一元二次方程的解法----十字相乘法教案大全

第一篇：一元二次方程的解法----十字相乘法教案大全

一元二次方程的解法——十字相乘法

班级________姓名________学号________

一、学习目标：

1、利用十字相乘法分解因式

2、利用十字相乘法解一元二次方程 练习：（1）x2＋7x＋12 =0

(2)x2—5x＋6=0

（3）(x＋2)(x—1)=10

二、典例精析

例

1、用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6

（3）x2＋5x—6

（5）x2—5xy＋6y2

练习：（1）x2—7x＋10

（3）x2—12x—13

例

2、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2＋5x＋6=0

（3）（x＋3)(x—1)=5

（2）x2—5x＋6

4）x

2—5x—6

(6)(x＋y)2—5（x＋y）—6

（2）y2

＋y—2

（4）m2—5m＋4

（2）y2

＋y—2=0

（4）t(t＋3)=28

例

3、用十字相乘法解关于x的方程：

(1)(x—2)2—2(x—2)—3=0

*(2)(x2—3x)2—2(x2—3x)—8=0

练习：（1）(x1)25(x1)240

（2）x2(m2n2)xm2n20

★例

4、已知x2—5xy＋6y2 =0（y≠0），求yxxy 的值。

四、课后作业

1、m2＋7m—18=(m＋a)(m＋b),则a,b的符号为（）A、a,b异号

B、a,b异号且绝对值大的为负 C、a, b同号

D、a,b同号且绝对值大的为正

（2、在下列各式中，（1）x2＋7x＋6（2）x2＋4x＋3（3）x2＋6x＋8（4）x2＋7x＋10（5）x2＋15x＋44有相同因式的是（）A、（1）（2）

B、（3）（5）

C、（2）（5）

D、（1）（2）、（3）（4）、（3）（5）

3、x2＋2x—3，x2—4x＋3，x2＋5x—6的公因式是（）

A、x—3

B、3—x

C、x ＋1

D、x—1

4、若y2＋py＋q=（y—4）（y＋7），则p=

，q=

.5、分解因式：（1）x2＋7 x—8

（2）y2—2y—15

（3）（x＋3y）2—4(x＋3y)—32

6、用十字相乘法解一元二次方程

（1）x2—3x—10 =0

（2）x

2＋3x—10 =0

（3）x2—6x—40 =0

（4）x2

—10x＋16 =0

（5）x2—3x—4 =0

（6）m2—3m—18=0

7、用十字相乘法解关于x的一元二次方程：

（1）(x＋1)(x＋3)=15

（2）(x＋2)(x—3)=14

（3）x24ax3a20

(5)(x—2)2＋3(x—2)—4=0

（4）x2—3xy—18y2=0

*(6)(x2—x)2—4(x2—x)—12=0

8、已知：△ABC的两边长为2和3，第三边的长是x2—7x＋10=0的根，求△ABC的周长.9、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：

x2101x2x202

x22x303 ……x2n1xn0n

（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、；

（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.

第二篇：十字相乘法

十字相乘法分解因式

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。

2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m²+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1-2 1╳6 所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解： 因为 1 2 5 ╳-4 所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0 分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解： 因为 1-3 1 ╳-5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例

4、解方程 6x²-5x-25=0 分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解： 因为 2-5 3 ╳ 5 所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 2)、用十字相乘法解一些比较难的题目 例5把14x²-67xy+18y²分解因式 分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为

1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2-9y 7 ╳-2y 所以 14x²-67xy+18y²=(2x-9y)(7x-2y)例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法

一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =10x²-（27y+1）x-（28y²-25y+3）4y-3 7y ╳-1 =10x²-（27y+1）x-（4y-3）（7y-1）=[2x-（7y-1）][5x +（4y-3）] 2-（7y – 1）5 ╳ 4y4y ╳-3 说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x-7y）（5x +4y）,再把（2x-7y）（5x +4y）-（x-25y）-3用十字相乘法分解为[（2x-7y）+1] [（5x-4y）-3].例7：解关于x方程：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解 解：x²-3ax + 2a²–ab-b²=0 x²-3ax +（2a²–ab-b²）=0 x²-3ax +（2a+b）（a-b）=0 1-b 2 ╳ +b [x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1-（2a+b）1 ╳-（a-b）所以 x1=2a+b x2=a-b如何使用十字相乘法分解因式及练习题 形如2X2表示的是2X的平方 例1 把2x2－7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项：

3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1)=－5 1 －3 2 －1

1×(－1)+2×(－3)=－7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常 叫做十字相乘法.例2 把6x2－7x－5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 －5 2×(－5)+3×1=－7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是 1 －3 1 5 1×5+1×(－3)=2 所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 －4 1×(－4)+5×2=6 解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项

式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x－y)(2x－2y－3)－2 =(x－y)[2(x－y)－3]－2 =2(x－y)2－3(x－y)－2 =[(x－y)－2][2(x－y)+1] =(x－y－2)(2x－2y+1).1 －2 2 +1 1×1+2×(－2)=－3 指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.三、课堂练习1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.2.把下列各式分解因式：

(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)

四、小结 1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1 在式子 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的 a2 c2 两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.五、作业 1.用十字相乘法分解因式：

(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y－6；(3)6x2－13x+6；(4)3a2－7a－6；(5)6x2－11xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x2－21xy+2y2；(8)8m2－22mn+15n2.2．把下列各式分解因式：(1)4n2+4n－15；(2)6a2+a－35；(3)5x213；(4)4x2+15x+9(5)15x2+x－2；(6)6y2+19y+10；－20y2；(8)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)

－8x－－9y(7)20

第三篇：9.15十字相乘法教案

9.15十字相乘法（1）西南位育

单萍

【教学目标】

1.通过学生自己探究、小组讨论，探索形如x2pxq的二次三项式的因式分解的基本方法（十字相乘法）；

2.通过学生自行尝试和小组互助的形式，探究非标准形式的十字相乘法因式分解的步骤和注意要点； 3.进一步培养学生的观察力、解决数学问题的能力、以及培养小组合作的能力。【教学重难点】

正确使用十字相乘法进行因式分解 【教学过程】

一、游戏时间（随机抽查学生回答）

口答计算结果：

x1x2

x1x2

x2x3

x-2x-3

x4x5 x1x3

x2x5

x1x2

x1x3

x3x5

二、探究时间

我们已经学习过提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法对多项式进行因式分解成几个整式乘积的形式。

1）x23x（2）x2-6x5 探究一：（（二次项系数为1且常数项为素数二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）

学生通过掌握游戏时间的乘法规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（1min）

通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为素数的二次三项式因式分解的规律。

探究二：（1）x2-5x6

（2）x25x-6

（二次项系数为1且常数项为简单合数的二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）学生通过探究一得出的规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（1min）

通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为简单合数的二次三项式因式分解的规律。探究三：（1）x29x-36

（2）x2-14x-24（不能分解）

（二次项系数为1且常数项为复杂合数的二次三项式的因式分解规律） 自助时间（1min）

学生通过探究二得出的规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力；

 互助时间（2min）

通过学生四人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性；  交流时间

通过小组代表发言，会用十字相乘的方式验证一次项是否符合因式分解的条件，从而得到解决二项式系数为1的二次三项式因式分解的规律。

三、教师时间

我们刚才探究的各个多项式是关于x的形如x2pxq（p,q为整数）的二次三项式，关键是将q分解为两个整数a，b，使得xaxb的一次项恰好是px，我们可以通过如下的验证方式验证一次项：

xaxbbxaxabx

按这种交叉相乘后相加验证一次项，形如一个倾斜的“十字”，我们成为“十字相乘法”。

四、练习时间

发学案，完成概念整理及练习：分解因式

（1）x2+5xy−24y2

（2）-x2−10y2+7xy

（3）x38x215x

（4）x2y23xy10

（5）x413x236（6）a2a14a2a2

4 自助时间（5min）

2 互助时间（3min）

通过学生四人小组交流练习的答案，找出正确的结果和方法，并交流其中注意要点。

 交流时间：小组代表交流答案和注意要点

教师小结：十字相乘法因式分解的特征和方法及注意要点。

五、彩蛋时间

学生提问：学生可针对本课内容及方法的细节进行提问老师 老师提问：教师可针对本课内容及方法的细节进行提问学生

第四篇：因式分解--十字相乘法教案

因式分解------十字相乘法

一基础知识：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则．1.二次项系数为1的二次三项式：直接利(pq)xpq(xp)(xq)进行分解

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；

2.二次项系数不为1的二次三项式ax分解结果：ax22用公式——x2bxc可分解的条件：（1）aa1a2，（2）cc1c2，（3）ba1c2a2c1

2思考：十字相乘有什么基本规律？凡是能十字相乘的二次三项式axbxc，满足b24ac0，且是一个完全平方数 bxc=(a1xc1)(a2xc2)二典例分析

1.分解下列因式（1）x

（5）x22（2）x7x6；

22（3）a14x24；

22（4）x15a36；

224x5

x2

；（6）y22y15

；（7）x210x24；（8）x12x27

22.分解下列因式（1）3x（5）6y211x10

（2）5x27x6

（3）3x2（4）10x7x2

；

2217x3

11y102（6）2x5x3；

（7）3x8x3

（8）2b13b18

23.分解下列因式（1）a28ab128b（2）x223xy2y（3）m22226mn8n（4）a2222ab6b

22（5）x7xy18y

（6）x3xy18y4.分解下列因式

（1）2x222

（7）xxy12y

（8）x6xy16y

27xy6y；

（2）15x7xy4y ；

（3）12x2211xy15y

2（4）x2xy35y

（5）

a5ab24b

（6）

5x4xy28y 2222225.分解下列因式

（1）xy223xy2

（2）2xy5xy3

（3）ax22226ax8

（4）mn11mn80

（5）(a8a)22(a8a)120

（6）(a2b)2(a2b)15 2222226.分解下列因式（1）8x2267x1（2）(xy)3(xy)10

（3）(ab)4a4b3

22222322（4）(a2a)5(a2a)4（5）(xx)(xx)42（6）(3ab)2(3ab)48

7.分解下列因式（1）m224mn4n223m6n2（2）x2xy3y2x10y8；

222（3）4x4xy3y4x10y3；（4）

x222224xy4y222x4y3

28.分解下列因式（1）xyyzzxxzyxzy2xyz；（2）abcx2222(ab222c)xabc

2（3）(x2x3)(x2x24)90（4）a(bc)b(ca)c(ab);9.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x3xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.10.如果x42xmx322mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式

三随堂练习

（1）x3x4

（2）x3x4

（3）x8x20

（4）x5x24

（5）x8x12

（6）x6x7x

2232222（7）x11x60

（8）a2a8

（9）ab4ab3

（10）y35y36

（11）y13y36

（12）x8xy9y

（13）4x13xy9y

（14）2(3x2y)(3x2y)3

（15）4x四.课后作业

1.(2x)(3x)是多项式（）的因式分解

A.6xx

B 6xx C 6xx

D.6xx 2.如果xmx6(xn)(x3)，那么mn的值是（）A.1

B 1

C 3

D.3 3.若x***24224224224xy6x3yy210

y2mx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1 B.-1 222C.1 D.2

224.不能用十字相乘法分解的是()A．xx2 B．3x10x3x C．4xx2

D．5x6xy8y

5.多项式x3xa可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 6.分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．2(xy)13(xy)20

B．(2x2y)13(xy)20

C．2(xy)13(xy)20

D．2(xy)9(xy)20

7.将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

①x7x6；②3x2x1；③x5x6；④4x5x9；⑤15x23x8 ⑥x11x12

8．2x5x3(x3)(_____)；9．x____2y***22(xy)（）；10.x9xy52y222（x）（x）

11．x10x =(x12)(x）；12．整数k＝______时，多项式3x7xk有一个因式为(_______)13.分解下列因式

（1）y15y36

（2）m10m24

；（3）m22222222210m24

222（4）y13y36

（5）xy5xy6x

（6）5(ab)23(ab)10(ab)

（7）4xy4425xy2229y；

（8）12(xy)11(x222222y)2(xy)（9）4x4xy4y3；

2222222（10）x7x1

（11）

3p7pq2q（14）ab22

n（12）xy3xy2；

（13）xxy2yx7y6；

16ab39；（15）15x2n7xy2n14y22n2；（16）x223x22x22223x72

242（17）a2a24；

（18）(x1)4(x1)4x；

（19）(2x5x)(2x5x)6

2（20）xy23xyz60z（21）xy8xy15y（22）(xx)11(xx)26

（23）x(pq)xpq(pq)(pq)；（24）(x3x2)(x7x12)120；（25）5ab23aby10y（26）(xxyy)(xxy2y)12y

（27）x2xyy5x5y6

42214.已知x6xx12有一个因式是xax4，求a值和这个多项式的其他因式． ***222242215.已知多项式xax6可分解为两个整数系数的一次因式的积，求a的值 2

第五篇：一元二次方程解法教学反思

用公式法解一元二次方程教学反思

张春元

通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。

本节课的重点主要有以下3点：

1.找出a,b,c的相应的数值

2.验判别式是否大于等于0

3.当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根.在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多.1、a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号

2、求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式着一步单独挑出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做着一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求收到更好的教学效果

3、板书不太理想。板书可以说在课堂教学也起关键作用，它可以帮学生温习本课的内容，而我许多本该板书的内容全部反映在大屏幕上，在继续讲一下个内容时，这些内容也就不会再出现，只给学生瞬间的停留，这样做也有欠妥当。

4、本节课没有激情，学习的积极性调动不起来，对学生地鼓励性的语言过于少，可以说几乎没有。