分解下列因式（1）8x2267x1（2）(xy)3(xy)10

（3）(ab)4a4b3

22222322（4）(a2a)5(a2a)4（5）(xx)(xx)42（6）(3ab)2(3ab)48

7.分解下列因式（1）m224mn4n223m6n2（2）x2xy3y2x10y8；

222（3）4x4xy3y4x10y3；（4）

x222224xy4y222x4y3

28.分解下列因式（1）xyyzzxxzyxzy2xyz；（2）abcx2222(ab222c)xabc

2（3）(x2x3)(x2x24)90（4）a(bc)b(ca)c(ab);9.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x3xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.10.如果x42xmx322mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式

三随堂练习

（1）x3x4

（2）x3x4

（3）x8x20

（4）x5x24

（5）x8x12

（6）x6x7x

2232222（7）x11x60

（8）a2a8

（9）ab4ab3

（10）y35y36

（11）y13y36

（12）x8xy9y

（13）4x13xy9y

（14）2(3x2y)(3x2y)3

（15）4x四.课后作业

1.(2x)(3x)是多项式（）的因式分解

A.6xx

B 6xx C 6xx

D.6xx 2.如果xmx6(xn)(x3)，那么mn的值是（）A.1

B 1

C 3

D.3 3.若x***24224224224xy6x3yy210

y2mx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1 B.-1 222C.1 D.2

224.不能用十字相乘法分解的是()A．xx2 B．3x10x3x C．4xx2

D．5x6xy8y

5.多项式x3xa可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 6.分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．2(xy)13(xy)20

B．(2x2y)13(xy)20

C．2(xy)13(xy)20

D．2(xy)9(xy)20

7.将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

①x7x6；②3x2x1；③x5x6；④4x5x9；⑤15x23x8 ⑥x11x12

8．2x5x3(x3)(_____)；9．x____2y***22(xy)（）；10.x9xy52y222（x）（x）

11．x10x =(x12)(x）；12．整数k＝______时，多项式3x7xk有一个因式为(_______)13.分解下列因式

（1）y15y36

（2）m10m24

；（3）m22222222210m24

222（4）y13y36

（5）xy5xy6x

（6）5(ab)23(ab)10(ab)

（7）4xy4425xy2229y；

（8）12(xy)11(x222222y)2(xy)（9）4x4xy4y3；

2222222（10）x7x1

（11）

3p7pq2q（14）ab22

n（12）xy3xy2；

（13）xxy2yx7y6；

16ab39；（15）15x2n7xy2n14y22n2；（16）x223x22x22223x72

242（17）a2a24；

（18）(x1)4(x1)4x；

（19）(2x5x)(2x5x)6

2（20）xy23xyz60z（21）xy8xy15y（22）(xx)11(xx)26

（23）x(pq)xpq(pq)(pq)；（24）(x3x2)(x7x12)120；（25）5ab23aby10y（26）(xxyy)(xxy2y)12y

（27）x2xyy5x5y6

42214.已知x6xx12有一个因式是xax4，求a值和这个多项式的其他因式． ***222242215.已知多项式xax6可分解为两个整数系数的一次因式的积，求a的值 2